1、2015專題五：函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，切線方程為(2)若可導(dǎo)函數(shù)在 處取得極值，則。反之，不成立。(3)對于可導(dǎo)函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立(5)函數(shù)在區(qū)間I上不單調(diào)等價于在區(qū)間I上有極值，則可等價轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6) 在區(qū)間I上無極值等價于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設(shè)與的定義域的交集為D若D 恒成立則有(10)若對、

2、，恒成立，則.若對，使得,則. 若對，使得，則.（11）已知在區(qū)間上的值域為A,，在區(qū)間上值域為B，若對,，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程有兩個不等實根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 考點一：導(dǎo)數(shù)幾何意義：角度一求切線方程1(2014洛陽統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)3xcos 2xsin 2x，af，f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則過曲線yx3上一點P(a，b)的切線方程為()A3xy20B4x3y10C3xy20或3x4y10D3xy20或4x3y10解析：選A由f(x)3xcos 2xsin 2x得f(x)32sin 2x2cos 2x，

3、則af32sin2cos1.由yx3得y3x2，過曲線yx3上一點P(a，b)的切線的斜率k3a23123.又ba3，則b1，所以切點P的坐標為(1,1)，故過曲線yx3上的點P的切線方程為y13(x1)，即3xy20.角度二求切點坐標2(2013遼寧五校第二次聯(lián)考)曲線y3ln xx2在點P0處的切線方程為4xy10，則點P0的坐標是()A(0,1)B(1，1)C(1,3) D(1,0)解析：選C由題意知y14，解得x1，此時41y10，解得y3，點P0的坐標是(1,3)角度三求參數(shù)的值3已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖像都相切，且與f(x)

4、圖像的切點為(1，f(1)，則m等于()A1 B3C4 D2解析：選Df(x)，直線l的斜率為kf(1)1，又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖像的切點為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，當(dāng)x(ln 2，)時，g(x)0.f(x)maxg(x)maxg(ln 2)2ln 220，f(x)0，x10得，x；由F(x)0得，x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.當(dāng)0x3時，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上為增函數(shù)；當(dāng)2x3時，f(x)0，x1.當(dāng)0x0；當(dāng)x1時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(1，)上為增

5、函數(shù)，不合題意當(dāng)a0時，f(x)0(x0)等價于(2ax1)(ax1)0(x0)，即x，此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由得a1.當(dāng)a0)等價于(2ax1)(ax1)0(x0)，即x，此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由得a.綜上，實數(shù)a的取值范圍是1，)針對訓(xùn)練(2014荊州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)x3x2bxc，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)2x，且g(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)x2axb，由題意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa

6、)(a0)，當(dāng)x(，0)時，f(x)0，當(dāng)x(0，a)時，f(x)0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)(3)g(x)x2ax2，依題意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)時，a0，f(x)為(，)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值當(dāng)a0時，令f(x)0，得exa，即xln a.x(，ln a)，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增，故f(x)在xln a處取得極小值，且極小值為f(ln a)ln a，無極大值綜上，當(dāng)a 0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a0時，f(x)在xln a處

7、取得極小值ln a，無極大值針對訓(xùn)練設(shè)f(x)2x3ax2bx1的導(dǎo)數(shù)為f(x)，若函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x對稱，且f(1)0.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值解：(1)因為f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb，從而f(x)62b，即yf(x)關(guān)于直線x對稱從而由題設(shè)條件知，即a3.又由于f(1)0，即62ab0，得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，所以f(x)6x26x126(x1)(x2)，令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x2或x1，當(dāng)x(，2)時，f(x)0，即f(x)在(，2)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(2,1)時，f(x)0

8、，即f(x)在(1，)上單調(diào)遞增從而函數(shù)f(x)在x2處取得極大值f(2)21，在x1處取得極小值f(1)6.考點五 運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題 典例已知函數(shù)f(x)ln xax(aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a0時，求函數(shù)f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x0)，當(dāng)a0時，f(x)a0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)當(dāng)a0時，令f(x)a0，可得x，當(dāng)0x0；當(dāng)x時，f(x)0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當(dāng)1，即a1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，f(x)的最小值是f(2)ln 22a.當(dāng)2，即0a時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1

