1、【2013考綱解讀】1. 理解平面向量的概念與幾何表示、兩個向量相等的含義;掌握向量加減與數(shù)乘運算及其意義;理解兩個向量共線的含義,了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.2了解平面向量的基本定理及其意義;掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算;理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.3理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;了解平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算;能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系. 【知識絡(luò)構(gòu)建】 【重點知識整合】1平面向量的基本概念2共線向量定理向量b與非零向量

2、a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使ba.如果向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab 的充要條件是x1y2x2y1或者x1y2x2y10，即用坐標(biāo)表示的兩個向量平行的充要條件是它們坐標(biāo)的交叉之積相等當(dāng)其中一個向量的坐標(biāo)都不是零時，這個充要條件也可以寫為，即對應(yīng)坐標(biāo)的比值相等3平面向量基本定理對于任意a，若以不共線的向量e1，e2作為基底，則存在唯一的一組實數(shù)對，使ae1e2.4向量的坐標(biāo)運算a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)5數(shù)量積(1)已知a，b的夾角為a，b(0，)，則它們的數(shù)量積為ab|a|b|cos，

3、其中|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，向量的數(shù)量積滿足交換律、數(shù)乘結(jié)合律和分配律，但不滿足結(jié)合律，即a(bc)(ab)c；(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2；(3)兩非零向量a，b的夾角公式為cos；(4)|a|2aa. (5)兩個向量垂直的充要條件就是它們的數(shù)量積等于零【高頻考點突破】考點一 向量的有關(guān)概念和運算 (1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意向量都共線，記為0.(2)長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，與a同向的單位向量為.(3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)例1、已知關(guān)于x的方程：x22x0(xr)，其中點c為直線ab

4、上一點，o是直線ab外一點，則下列結(jié)論正確的是 ()a點c在線段ab上b點c在線段ab的延長線上且點b為線段ac的中點c點c在線段ab的反向延長線上且點a為線段bc的中點d以上情況均有可能【方法技巧】解決向量的有關(guān)概念及運算問題要注意以下幾點 (1)正確理解向量的基本概念； (2)正確理解平面向量的基本運算律，abba，abba， ab(ab)與a(bc)(ab)c； (3)相等向量、相反向量、單位向量、零向量，在概念考查中 一定要重視，如有遺漏，則會出現(xiàn)錯誤. 考點二 平面向量的數(shù)量積1 兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩個向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦

5、值確定2求非零向量a，b的夾角一般利用公式cosa，b先求出夾角的余弦值，然后求夾角；向量a在向量b方向上的投影為.【方法技巧】(1)準(zhǔn)確利用兩向量的夾角公式cosa，b及向量模的公式|a|.(2)在涉及數(shù)量積時，向量運算應(yīng)注意：ab0，未必有a0，或b0；|ab|a|b|；a(bc)與(ab)c不一定相等.考點三 平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用通過對向量的運算把問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值、最值或研究三角函數(shù)的性質(zhì)等問題，是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型 例3.已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0)(1)求向量bc的長度的最大值；(2)設(shè)，且a(bc)，求cos的值解(1)法一：由

6、已知得bc(cos1，sin)，則 |bc|2(cos1)2sin22(1cos) 1cos1，0|bc|24，即0|bc|2. 當(dāng)cos1時，有|bc|max2， 所以向量bc的長度的最大值為2. 法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2. 當(dāng)cos1時，有bc(2,0)，即|bc|2， 所以向量bc的長度的最大值為2. 【難點探究】難點一平面向量的概念及線性運算例1、 (1)a，b是不共線的向量，若1ab，a2b(1，2r)，則a，b，c三點共線的充要條件為()a121 b121c1210 d1210(2) 設(shè)a1，a2，a3，a4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若(r)，(r)，且

7、2，則稱a3，a4調(diào)和分割a1，a2，已知點c(c,0)，d(d,0)(c，dr)調(diào)和分割點a(0,0)，b(1,0)，則下面說法正確的是()ac可能是線段ab的中點bd可能是線段ab的中點cc、d可能同時在線段ab上dc、d不可能同時在線段ab的延長線上【點評】 向量的共線定理和平面向量基本定理是平面向量中的兩個帶有根本意義的定理平面向量基本定理是平面內(nèi)任意一個向量都可以用兩個不共線的向量唯一線性表示，這個定理的一個極為重要的導(dǎo)出結(jié)果是，如果a，b不共線，那么1a2b1a2b的充要條件是11且22.共線向量定理有一個直接的導(dǎo)出結(jié)論，即如果xy，則a，b，c三點共線的充要條件是xy1.【變式探

