1、第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,2.1 引言 2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 2.3 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式 2.4 時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬 信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系 2.5 序列的z變換 2.6 z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性,例 2.2.1 設(shè)x(n)=rn(n)， 求x(n)的ft,解：,(2.2.5),設(shè)n=4， 幅度與相位隨變化曲線如圖2.2.1所示。,圖 2.2.1 r4(n)的幅度與相位曲線,2.2.2 序列傅里葉變換的性質(zhì) 1. ft的周期性,m為整數(shù),是的周期函數(shù)，周期是2,2. 線性,那么,設(shè),式中a, b為常數(shù) 3. 時(shí)移與頻移 設(shè)

2、x(e j)=ftx(n)， 那么,(2.2.7),(2.2.8),(2.2.9),結(jié)論：共軛對(duì)稱序列的實(shí)部是偶對(duì)稱序列(偶函數(shù)) 而虛部是奇對(duì)稱序列(奇函數(shù)),結(jié)論：共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇對(duì)稱序列(奇函數(shù)) 而虛部是偶對(duì)稱序列(偶函數(shù)),任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,例 2.2.2 試分析x(n)=e jn的對(duì)稱性 解： 將x(n)的n用-n代替， 再取共軛得到： x*(-n)= e jn 因此x(n)=x*(-n)， x(n)是共軛對(duì)稱序列， 如展成實(shí)部與虛部， 得到 x(n)=cosn+j sinn 由上式表明， 共軛對(duì)稱序列的實(shí)部確實(shí)是偶函數(shù)， 虛部是奇函數(shù)。,例 2

3、.2.3 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶函數(shù)xe(n) 和奇函數(shù)xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n) 得到,同樣得到:,2.3 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) 及傅里葉變換表示式,例 2.3.1設(shè)x(n)=r4(n)， 將x(n)以n=8為周期， 進(jìn) 行周期延拓， 得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列 ， 周期為8， 求 的dfs。 解：,其幅度特性 如圖2.3.1(b)所示。,圖 2.3.1 例2.3.1圖,表 2.3.2 基本序列的傅里葉變換,例 2.3.2求例2.3.1中周期序列的ft。 解： 將例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到,其幅頻特性如圖2

4、.3.3所示。,圖 2.3.3 例2.3.2圖,對(duì)比圖2.3.1， 對(duì)于同一個(gè)周期信號(hào)， 其dfs和ft分別取模的形狀是一樣的， 不同的是ft用單位沖激函數(shù)表示(用帶箭頭的豎線表示)。 因此周期序列的頻譜分布用其dfs或者ft表示都可以， 但畫圖時(shí)應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫法。,序列的z變換,2.收斂充要條件：x(z)絕對(duì)可和,（二）收斂域roc與零極點(diǎn),1.定義:使x(z)收斂的所有z值集合稱作x(z)的收斂域,例 2.5.1 x(n)=u(n)， 求其z變換。 解： x(z)存在的條件是|z-1|1，,|z|1,由x(z)表達(dá)式表明， 極點(diǎn)是z=1， 單位圓上的z變換不存在， 或者說(shuō)收斂域不包

5、含單位圓。 因此其傅里葉變換不存在， 更不能用上式求ft。 該序列的ft不存在， 但如果引進(jìn)奇異函數(shù)()， 其傅里葉變換可以表示出來(lái)。 該例同時(shí)說(shuō)明一個(gè)序列的傅里葉變換不存在， 在一定收斂域內(nèi)z變換是存在的。,其收斂域應(yīng)包括 即充滿整個(gè)z平面。,例1：求序列 的z變換及收斂域。,解：這相當(dāng) n1=n2=0 時(shí)的有限長(zhǎng)序列,例 2.5.3求x(n)=anu(n)的z變換及其收斂域 解：,在收斂域中必須滿足|az-1|a|。,例 2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的z變換及其收斂域。,x(z)存在要求|a-1 z|1， 即收斂域?yàn)閨z|a|,例 2.5.5 x(n)=a|n|， a為實(shí)數(shù)，

6、 求x(n)的z變換及其收斂域。 解：,第一部分收斂域?yàn)閨az|a|。 如果|a|1， 兩部分的公共收斂域?yàn)閨a|z|a|-1， 其z變換如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1， 則無(wú)公共收斂域， 因此x(z)不存在。 當(dāng)0a1時(shí)， x(n)的波形及x(z)的收斂域如圖2.5.2所示。,圖 2.5.2 例2.5.5圖,z變換x(z)及其roc才能唯一確定一個(gè)序列 roc內(nèi)不能有極點(diǎn)，故： 右邊序列z變換roc一定在模最大極點(diǎn)所在圓外 左邊序列z變換roc一定在模最小極點(diǎn)所在圓內(nèi),結(jié) 論,z變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系,序列的z變換：,連時(shí)間信號(hào)的laplace變換：,連續(xù)時(shí)間信號(hào)的fou

