1、彈性力學課程總結與復習,1,學習交流PPT,一、彈性力學問題研究的基本框架：,彈性力學問題,基本假設與基本量,5個基本假設；,15個基本量：,基本原理,平衡原理,能量原理,（單元體）,（整體）,基本方程,控制微分方程（15個）,邊界條件（6個）,平衡微分方程（3個）：,幾何方程（6個）：,物理方程（6個）：,應力邊界條件（3個）：,位移邊界條件（3個） ：, 數(shù)學上構成偏微分方程的定解問題,求解方法,2,學習交流PPT,函數(shù)解,精確解；,近似解；,（如：基于能量原理的解）,數(shù)值解,（如：有限差分法、有限單元法等）,實驗方法,二、彈性力學平面問題的求解,（1）按未知量的性質分：,按位移求解；,按

2、應力求解；,（2）按采用的坐標系分：,直角坐標解答；,極坐標解答；,（3）按采用的函數(shù)類型分：,級數(shù)解；,初等函數(shù)解；,復變函數(shù)解；,1. 平面問題的求解方法,逆解法；,半逆解法；,3,學習交流PPT,2. 平面問題求解的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形變協(xié)調方程）,（2-23）,（3）邊界條件：,（平面應力情形）,（1）對應力邊界問題，且為單連通問題，滿足上述方程的解是唯一正確解。,（2）對多連通問題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。,說明：,4,學習交流PPT,3. 常體力下平面問題求解的基本方程與步驟：,（1）,(2-27),（2）,然后將 代入式（2-

3、26）求出應力分量：,先由方程（2-27）求出應力函數(shù)：,(2-26),（3）,再讓 滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。,直角坐標下,5,學習交流PPT,（1）,由問題的條件求出滿足式（46）的應力函數(shù),（46）,（2）,由式（45）求出相應的應力分量：,（45）,（3）,位移邊界條件：,應力邊界條件：,為邊界上已知位移，,為邊界上已知的面力分量。,（位移單值條件）,極坐標下,6,學習交流PPT,4. 平面問題Airy應力函數(shù) 的選?。?直角坐標下,習題：3 -1，3 2，3 3，3 -4,7,學習交流PPT,極坐標下,（1） 軸對稱問題,（411）,應力函數(shù),應力分量,位移分量,

4、式中：A、B、C、H、I、K 由應力和位移邊界條件確定。,8,學習交流PPT,（2） 圓孔的孔邊應力集中問題,9,學習交流PPT,（3） 楔形體問題, 由因次法確定 應力函數(shù)的分離變量形式,（1） 楔頂受集中力偶,（2） 楔頂受集中力,（3） 楔形體一側受分布力,10,學習交流PPT,（4） 曲梁問題,其中： q 為曲梁圓周邊界上的分布載荷。 M，Q分別為梁截面上彎矩與剪力。,結合應力分量與應力函數(shù)的關系確定 應力函數(shù)：,11,學習交流PPT,（5） 半平面問題,利用疊加法求解,12,學習交流PPT,練習：,（1） 試用邊界條件確定，當圖示變截面桿件受拉伸時，在靠桿邊的外表面處，橫截面上的正應

5、力 與剪應力 間的關系。設桿的橫截面形狀為狹長矩形，板厚為一個單位。,（2） z 方向（垂直于板面）很長的直角六面體，上邊界受均勻壓力 p 作用，底部放置在絕對剛性與光滑的基礎上，如圖所示。不計自重，試確定其應力和位移分量。,13,學習交流PPT,（3） 有一薄壁圓筒的平均半徑為R，壁厚為 t，兩端受相等相反的扭矩 M 作用?，F(xiàn)在圓筒上發(fā)現(xiàn)半徑為 a 的小圓孔，如圖所示，則孔邊的最大應力如何？最大應力發(fā)生在何處？,（4） 已知圓環(huán)在 r = a 的內邊界上被固定，在 r = b 的圓周上作用著均勻分布剪應力，如圖所示。試確定圓環(huán)內的應力與位移。,14,學習交流PPT,四、彈性力學問題求解的能量