8、究】(1)如圖所示，在abc中，點o是bc的中點，過點o的直線分別交直線ab，ac于不同的兩點m，n，若m，n(m，n0)，則的最小值為()a2 b4 c. d9(2) 設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_【答案】(1)c(2)(4，2)【解析】 (1)，同理，m，o，n三點共線，故，即0.難點二平面向量的數(shù)量積例2 如圖所示，p為aob所在平面內(nèi)一點，向量a，b，且p在線段ab的垂直平分線上，向量c.若|a|3，|b|2，則c(ab)的值為()a5 b3 c. d.【答案】c【解析】 設(shè)ab中點為d，c，所以c(ab)()(ab)(ab)(|a|2|b|

9、2).【點評】 平面向量問題的難點就是把平面向量的幾何運算與數(shù)量積運算的結(jié)合，這里要充分利用平面向量的幾何運算法則、平面向量的共線向量定理、兩向量垂直的條件以及平面向量數(shù)量積的運算法則，探究解題的思想【變式探究】(1)已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題：p1：|ab|1；p2：|ab|1；p3：|ab|1；p4：|ab|1.其中的真命題是()ap1，p4 bp1，p3cp2，p3 dp2，p4(2)在oab中，設(shè)a，b，則oa邊上的高等于_難點三 平面向量的共線與垂直的綜合運用例3 已知橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為f1、f2，左頂點為a，若|f1f2|2，橢圓的離心率為e.

10、(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若p是橢圓上的任意一點，求的取值范圍；(3)已知直線l：ykxm與橢圓相交于不同的兩點m，n(均不是長軸的端點)，ahmn，垂足為h且2，求證：直線l恒過定點【解答】 (1)由已知得c1，a2，b，所求橢圓方程為1.(2)設(shè)p(x0，y0)，又a(2,0)，f1(1,0)，(1x0)(2x0)yx3x05.由于p(x0，y0)在橢圓上，2x02，可知f(x0)x3x05在區(qū)間2,2上單調(diào)遞增，當(dāng)x02時，f(x0)取最小值為0；當(dāng)x02時，f(x0)取最大值為12，的取值范圍是0,12(3)由得(34k2)x28kmx4m2120，由0得4k23m2.【點評】 本

11、題是以考查解析幾何基本問題為主的試題，但平面向量在其中起著關(guān)鍵作用本題的難點是第三問，即把已知的垂直關(guān)系和向量等式轉(zhuǎn)化為0，從而達到使用韋達定理建立直線中參數(shù)k，m的方程，確定k，m的關(guān)系，把雙參數(shù)直線系方程化為單參數(shù)直線系方程，實現(xiàn)了證明直線系過定點的目的【變式探究】已知雙曲線的中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，一條漸近線方程為yx，右焦點f(5,0)，雙曲線的實軸為a1a2，p為雙曲線上一點(不同于a1，a2)，直線a1p、a2p分別與直線l：x交于m、n兩點(1)求雙曲線的方程；(2)求證：為定值【解答】 (1)依題意可設(shè)雙曲線方程為1，則所求雙曲線方程為1.(2)a1(3,0)、a2(3,0

12、)、f(5,0)，設(shè)p(x，y)，m，(x3，y)，a1、p、m三點共線，(x3)y0y0，y0，即m. 同理得n.，. 1，0，即0為定值【歷屆高考真題】【2012年高考試題】1.【2012高考真題重慶理6】設(shè)r，向量且，則（a） （b） （c） （d）102.【2012高考真題浙江理5】設(shè)a，b是兩個非零向量。a.若|a+b|=|a|-|b|，則abb.若ab，則|a+b|=|a|-|b|c.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實數(shù)，使得b=ad.若存在實數(shù)，使得b=a，則|a+b|=|a|-|b|3.【2012高考真題四川理7】設(shè)、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（ ）a