7、rier變換：,序列的fourier變換：,1、z變換 vs 理想抽樣信號(hào)的拉氏變換,理想抽樣信號(hào)：,其laplace變換：,其z變換：,結(jié)論,z平面： （極坐標(biāo)）,即：,討論：復(fù)s平面到z平面的映射,抽樣序列的z變換=理想抽樣信號(hào)的laplace變換,s平面到z平面的 映射是多值映射,:,:,:,:,2、z變換 vs 理想抽樣信號(hào)的傅氏變換,抽樣序列在單位圓上的z變換 =其理想抽樣信號(hào)的fourier變換,fourier變換是laplace變換在虛軸上的特例。,即: s=j,映射到z平面為單位圓,序列的fourier變換 =單位圓上的z變換,2.5.3 逆z變換 已知序列的z變換及其收斂域，

8、 求序列稱為逆z變換。 序列的z變換及共逆z變換表示如下：,(2.5.5),1. 用留數(shù)定理求逆z變換,例 2.5.7已知 ， 求其逆變換x(n)。 解： 該例題沒(méi)有給定收斂域， 為求出唯一的原序列x(n)， 必須先確定收斂域。 分析x(z)， 得到其極點(diǎn)分布如圖2.5.5所示。 圖中有二個(gè)極點(diǎn)z=a和z=a-1， 這樣收斂域有三種選法， 它們是 (1) |z|a-1|， 對(duì)應(yīng)的x(n)是右序列； (2) |a|z|z-1|， 對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列； (3) |z|a|， 對(duì)應(yīng)的x(n)是左序列。,圖 2.5.5 例2.5.7 x(z)極點(diǎn)分布圖,下面按照收斂域的不同求其x(n)。 (1)

9、 收斂域|z|a-1|,種收斂域是因果的右序列， 無(wú)須求n0時(shí)的x(n)。 當(dāng)n0時(shí)， 圍線積分c內(nèi)有二個(gè)極點(diǎn)z=a和z=a-1， 因此,最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。 (2) 收斂域|z|a| 這種情況原序列是左序列， 無(wú)須計(jì)算n0情況， 當(dāng)n0時(shí)， 圍線積分c內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)， 因此x(n)=0。 n0時(shí)， c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0， 且是n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和,最后將x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1) (3) 收斂域|a|z|a-1| 這種情況對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。 根據(jù)被積函數(shù)f(z)， 按n0和n0兩情況分別求x(n)。 n0時(shí)， c內(nèi)

10、極點(diǎn)z=a x(n)=resf(z), a=an,n0時(shí)， c內(nèi)極點(diǎn)有二個(gè)， 其中z=0是n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有z=a-1， 因此 x(n)=-resf(z), a-1=a-n 最后將x(n)表示為 an n0 x(n)= x(n)=a|n| a-n n0,例 2.5.9 已知求 其逆z變換x(n)。 解：由收斂域判定，x(n)是左序列，用長(zhǎng)除法將x(z)展成正冪級(jí)數(shù),2. 冪級(jí)數(shù)法(長(zhǎng)除法),3. 部分分式展開(kāi)法 對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列，常常用這種部分分式展開(kāi)法求逆z變換。 設(shè)x(n)的z變換x(z)是有理函數(shù)，分母多項(xiàng)式是n階，分子多項(xiàng)式是m階，將x(z)展成一些簡(jiǎn)

11、單的常用的部分分式之和，通過(guò)查表(參考表2.5.1)求得各部分的逆變換，再相加即得到原序列x(n)。設(shè)x(z)只有n個(gè)一階極點(diǎn)，可展成正式,觀察上式，x(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)a0，在z=zm的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)am。,(2.5.11),(2.5.12),(2.5.13),(2.5.14),求出am系數(shù)(m=0,1,2,n)后，很容易示求得x(n)序列。,例2.5.10已知 ，求逆z變換。,解,因?yàn)槭諗坑驗(yàn)?2。第二部分極點(diǎn)z=-3，收斂域應(yīng)取|z|3。查表2.5.1得到 x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1) 一些常見(jiàn)的序列的z變換可參考表2.5.1。,表2.5.1 常見(jiàn)序列z變換,2.6 利用z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性,例2.6.1已知 分析其因果性和穩(wěn)定性. 解：h(z)的極點(diǎn)為z=a，z=a-1。 (1)收斂域a-1|z|，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an-a-n)u(n)，這是一個(gè)因果序列，但不收斂