1、第五章 測量誤差的基本知識,5.1 測量誤差概述 5.2 偶然誤差的統(tǒng)計特征 5.3 觀測值的最或然值及改正數(shù)。 5.4 觀測值的精度評定 5.5 誤差傳播定律 5.6 加權(quán)平均值及其中誤差 5.7 最小二乘原理與測量平差,5.1測量誤差概述,定義對于某個觀測量，觀測值與理論值之間的差值稱為測量誤差。 特點 測量的過程中始終伴隨著誤差； 測量誤差可以通過一定的方法得到減小，但無法消除； 誤差錯誤。,5.1測量誤差概述,（1）測量誤差產(chǎn)生的原因 儀器的誤差 人的原因產(chǎn)生的誤差 外界環(huán)境的影響,5.1測量誤差概述,（2）測量誤差的分類根據(jù)產(chǎn)生的原因和對觀測結(jié)果影響性質(zhì)的不同，測量誤差分為系統(tǒng)誤差和

2、偶然誤差,5.1測量誤差概述,系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對某一個觀測量進行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相等，或按一定的規(guī)律變化，則稱為“系統(tǒng)誤差”。 偶然誤差在相同的觀測條件下，對某量進行一系列觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面上看也沒有一定的規(guī)律性，則稱為“偶然誤差”。,5.1測量誤差概述,（3）測量誤差的處理原則 對于系統(tǒng)誤差，采用高精度的測量儀器和數(shù)學(xué)模型改正的方法 對于偶然誤差，采用多次測量取平均值的方法 另外為防止錯誤和提高觀測精度，均需要進行多余必要觀測數(shù)的“多余觀測”。,不精密（隨機誤差大） 準(zhǔn)確（系統(tǒng)誤差小）,不精密（隨機誤差大） 不準(zhǔn)確（系統(tǒng)

3、誤差大）,精密（隨機誤差?。?準(zhǔn)確（系統(tǒng)誤差?。?精密（隨機誤差?。?不準(zhǔn)確（系統(tǒng)誤差大）,5.2 偶然誤差的統(tǒng)計特征,測量誤差理論主要討論具有偶然誤差的一系列觀測值中如何求得最可靠的結(jié)果（稱為最或然值或估值）和評定觀測成果的精度。,5.2 偶然誤差的統(tǒng)計特征,研究的分布規(guī)律,偶然誤差的分布規(guī)律,真誤差的頻率直方圖,偶然誤差的特性,在一定條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值； 絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率較大，絕對值大的出現(xiàn)的頻率小； 絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的頻率 當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨于零。,偶然誤差的特性,真誤差是一個隨機變量,直觀定義：

4、一個變量，若其取值隨著試驗的結(jié)果的變化而變化，即其取值具有隨機性，且能事先知道它的所有可能取值，不能事先確定它將要取哪一個值；則稱這個變量為隨機變量。,偶然誤差的統(tǒng)計特性,當(dāng)誤差的個數(shù)逐漸增大，同時又無限縮小誤差的區(qū)間時，則頻率直方圖的邊界為概率統(tǒng)計中的“正態(tài)分布曲線”,偶然誤差的統(tǒng)計特性,評定精度的標(biāo)準(zhǔn)中誤差,定義,引入中誤差的原因：由于方差（數(shù)學(xué)概念）要求觀測值個數(shù)趨于無窮，因而在工程測量中引進中誤差的概念。,評定精度的標(biāo)準(zhǔn)相對誤差,相對誤差是觀測值的中誤差與觀測值之比，常用來表示距離測量的精度。一般用分母為1的分數(shù)來表示。,相對誤差的數(shù)值修約規(guī)則：如某長度為738.5的邊測量誤差為0.1

5、5m，則其相對精度為：0.15/738.5=1/4923=1/49001/4999=1/4900,評定精度的標(biāo)準(zhǔn)極限誤差,評定精度的標(biāo)準(zhǔn)極限誤差,由于正態(tài)分布觀測值出現(xiàn) 2倍以上中誤差的概率很小，因此一般選用2倍中誤差作為“極限誤差”或稱為“允許誤差”。用來作為衡量某個觀測值是否含有粗差的標(biāo)準(zhǔn)。,5.3 觀測值的最或然值及觀測值的改正數(shù),觀測值最或然值定義在大多數(shù)條件下，觀測值的真值不是已知的，測量就是要通過大量的多余觀測計算出觀測值的最或然值。因此最或然值就是在一定的觀測條件下與真值最接近的值。一般用以下的兩個符號來表示真值和最或然值。,5.3 觀測值的最或然值及觀測值的改正數(shù),5.3 觀測