13、、 b、 c、 d、且 【答案】c【解析】a.可以推得為既不充分也不必要條件；b.可以推得或為必要不充分條件；c為充分不必要條件；d同b.4.【2012高考真題遼寧理3】已知兩個非零向量a，b滿足|a+b|=|ab|，則下面結(jié)論正確的是(a) ab (b) ab (c)0,1,3 (d)a+b=ab5.【2012高考真題江西理7】在直角三角形中，點是斜邊的中點，點為線段的中點，則=a2 b4 c5 d10【答案】d 【解析】將直角三角形放入直角坐標(biāo)系中，如圖，設(shè)，則，,所以，所以,所以，選d.6.【2012高考真題湖南理7】在abc中，ab=2，ac=3，= 1則.a. b. c. d.7.【

14、2012高考真題廣東理3】若向量=（2,3），=（4,7），則=a（-2,-4） b (3,4) c (6,10) d (-6,-10)【答案】a 【解析】故選a8.【2012高考真題廣東理8】對任意兩個非零的平面向量和，定義若平面向量a，b滿足|a|b|0，a與b的夾角，且和都在集合中，則=a b.1 c. d. 【答案】c【解析】因為，且和都在集合中，所以，所以，因為，所以，故有故選c9.【2012高考真題安徽理8】在平面直角坐標(biāo)系中，將向量按逆時針旋轉(zhuǎn)后，得向量，則點的坐標(biāo)是（ ） 10.【2012高考真題天津理7】已知為等邊三角形，ab=2，設(shè)點p，q滿足，若，則=（a） （b） （c

15、） （d）【答案】a11.【2012高考真題新課標(biāo)理13】已知向量夾角為 ，且；則12.【2012高考真題浙江理15】在abc中，m是bc的中點，am=3，bc=10，則=_.【答案】-16【解析】法一此題最適合的方法是特例法假設(shè)abc是以abac的等腰三角形，如圖，am3，bc10，abaccosbac法二：.13.【2012高考真題上海理12】在平行四邊形中，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點，且滿足，則的取值范圍是 。14.【2012高考真題山東理16】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時圓上一點的位置在，圓在軸上沿正向滾動。當(dāng)圓滾動到圓心位于時，的坐標(biāo)為_

16、.【答案】【解析】因為圓心移動的距離為2，所以劣弧，即圓心角,則,所以，所以，所以。15.【2012高考真題北京理13】已知正方形abcd的邊長為1，點e是ab邊上的動點，則的值為_，的最大值為_。16.【2012高考真題安徽理14】若平面向量滿足：，則的最小值是?！敬鸢浮俊窘馕觥?7.【2012高考江蘇9】（5分）如圖，在矩形中，點為的中點，點在邊上，若，則的值是 【答案】。 【2011年高考試題】1. (2011年高考四川卷理科4)如圖，正六邊形abcdef中，=( )(a)0 (b) (c) (d)答案：d解析：.2. (2011年高考全國卷理科12)設(shè)向量滿足|=|=1, ,，=，則的

17、最大值等于 (a)2 (b) (c) (d)1【答案】a【解析】如圖，構(gòu)造, , ,，所以四點共圓，可知當(dāng)線段為直徑時，最大，最大值為2.二、填空題:1. (2011年高考浙江卷理科14)若平面向量，滿足，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是 。【答案】【解析】，又2.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b滿足（a+2b）（a-b）=6，且，則a與b的夾角為 .3.(2011年高考重慶卷理科12)已知單位向量的夾角為，則 解析：。 4.(2011年高考安徽卷江蘇10)已知是夾角為的兩個單位向量， 若，則k的值為 .【答案】【解析】0,解得.【2010年高考試題】

18、（2010全國卷2理數(shù)）（8）中，點在上，平方若，則（a） （b） （c） （d）6.（2010遼寧理數(shù)）(8)平面上o,a,b三點不共線，設(shè)，則oab的面積等于 (a) (b) (c) (d) 【答案】c【解析】三角形的面積s=|a|b|sin，而 7.（2010重慶理數(shù)）(2) 已知向量a，b滿足，則a. 0 b. c. 4 d. 8解析：8.（2010四川理數(shù)）（5）設(shè)點m是線段bc的中點，點a在直線bc外， 則（a）8 （b）4 （c） 2 （d）1 9.（2010江西理數(shù)）13.已知向量，滿足， 與的夾角為60，則 【答案】 【解析】考查向量的夾角和向量的模長公式，以及向量三角形法則、余弦定理等知識，如圖，由余弦定理得：10.（2010廣東理數(shù)）10.若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件=-2,則= .解析：，解得11.（2010江蘇卷）15、（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點a(1,2)、b(2,3)、c(2,1)。求以線段ab、ac為鄰邊的平行四邊形