6、法,1. 基本概念與基本量,（1）形變勢能U、比能U 1；,（2）形變余能U *、比余能U *1；,（3）總勢能；,（4）總余能 *；,各量的計算。,2. 變分方程與變分原理,（1）,位移變分方程；,虛功方程；,最小勢能原理；,伽遼金變分方程；,（2）,應力變分方程；,最小余能原理；,3. 求解彈性力學問題的變分法,（1）Ritz 法；,（2）最小勢能原理；,（3）伽遼金法；,（1）應力變分法；,（2）最小余能原理；,如何設定位移函數(shù)？,如何設定應力函數(shù) ？,4. 彈性力學兩個基本定理,（1）解的唯一性定理；,（2）功的互等定理；,15,學習交流PPT,5. Ritz 法解題步驟：,（1）假設

7、位移函數(shù)，使其位移邊界條件；,（2） 計算形變勢能 U ；,（3）代入Ritz 法方程求解待定系數(shù)；,（4）回代求解位移、應力等。,6. 最小勢能原理解題步驟：,（1）假設位移函數(shù)，使其位移邊界條件；,（2） 計算系統(tǒng)的總勢能 ；,（3） 由最小勢能原理： =0 ，確定待定系數(shù)；,（4）回代求解位移、應力等。,7. 應力變分法解題步驟：,（1）假設滿足應力邊界條件的應力函數(shù) ；,（2）計算系統(tǒng)的形變余能U *；,（3）代入應力變分法方程確定待定系數(shù)；,（4）回代求出應力分量。,在沒有給定非零位移邊界條件時，應力變分法方程：,16,學習交流PPT,五、其它問題,（1）一點應力狀態(tài)分析；,（2）一

8、點應變狀態(tài)分析；,（3）應力邊界條件的列寫；,（圣維南原理的應用）,（4）張量的基本知識；,（彈性力學基本方程的張量表示）,17,學習交流PPT,第一章 緒 論,（1）彈性力學與材料力學）、結構力學課程的異同。,（從研究對象、研究內容、研究方法等討論）,（2）彈性力學中應用了哪些基本假定？這些基本假定在建立彈性力學基本方程時的作用是什么？舉例說明哪些使用這些假定？,（3）彈性力學中應力分量的正負是如何規(guī)定的？與材料力學中有何不同？,18,學習交流PPT,第二章 平面問題的基本理論,（1）兩類平面問題的特點？（幾何、受力、應力、應變等）。,（2）試列出兩類平面問題的基本方程，并比較它們的異同。,

9、（3）在建立平面問題基本方程（平衡方程、幾何方程）時，作了哪些近似簡化處理？其作用是什么？,（4）位移分量與應變分量的關系如何？是否有位移就有應變？,（5）已知位移分量可唯一確定其形變分量，反過來是否也能唯一確定？需要什么條件？,（6）已知一點的應力分量，如何求任意斜截面的應力、主應力、主方向？,（7）什么是線應變（正應變）、剪應變（切應變、角應變）？如何由一點應變分量求任意方向的線應變、主應變、主應變方向？,（8）平面應力與平面應變問題的物理方程有何關系？,（9）邊界條件有哪兩類？如何列寫？,19,學習交流PPT,（10）何為圣維南原理？其要點是什么？圣維南原理的作用是什么？如何利用圣維南原

10、理列寫邊界條件？,（11）彈性力學問題為超靜定問題，試說明之。,（12）彈性力學問題按位移求解的基本方程有哪些？,（13）彈性力學平面問題的變形協(xié)調方程有哪些形式？各自的使用條件是什么？,（14）按應力求解彈性力學問題，為什么除了滿足平衡方程、邊界條件外，還必須滿足變形協(xié)調方程（相容方程）？而按位移求解為什么不需要滿足變形協(xié)調方程？,（15）應力分量滿足平衡方程、相容方程、邊界條件，是否就是問題的正確解？為什么？,（16）常體力情況下，如何將體力轉化為面力？其意義如何？,（17）何為逆解法？何為半逆解法？,（18）Airy應力函數(shù) 在邊界上值的物理意義是什么？應力函數(shù) 的導數(shù)： 在邊界上值的物

