1、第四章 函數(shù)的連續(xù)性 第一節(jié) 連續(xù)性概念1按定義證明下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)： （1）； （2）。 證：（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，有 由三角不等式可得： ， 故當(dāng)時(shí)，有 對任意給的正數(shù)，取則，當(dāng) 且時(shí)，有 可見在連續(xù)，由的任意性知：在其定義域內(nèi)連續(xù)。(2) 的定義域?yàn)閷θ魏蔚?，由?，從而對任給正數(shù)，取，當(dāng)時(shí)，有 故 在連續(xù)，由的任意性知，在連續(xù)。2指出函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）解： （1）在間斷，由于不存在，故是的第二類間斷點(diǎn)。 （2）在間斷，由于 ， 故是的跳躍間斷點(diǎn)。 （3）在間斷， 由于 ， 故 是的可去間斷點(diǎn)。 （4）在間斷，

2、由于 ， ，故是的可去間斷點(diǎn)。 （5）在間斷，由于 ， ， ， 故 是的跳躍間斷點(diǎn)。 （6）在的點(diǎn)間斷且若，則 不存在，故是的第二類間斷點(diǎn)。 （7）在及間斷，且，不存在，故是的第二類間斷點(diǎn)。又因 ，故是的跳躍間斷點(diǎn)。3延拓下列函數(shù)，使在 上連續(xù)： （1）； （2）； （3） 。 解：（1）當(dāng)時(shí)，沒有定義，而=12 于是函數(shù) 是的延拓，且在 上連續(xù)。（2）當(dāng)時(shí)，沒有定義，而=，于是 函數(shù) 是的延拓，且在 上連續(xù)。（3）當(dāng)時(shí)，沒有定義，而=，于是 函數(shù) 是的延拓，且在 上連續(xù)。4若在點(diǎn)連續(xù)，則 ，是否也在連續(xù)？又若或在上連續(xù)，那么在上是否連續(xù)？解：（1）若在點(diǎn)連續(xù)，則與在連續(xù)。 （i）在點(diǎn)連續(xù)。事

3、實(shí)上，由于在點(diǎn)連續(xù)，從而對任給正數(shù)，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，而 故當(dāng) 時(shí)，有 ，因此在點(diǎn)連續(xù)。 （ii）在點(diǎn)連續(xù)。事實(shí)上，由于在點(diǎn)連續(xù)，從而由局部有界性知：存在及使當(dāng)時(shí)， 有 ， （1）有連續(xù)性定義知：對任給正數(shù)，存在正數(shù)，當(dāng)有 （2）先取 ，則當(dāng)，上（1）與（2）式同時(shí)成立，因此 故 在點(diǎn)連續(xù)。（2）逆命題不成立。例如設(shè) ，則 ，均為常數(shù)，故是連續(xù)函數(shù)，但在任一點(diǎn)都不連續(xù)。5設(shè)當(dāng)時(shí)，而，試證與這兩個(gè)函數(shù)中至多有一個(gè)在連續(xù)。 證明：（反證）假設(shè)與均在連續(xù)，則，又因時(shí)，于是，從而 這與 相矛盾。故與這兩個(gè)函數(shù)中至多有一個(gè)在連續(xù)。6證明：設(shè)為區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，且為的間斷點(diǎn)，則必是的第一類間斷點(diǎn)。 證：

4、 不妨設(shè)為區(qū)間上的遞增函數(shù)，于是當(dāng)，且時(shí)， 從而由函數(shù)極限的單調(diào)有界定理可知：存在 ，且= 同理可證 存在，且= 因此 ， 是的第一類間斷點(diǎn)。7設(shè)函數(shù)只有可去間斷點(diǎn)，定義，證明為連續(xù)函數(shù)。 證：設(shè) 的定義域?yàn)閰^(qū)間，則在上處處有定義（因只有可去間斷點(diǎn)，從而極限處處存在），任取，下證在連續(xù)。由于且（），從而對任給正數(shù)，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)有 ，任取，則必存在。于是當(dāng) 時(shí)，由不等式性質(zhì)知 因此當(dāng) 時(shí)，有 ，故在處連續(xù)。8設(shè)為上的單調(diào)函數(shù)，定義，證明函數(shù)在上每點(diǎn)都連續(xù)。 證：由于為上的單調(diào)函數(shù)，故只有第一類間斷點(diǎn)，故右極限處處存在。于是處處有定義，任取，下證在右連續(xù)。由于=且=，（）從而對任給正數(shù)，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，任取，則必存在。于是當(dāng)時(shí)，上不等式成立。由極限不等式性質(zhì)知 因此當(dāng)時(shí)，有 ，故在處右連續(xù)。9舉出定義在上符合下列要求的函數(shù)： （1）在和三點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)