9、,2上是增函數(shù)，f(x)的最小值是f(1)a.當(dāng)12，即a1時，函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)又f(2)f(1)ln 2a，當(dāng)aln 2時，最小值是f(1)a；當(dāng)ln 2a1時，最小值為f(2)ln 22a.綜上可知，當(dāng)0a0)，若函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切， (1)求實數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值解：(1)f(x)2bx，函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切，解得(2)f(x)ln xx2，f(x)x，當(dāng)xe時，令f(x)0得x1；令f(x)0，得10)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的兩個零點為3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為e3，求f(x)在區(qū)

10、間5，)上的最大值解(1)f(x)，令g(x)ax2(2ab)xbc，因為ex0，所以yf(x)的零點就是g(x)ax2(2ab)xbc的零點，且f(x)與g(x)符號相同又因為a0，所以3x0，即f(x)0，當(dāng)x0時，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間5，)上的最大值是5e5. 針對訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，曲線yf(x)在點x1處的切線為l：3xy10，若x時，yf(x)有極值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.當(dāng)x1時，切線l的斜率為3，可得2ab0，當(dāng)x時，

11、yf(x)有極值，則f0，可得4a3b40，由，解得a2，b4.由于切點的橫坐標為1，所以f(1)4.所以1abc4.所以c5.(2)由(1)，可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解之，得x12，x2.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的取值及變化情況如下表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值為13，最小值為.考點七：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題及參數(shù)求解 典例(2013全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y4x2.(1)求a，b，c

12、，d的值；(2)若x2時，f(x)kg(x)，求k的取值范圍解(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.從而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)設(shè)函數(shù)F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，則F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由題設(shè)可得F(0)0，即k1.令F(x)0得x1ln k，x22.()若1ke2，則2x10.從而當(dāng)x(2，x1)時，F(xiàn)(x)0；當(dāng)x(x1，)時，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，x1)上單調(diào)遞減，在(x

13、1，)上單調(diào)遞增，故F(x)在2，)上的最小值為F(x1)而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0.故當(dāng)x2時，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，則F(x)2e2(x2)(exe2)從而當(dāng)x2時，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，)上單調(diào)遞增，而F(2)0，故當(dāng)x2時，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，則F(2)2ke222e2(ke2)0.從而當(dāng)x2時，f(x)kg(x)不可能恒成立綜上，k的取值范圍是1，e2針對訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f(x)x2exxex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x2,2時，不等式f(x)m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)函數(shù)f

14、(x)的定義域為(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)，若x0，則f(x)0；若x0，所以f(x)0，則1ex0，所以f(x)0.f(x)在(，)上為減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，)(2)由(1)知，f(x)在2,2上單調(diào)遞減故f(x)minf(2)2e2，mm恒成立故m的取值范圍為(，2e2)考點八、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題典例(2013河南省三市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)axex(a0)(1)若a，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)1a1e時，求證：f(x)x.解(1)當(dāng)a時，f(x)xex.f(x)ex，令f(x)0，得xln 2.當(dāng)x0；當(dāng)xln 2時，f(x)0，f(x)x

15、成立()當(dāng)1a1e時，F(xiàn)(x)ex(a1)exeln(a1)，當(dāng)xln(a1)時，F(xiàn)(x)ln(a1)時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在(，ln (a1)上單調(diào)遞減，在(ln(a1)，)上單調(diào)遞增F(x)F(ln(a1)eln(a1)(a1)ln(a1)(a1)1ln(a1)，10,1ln(a1)1ln(1e)10，F(xiàn)(x)0，即f(x)x成立綜上，當(dāng)1a1e時，有f(x)x.法二：令g(a)xf(x)xaxex，只要證明g(a)0在1a1e時恒成立即可g(1)xxexex0，g(1e)x(1e)xexexex，設(shè)h(x)exex，則h(x)exe，當(dāng)x1時，h(x)1時，h(x)0，h(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，h(x)h(1)e1e10，即g(1e)0.由知，g(a)0在1a1e時恒成立當(dāng)1a1e時，有f(x)x.針對訓(xùn)練(2014東北三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2ax3(a0)，函數(shù)g(x)f(x)ex(x1)，函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若ae，()求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；()求證：x0時，不等式g(x)1ln x恒成立解：(1)f(x)xax2ax，當(dāng)f(x)0時，x0或x，又a0，當(dāng)x(，0)時，f(x)0；當(dāng)x時，f(x)0，f(x)的極小值為f(0)0，f(x)的極大值為f.(2)ae，g(x