1、第1章 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,本課程的任務(wù)是系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計(jì)。而不論是系統(tǒng)分析還是系統(tǒng)設(shè)計(jì)，本課程所研究的內(nèi)容是基于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行的。因此，本章首先介紹控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,本章內(nèi)容為： 1、狀態(tài)空間表達(dá)式,2、由微分方程求出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式,3、傳遞函數(shù)矩陣,4、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,5、線性變換(狀態(tài)變量選取非唯一）,6、組合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,7、利用MATLAB進(jìn)行模型之間的變換,1.1 狀態(tài)空間表達(dá)式,1.1.1 狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)空間,狀態(tài)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是一個(gè)可以確定該系統(tǒng)行為的信息集合。,狀態(tài)空間以所選擇的一組狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸而構(gòu)成的正交線性空間，稱為狀態(tài)空間。,例：如下圖所示

2、電路， 為輸入量， 為輸出量。,建立方程：,初始條件：,和 可以表征該電路系統(tǒng)的行為，就是該系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量,1.1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式,前面電路的微分方程組可以改寫如下，并且寫成矩陣形式：,系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程一起，稱為系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，或稱為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程，或稱系統(tǒng)方程。,設(shè)：,則可以寫成狀態(tài)空間表達(dá)式：,推廣到一般形式：,如果矩陣A, B, C, D中的所有元素都是實(shí)常數(shù)時(shí)，則稱這樣的系統(tǒng)為線性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系統(tǒng)。 如果這些元素中有些是時(shí)間 t 的函數(shù)，則稱系統(tǒng)為線性時(shí)變系統(tǒng)。系統(tǒng)狀態(tài)圖和信號流圖如下：,嚴(yán)格地說，一切物理系統(tǒng)都是非線

3、性的。可以用下面的狀態(tài)方程和輸出方程表示。如果不顯含 t，則稱為非線性定常系統(tǒng)。,1.1.3 狀態(tài)變量的選取,（1） 狀態(tài)變量的選取可以視問題的性質(zhì)和輸入特性而定,（2）狀態(tài)變量選取的非惟一性,（3）系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)目是惟一的,在前面的例子中，如果重新選擇狀態(tài)變量 則其狀態(tài)方程為,輸出方程為：,1.1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式建立的舉例,例1-1 建立右圖所示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（注：質(zhì)量塊 m 的重量已經(jīng)和彈簧 k 的初始拉伸相抵消）,根據(jù)牛頓第二定律,即：,選擇狀態(tài)變量,則：,機(jī)械系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為,該系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下,例1-2 建立電樞控制直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)空間表達(dá)式,電樞回路的電壓方程為

4、,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程式為,（式中， 為電動(dòng)勢常數(shù)； 為轉(zhuǎn)矩常數(shù)； 為折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 為折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)。）,可選擇電樞電流 和角速度 為狀態(tài)變量，電動(dòng)機(jī)的電樞電壓 為輸入量，角速度 為輸出量。,狀態(tài)空間表達(dá)式,狀態(tài)圖如下：,例1-3 建立單極倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 單級倒立擺系統(tǒng)是許多重要的宇宙空間應(yīng)用的一個(gè)簡單模型。,在水平方向，應(yīng)用牛頓第二定律：,對擺球來說，在垂直于擺桿方向，應(yīng)用牛頓第二定律：,而有：,線性化：當(dāng) 和 較小時(shí) ，有,化簡后，得,求解得：,選擇狀態(tài)變量 ， ， ， 為系統(tǒng)輸入， 為系統(tǒng)輸出,狀態(tài)圖為,1.2 由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式,一個(gè)系統(tǒng)，

5、用線性定常微分方程描述其輸入和輸出的關(guān)系。通過選擇合適的狀態(tài)變量，就可以得到狀態(tài)空間表達(dá)式。,這里分兩種情況： 1、微分方程中不含輸入信號導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，（即1.2.1 中的內(nèi)容）,2、微分方程中含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，（即1.2.2 中的內(nèi)容）,1.2.1 微分方程中不含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項(xiàng),首先考察三階系統(tǒng)，其微分方程為,選取狀態(tài)變量,則有,寫成矩陣形式,狀態(tài)圖如下：,一般情況下，n 階微分方程為：,選擇狀態(tài)變量如下：,寫成矩陣形式：,系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下：,1.2.2 微分方程中含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項(xiàng),首先考察三階系統(tǒng)，其微分方程為,（一）待定系數(shù)法,選擇狀態(tài)變量：,其中，待定系數(shù)為：,于是,寫成矩陣形式,系統(tǒng)