11、理意義是什么？,20,學習交流PPT,第三章 平面問題的直角坐標解答,（1）直角坐標解答適用于什么情況？,（2）應力函數(shù)是否是唯一的？它可確定什么程度？,（3）用應力函數(shù)法求解彈性力學問題的基本步驟？,（4）應力函數(shù)與應力分量間的（直角坐標）關系如何？,（5）如何利用材料力學的結果推出應力函數(shù) 的形式？,（6）如何利用量綱分析法（因次分析法）確定楔形體問題應力函數(shù) 的冪次數(shù)？,21,學習交流PPT,習題：3 -1，3 2，3 3，3 -4,22,學習交流PPT,第四章 平面問題的極坐標解答,（1）極坐標解答適用的問題結構的幾何形狀？,（圓環(huán)、圓筒、圓弧形曲桿、楔形體、半無限平面體等）,（2）極

12、坐標下彈性力學平面問題的基本方程？,（平衡微分方程、幾何方程、物理方程、邊界條件方程）,（3）極坐標下彈性力學平面問題的相容方程？,（用應變表示的、用應力函數(shù)表示的相容方程等）,（4）極坐標下應力分量與應力函數(shù) 間關系？,（5）極坐標下彈性力學平面問題邊界條件的列寫？,（6）極坐標下軸對稱問題應力函數(shù) 、應力分量、位移分量的特點？,（7）圓弧形曲梁問題應力函數(shù) 、應力分量、位移分量的確定？,（如何利用材料力學中曲梁橫截面應力推出應力函數(shù) 的形式？）,（8）楔形體在力偶、集中力、邊界分布力作用下，應力函數(shù) 、應力分量、位移分量的確定？,23,學習交流PPT,（9）半無限平面體在邊界上作用力偶、集

13、中力、分布力下，應力函數(shù) 、應力分量、位移分量的確定？,（10）圓孔附近應力集中問題應力函數(shù) 、應力分量、位移分量的確定？,（11）疊加法的應用。,24,學習交流PPT,25,學習交流PPT,26,學習交流PPT,27,學習交流PPT,28,學習交流PPT,疊加法的應用,29,學習交流PPT,30,學習交流PPT,第七章 平面問題的差分解,（1）了解差分法的基本思想；,（2）了解應力函數(shù)差分解中，應力分量的差分公式；應力函數(shù)的差分方程；,（3）了解應力函數(shù)差分解求解彈性力學問題的基本方法步驟；,（4）了解位移差分解的基本思路；,位移差分法求解彈性力學問題的基本方法步驟；,31,學習交流PPT,

14、第十一章 能量原理與變分法,（1）形變勢能U、比能U1的概念及計算；,（在線彈性情況下，比能U1的計算各種形式：一般形式、應變形式、應力形式、位移形式）,（2）形變余能U*、比余能U*1的概念及計算；與形變比能U1的區(qū)別；在線彈性情況下，形變勢能與形變余能存在什么關系？,（3）彈性體總勢能 的概念及計算；, 外力勢能,（4）彈性體總余能 * 的概念及計算；, 外力余勢能,32,學習交流PPT,（5）形變比能U1、 比余能U*1與應力、應變的關系：,（6）位移變分方程及其物理意義；,（7）虛功方程及其物理意義；,33,學習交流PPT,（7）虛功方程及其物理意義、適用性；,外力的虛功 = 內力的虛功，,適用于任何性質的材料。,（8）最小勢能原理及其物理意義；,（9）位移變分方程、最小勢能原理與彈性力學基本方程的等價性？,（10）伽遼金變分方程及其與彈性力學基本方程的等價性？,（11）Ritz 法求彈性力學問題的方法與解題步驟； Ritz 法中對位移函數(shù)設定的要求；,（12）用最小勢能原理求彈性力學問題的方法與解題步驟；,（13）用Ritz 法或最小勢能原理求彈性力學平面問題、梁的彎曲變形問題；,34,學習交流PPT,（14）用Ritz 法或最小勢能原理推導彈性力學平面問題、梁的彎曲變形問題的平衡微分方程與應力邊界條件；,（15）用伽遼金法求解彈性力學問題