6、值的最或然值及觀測值的改正數(shù),5.3 觀測值的最或然值及觀測值的改正數(shù),5.3 觀測值的最或然值及觀測值的改正數(shù),觀測值改正數(shù)的特點： 一組觀測值取算術(shù)平均值作為其最或然值之后，其改正值之和恒等于零; 以算術(shù)平均值為最或然值滿足最小二乘原則(vv=min); 觀測值改正數(shù)與真誤差是有區(qū)別的。,5.3 觀測值的最或然值及觀測值的改正數(shù),取算術(shù)平均值作為最或然值，滿足最小二乘法的證明：,5.4 觀測值的精度評定,問題：怎樣用改正數(shù)v來計算中誤差？,表示觀測值的精度的指標(biāo)：中誤差，比例誤差，極限誤差 回顧：中誤差的定義,5.4 觀測值的精度評定,5.4 觀測值的精度評定,已知觀測值的改正數(shù)求中誤差，

7、適用于絕大多數(shù)情況。,已知觀測值的真誤差求中誤差，適用的情況比較少。,5.5 誤差傳播定律,1 直接觀測量和間接觀測量如圓的直徑和面積 2 誤差傳播率的定義：在測量工作中，有一些需要知道的量并非直接觀測量，而是由直接觀測量通過一定的函數(shù)關(guān)系計算而得到，由于直接觀測量包含誤差，因而函數(shù)會受其影響也包含一定的誤差，稱之為誤差傳播。,S=D2/4,直接觀測量，有誤差,有誤差,5.5 誤差傳播定律,（1）和差函數(shù)的誤差傳播率,5.5 誤差傳播定律,（2）倍函數(shù)的誤差傳播率,5.5 誤差傳播定律,（3）線性函數(shù)的中誤差,5.5 誤差傳播定律,（4）一般函數(shù)的誤差傳播律：,5.5 誤差傳播定律,由于誤差相

8、對于觀測值而言是微小量，由高等數(shù)學(xué)的知識可知：變量的誤差和函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，,一般函數(shù)誤差傳播率的推導(dǎo),5.5 誤差傳播定律,線性方程組的誤差傳播律：,5.5 誤差傳播定律,測量中的中誤差即是數(shù)學(xué)中的方差，測量的真誤差服從正態(tài)分布，可以用概率中的方差公式來推導(dǎo)。,5.5 誤差傳播定律,由方差陣的定義：,例1,某量進行了n次等精度觀測，求其算術(shù)平均值的精度：,設(shè)采用某經(jīng)緯儀測量角度，一測回測量中誤差為6,欲使觀測的精度達到2 ，最少需要觀測多少測回？,例2,例3,對某段距離用同等精度丈量了6次，結(jié)果列于下表，求這段距離的最或然值，觀測值的中誤差及最或然值的中誤差。 解：,例3（續(xù)）,例4,設(shè)

9、對某三角形的三個內(nèi)角進行了等精度觀測，觀測誤差為 , 求經(jīng)閉合差分配后三個角的方差陣。,例4（續(xù)）,5.5 誤差傳播定律,用誤差傳播率求觀測值函數(shù)精度的步驟：,5.6 加權(quán)平均值及其中誤差,1 不等精度觀測與權(quán)：,5.6 加權(quán)平均值及其中誤差,加權(quán)平均值：,5.6 加權(quán)平均值及其中誤差,加權(quán)平均值的中誤差：,5.6 加權(quán)平均值及其中誤差,單位權(quán)中誤差的計算：,5.7 最小二乘原理與測量平差,測量平差（Adjustment) 依據(jù)某種最優(yōu)化準(zhǔn)則，由一系列帶有觀測誤差的測量數(shù)據(jù)，求定未知量的最佳估值及精度的理論和方法。,5.7 最小二乘原理與測量平差,必要觀測與多余觀測的概念：,1.確定三角形的形

10、狀：觀測三個內(nèi)角的任意兩個即可,稱其必要元素個數(shù)為2，必要元素有 種選擇,2.確定三角形的形狀和大?。?個元素中必須有選擇地觀測三個內(nèi)角與三條邊的三個元素，因此，其必要元素個數(shù)為3。任意2個角度+1個邊、2個邊+1個角度、三個邊。,5.7 最小二乘原理與測量平差,必要觀測： 能夠唯一確定一個幾何模型所必要的觀測數(shù)，一般用t表示。 多余觀測： 觀測值的個數(shù)n與必要觀測個數(shù)t之差 一般用r表示，r=n-t。,5.7 最小二乘原理與測量平差,nt, 可以確定模型，還可以發(fā)現(xiàn)粗差。,條件方程,必要觀測可以唯一確定模型，其相互獨立?？梢娙粲卸嘤嘤^測必然可用這t個元素表示，即形成r個條件方程。,條件方程,

11、誤差方程,條件平差的一般形式：,以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法。,線性化以后得到誤差方程：,條件方程的線性化,得到最小二乘解：,按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造新的函數(shù)：,求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0：,條件平差的計算步驟：,根據(jù)平差問題的具體情況，列出條件方程式，并線性化，條件方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)r。 根據(jù)條件式的系數(shù)，閉合差及觀測值的權(quán)組成法方程式 解算法方程，求出聯(lián)系數(shù)K值。 將K值代入改正數(shù)方程式，求出V值，并求出平差值 為了檢查平差計算的正確性，常用平差值 重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足方程,條件平差算例：,為了確定B、C、D三點的高程，其必要觀測數(shù) t =3，