6、的狀態(tài)圖,一般情況下，n 階微分方程為：,選擇 n 個(gè)狀態(tài)變量為,系統(tǒng)方程為,系統(tǒng)狀態(tài)圖如下,（二）輔助變量法,設(shè) n 階微分方程為：,Laplace變換，求傳遞函數(shù),引入輔助變量 z,返回到微分方程形式：,以及,寫成矩陣形式,注：如果輸入項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)階次和輸出項(xiàng)導(dǎo)數(shù)階次相同，則有d。,例1-4 已知描述系統(tǒng)的微分方程為,試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。,解,（1）待定系數(shù)法,選擇狀態(tài)變量如下,其中,于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,（2）輔助變量法,引入輔助變量z,選擇狀態(tài)變量,于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,1.3 傳遞函數(shù)矩陣,傳遞函數(shù)系統(tǒng)初始松弛（即：初始條件為零）時(shí)，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換

7、式之比。,在初始松弛時(shí)，求Laplace變換，并且化簡,狀態(tài)變量對輸入量的傳遞函數(shù),輸出量對輸入量的傳遞函數(shù)（即：傳遞函數(shù)）,例1-5 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為,求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,解：,1.3.2 傳遞函數(shù)矩陣,狀態(tài)空間表達(dá)式為,進(jìn)行拉普拉斯變換,如果 存在，則,如果 ，則,狀態(tài)變量對輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣：,而,輸出量對輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣：,其結(jié)構(gòu)為,式中， 表示只有第 j 個(gè)輸入作用時(shí)，第 i 個(gè)輸出量 對第 j 個(gè)輸入量 的傳遞函數(shù)。,例1-7 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為,求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。,解,1.3.3 正則（嚴(yán)格正則）有理傳遞函數(shù)（矩陣）,如果當(dāng) 時(shí)， 是有限常量，則稱有理函

8、數(shù) 是正則的。若 ，則稱 是嚴(yán)格正則的。,非正則傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)在實(shí)際的控制工程中是不能應(yīng)用的，因?yàn)檫@時(shí)系統(tǒng)對高頻噪聲將會(huì)大幅度放大。例如微分器 為非正則系統(tǒng)，假如輸入信號帶有高頻污染 經(jīng)過微分器輸出,可見，在微分器輸入端，噪聲的幅值只是有效信號幅值的百分之一，輸出端噪聲的幅值卻是有效信號幅值的10倍，信噪比變得很小。,1.3.4 閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣,于是閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣為,或,1.3.5 傳遞函數(shù)（矩陣）描述和狀態(tài)空間描述的比較,1）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)在初始松弛的假定下輸入-輸出間的關(guān)系描述，非初始松弛系統(tǒng)，不能應(yīng)用這種描述；狀態(tài)空間表達(dá)式即可以描述初始松弛系統(tǒng)，也可以描述非初始松弛系統(tǒng)。

9、,2）傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)；而狀態(tài)空間表達(dá)式可以在定常系統(tǒng)中應(yīng)用，也可以在時(shí)變系統(tǒng)中應(yīng)用。,3）對于數(shù)學(xué)模型不明的線性定常系統(tǒng)，難以建立狀態(tài)空間表達(dá)式；用實(shí)驗(yàn)法獲得頻率特性，進(jìn)而可以獲得傳遞函數(shù)。,4）傳遞函數(shù)一般僅適用于單入單出系統(tǒng)；狀態(tài)空間表達(dá)式可用于多入多出系統(tǒng)的描述。,5）傳遞函數(shù)只能給出系統(tǒng)的輸出信息；而狀態(tài)空間表達(dá)式不僅給出輸出信息，還能夠提供系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)信息。且一般有mn。,綜上所示，傳遞函數(shù)（矩陣）和狀態(tài)空間表達(dá)式這兩種描述各有所長，在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中都得到廣泛應(yīng)用。,1.4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,1.4.1 狀態(tài)空間表達(dá)式,選取狀態(tài)變量,寫成矩陣形式,可以表示為,其中,

10、輸出方程,推廣到n階線性定常差分方程所描述的系統(tǒng),選取狀態(tài)變量 ， ， ，,系統(tǒng)狀態(tài)方程,輸出方程,2. 差分方程中含有輸入量差分項(xiàng),先考察3階線性定常差分方程,選擇狀態(tài)變量,待定系數(shù)為：,系統(tǒng)狀態(tài)方程為,即：,輸出方程為,即：,多輸入-多輸出線性時(shí)變離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式,當(dāng) 、 、 和 的諸元素與時(shí)刻 無關(guān)時(shí)，即得線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式,如果 存在，則,其中， 為系統(tǒng)狀態(tài)對輸入量的脈沖傳遞函數(shù)矩陣,如果初始松弛，則,系統(tǒng)輸出向量對輸入向量的脈沖傳遞函數(shù)矩陣,解,對于SISO線性定常離散系統(tǒng),系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為,1.5 線性變換,我們知道，系統(tǒng)確定后，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)是確定的，但狀態(tài)變

11、量的選取是非唯一的。選擇不同的狀態(tài)變量，則得到的狀態(tài)空間表達(dá)式也不相同。 由于它們都是同一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，它們之間必然存在某種關(guān)系。這個(gè)關(guān)系就是矩陣中的線性變換關(guān)系。,1.5.1 等價(jià)系統(tǒng)方程,1. 線性定常系統(tǒng),（1）,為n 維狀態(tài)向量； 為r 維輸入向量； 為m維輸出向量； 、 、 、 為相應(yīng)維數(shù)的矩陣。,其中,于是，系統(tǒng)狀態(tài)方程變?yōu)?（2）,方程（1）與方程（2）互為等價(jià)方程,對上式求導(dǎo)并代入,可以得到,又由,可以得到,1.5.2 線性變換的基本性質(zhì),1. 線性變換不改變系統(tǒng)的特征值,線性定常系統(tǒng),系統(tǒng)的特征方程為,等價(jià)系統(tǒng)的特征方程為,可見線性變換不改變系統(tǒng)的特征值,2. 線性變

12、換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣,時(shí)的傳遞函數(shù)矩陣,可見，經(jīng)過線性變換，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣不改變。,1.5.3 化系數(shù)矩陣 A 為標(biāo)準(zhǔn)形,所謂標(biāo)準(zhǔn)形是指：對角形、約當(dāng)形、模態(tài)形,例1-10 將矩陣 化為對角陣,解,解出,變換矩陣,如果矩陣 A 具有這樣形式,范德蒙特矩陣,變換矩陣,且A的n個(gè)特征值1 、 2 、. n互異,則A可化為對角陣,Q陣為范德蒙特矩陣:,2. 化矩陣 A 為約當(dāng)形,如果矩陣 A 有重特征值，可分為兩種情況，（1）仍有n個(gè)獨(dú)立的特征向量，此時(shí)仍可以化為對角陣； （2）獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)小于n ,這時(shí)不能化為對角陣，只能化為約當(dāng)形。,確定變換矩陣,可以得到：,變換矩陣為,例1-1

13、2 化矩陣 為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,解,得出,求二重特征根對應(yīng)的特征向量,得到,而由,得到,求特征值 對應(yīng)的特征向量,得到,因此,設(shè)特征值為,在此情況下， A 的模態(tài)形為,設(shè) 為對應(yīng)于 的特征向量，則,令,則,變換矩陣,例1-13 將 化為模態(tài)形,解,特征值為,解得,因此,1.6 組合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,工程中較為復(fù)雜的系統(tǒng)，通常是由若干個(gè)子系統(tǒng)按某種方式連接而成的。這樣的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。 組合系統(tǒng)形式很多，在大多數(shù)情況下，它們由并聯(lián)、串聯(lián)和反饋等3種連接方式構(gòu)成的。 下面以兩個(gè)子系統(tǒng) 和 構(gòu)成的組合系統(tǒng)進(jìn)行介紹。,的系統(tǒng)方程為,傳遞函數(shù)矩陣為,的系統(tǒng)方程為,傳遞函數(shù)矩陣為,傳遞函數(shù)矩陣,1.6.2 串聯(lián)

14、連接,串連組合后系統(tǒng)方程,1.6.3 反饋連接,組合后系統(tǒng)方程為,傳遞函數(shù)矩陣為,或,（1-125）,（1-126）,應(yīng)當(dāng)指出，在反饋連接的組合系統(tǒng)中， 或 存在的條件是至關(guān)重要的。否則反饋系統(tǒng)對于 某些輸入就沒有一個(gè)滿足式（1-125）或式（1-126）的輸出。就這個(gè)意義來說，反饋連接就變得無意義了。,例1-14,1.7 利用MATLAB進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換,MATLAB是當(dāng)今世界上最優(yōu)秀的科技應(yīng)用軟件之一，它以強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算能力和可視化功能，簡單易用的編程語言以及開放式的編程環(huán)境等一些顯著的優(yōu)點(diǎn)，使得它在當(dāng)今許許多多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中成為計(jì)算機(jī)輔助分析和設(shè)計(jì)、算法研究和應(yīng)用開發(fā)的基本工具和首選平臺(tái)。在

15、本書中，用它作為系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的軟件平臺(tái)，更顯示出獨(dú)特的優(yōu)勢。 本節(jié)利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換。,可以用ss命令來建立狀態(tài)空間模型。對于連續(xù)系統(tǒng)，其格式為 sys=ss(A,B,C,D)，其中A，B，C，D為描述線性連續(xù)系統(tǒng)的矩陣。 當(dāng)sys1是一個(gè)用傳遞函數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)時(shí)，可以用命令sys=ss(sys1)，將其轉(zhuǎn)換成為狀態(tài)空間形式。也可以用命令sys=ss(sys1,min)計(jì)算出系統(tǒng)sys的最小實(shí)現(xiàn)。,例1-15 控制系統(tǒng)微分方程為,求其狀態(tài)空間表達(dá)式。,解,可以先將其轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù),輸入下列命令,語句執(zhí)行結(jié)果為,這個(gè)結(jié)果表示，該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,注意，在輸入命令中，

16、sys=ss(G)也可以改用A,B,C,D=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和sys=ss(G)近似，也可以計(jì)算出矩陣A、B、C、D。,2. 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,和連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的輸入方法相類似，如果要輸入離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，首先需要輸入矩陣G、H、C、d，然后輸入語句 ，即可將其輸入到MATLAB的workspace中，并且用變量名來表示這個(gè)離散系統(tǒng)，其中T為采樣時(shí)間。如果Gyu表示一個(gè)以脈沖傳遞函數(shù)描述的離散系統(tǒng)，也可以用ss(Gyu )命令，將脈沖傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式。,解,輸入下列語句,語句執(zhí)行的結(jié)果為,再輸入語句

17、 ，繪制出零、極點(diǎn)分布圖如下,在執(zhí)行完上述語句后，Gyu已經(jīng)存在于MATLAB的workspace中，這時(shí)再執(zhí)行語句,執(zhí)行結(jié)果為,結(jié)果表示，離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,1.7.2 求傳遞函數(shù)矩陣,在已知線性定常系統(tǒng)中的A、B、C和D矩陣之后，則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以按下式求出,例1-17 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為,其中inv( )函數(shù)是求矩陣的逆矩陣，而simple( )函數(shù)是對符號運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行簡化。 執(zhí)行結(jié)果如下,這表示,1.7.3. 線性變換,1. 化為對角矩陣,函數(shù)eig( )可以計(jì)算出矩陣A的特征值以及將A陣轉(zhuǎn)換成對角陣的線性變換矩陣。其語句格式為Q , D=eig(A)，則D為對角陣并且對角線上各元素為矩陣A的特征值，滿足 ，因?yàn)?即： 。,輸入以下語句,執(zhí)行結(jié)果如下,由以上計(jì)算數(shù)據(jù)可得