1、高中學(xué)習(xí)與思考完整講義：排列與組合。第五節(jié)。排列組合問題1的通用模型知識含量1.基本計數(shù)原理(1)加法原理分類和計數(shù)原則：做事有不同的方式，第一種方式有不同的方式，第二種方式有不同的方式，第一種方式有不同的方式。然后有不同的方法來完成它。也稱為加法原理。乘法原理一步一步計算的原則：做一件事，它需要被分成子步驟。第一步有不同的方法，第二步有不同的方法，第一步有不同的方法。然后有不同的方法來完成它。也叫乘法原理。(3)加法原理和乘法原理的綜合應(yīng)用如果完成一件事情的各種方法是相互獨立的，那么在計算完成這件事情的方法的數(shù)量時應(yīng)該使用分類計數(shù)的原則。如果完成一件事情的步驟是相互關(guān)聯(lián)的，也就是說，每一步都

2、必須在完成之前完成，那么在計算完成這件事情的方法的數(shù)量時，就應(yīng)該使用逐步計數(shù)的原則。分類計數(shù)原則和分步計數(shù)原則是推導(dǎo)排列數(shù)和組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是解決排列組合問題的基本思想方法。這兩個原則非常重要，必須認(rèn)真學(xué)習(xí)，正確靈活地運用。2.排列和組合(1)排列：一般來說，從不同的元素中取出任意一個元素并按一定的順序排列，叫做從不同的元素中取出元素的排列。(拍攝的對象稱為元素)排列數(shù)：從不同元素中取出的元素的所有排列數(shù)被稱為從不同元素中取出的元素的排列數(shù)，用符號表示。排列數(shù)的公式：和。總的安排：一般來說，把所有不同的元素都取出來的安排叫做不同元素的總安排。的階乘：從到的正整數(shù)的連續(xù)乘積稱為的階乘，用

3、。規(guī)定如下：(2)組合：通常，從一個不同的元素中隨機抽取一個元素，并將其分組，這稱為一個元素與一個元素的組合。組合數(shù)：從不同元素中任意取出的所有元素的組合數(shù)，稱為從不同元素中任意取出的元素的組合數(shù)，用符號表示。組合數(shù)字公式：和。組合數(shù)的兩個屬性：屬性1:自然2:(指定)(3)排列組合綜合問題要解決排列組合問題，首先必須運用兩個計數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清它是分類還是分步、排列還是組合，同時掌握一些常見排列組合問題的解法：1.特殊元素和特殊位置優(yōu)先方法元素優(yōu)先法：首先考慮有約束的元素的需求，然后考慮其他元素；位置優(yōu)先法：首先考慮受限位置的要求，然后考慮其他位置；2.分類和分步方法：對于比

4、較復(fù)雜的排列組合問題，往往需要討論分類或分步計算，而且要分類清楚，層次清楚，不能重復(fù)。3.排除法是一種間接解決問題的方法，它從整體上排除不合格方法的數(shù)量。4.綁定方法：某些元素必須相鄰排列。您可以首先將相鄰的元素“捆綁”成一個元素，并將其與其他元素排列在一起，然后將它們排列在“元素捆綁”中。5.插值方法：當(dāng)一些元素相鄰排列時，可以先排列其他元素，然后對不相鄰的元素進(jìn)行插值。6.插件板方法：將相同的元素分成多個組，每個組至少有一個分組問題。將元素排列成一行，選擇一個空白空間，并為每個元素插入一個隔板。7.分組和分配方法：分組問題(分成幾堆，雜亂無章)。有相等的部分，不等的部分和部分的部分。一般來

5、說，它是均勻地分成樁(組)，這必須除以！如果存在具有相同數(shù)量元素的堆(組),8.錯位法：把從1到1的球放入從1到1的盒子里，每個盒子里放一個球。要求球和盒子的數(shù)量不同。這種排列稱為位錯排列，特別是當(dāng)3、4和5的位錯數(shù)分別為1、2、9和44時。5、6、7元素位錯排列的計算可用消去法轉(zhuǎn)化為21.安排和組合應(yīng)用問題，主要檢查附加條件的應(yīng)用問題。解決這些問題通常有三種方法：元素分析法：元素是主要元素，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；區(qū)位分析方法：區(qū)位是主要考慮因素，即先滿足特殊區(qū)位的要求，再考慮其他區(qū)位；間接法：不考慮附加條件，計算排列或組合的數(shù)量，然后減去不符合要求的排列或組合的數(shù)量。解題時

6、，要注意將具體問題轉(zhuǎn)化或化簡為排列或組合問題；然后通過分析，確定是采用分類計數(shù)原則還是分步計數(shù)原則；然后分析話題條件，避免“選擇”中的重復(fù)和遺漏；最后，列出了計算答案的公式。2.解決問題的具體策略是：(1)優(yōu)先考慮特殊元素；2 .理解問題的含義后，合理準(zhǔn)確地進(jìn)行分類，分類后驗證是否不重；3對于提取一些元素進(jìn)行排列的問題，一般先選擇后排，以防重復(fù)；(4)對于相鄰元素的情況，采用綁定方法；對于單元間距排列問題，采用插入法或分割法；固定順序問題用除法處理；幾行的問題可以轉(zhuǎn)化為直接行的問題；如果正面考慮太復(fù)雜，可以考慮負(fù)面考慮。對于一些排列數(shù)和組合數(shù)的問題，有必要建立模型。典型案例分析排隊問題例1三個

7、女孩和五個男孩排成一排(1)如果女孩必須被安排在一起，會有多少不同的安排？(2)如果女孩必須完全分開，會有多少種不同的安排？如果女孩不能被安排在兩端，會有多少種不同的安排？示例2個人站成一排：(1)甲、乙雙方必須相鄰的地方，有多少種不同的安排？(2)甲、乙雙方不相鄰時，有多少種不同的安排方式？(3)對于不站在前面和后面的甲、乙雙方有多少種不同的安排？(4)其中，甲不站在頭部，乙不站在尾部。有多少種不同的方法？例3七名學(xué)生排隊拍照。(1)如果分成兩排，前排有3人，后排有4人。有多少不同的行？如果照片排成兩排，前排有3人，后排有4人，但A必須在前排，B必須在后排。有多少種不同的安排？(3)如果照片

8、排成一排，三個人必須相鄰。有多少種不同的安排？如果你連續(xù)拍照，7個人里有4個男生和3個女生，女生不能相鄰。有多少不同的行？示例4團(tuán)隊成員被排列成一排，(1)有多少種不同的安排？如果A必須站在頂端，有多少種不同的安排？(3)如果A不能站在頭部或尾部，問有多少不同的行？例5五個字母排成一行，它們之間的位置關(guān)系必須基于這樣的原則，即A在前面，B在中間，C在后面。有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _種排列方式(用數(shù)字回答)。示例6使用1到8形成八位數(shù)而不重復(fù)數(shù)字要求1和2相鄰，3和4相鄰，5與6相鄰，但7與8不相鄰。有_ _ _個這樣的八位數(shù)(用數(shù)字回答)。例7記者想給志愿者和他們幫助的老人拍

9、照。他們被要求排成一排。老年人是相鄰的，但不是在兩端。有不同的行()A.物種b物種c物種d。例8學(xué)生們合影，站在前排和后排?，F(xiàn)在攝影師不得不例10在所有數(shù)字和符號的五個元素的全排列中，任意兩個數(shù)字不相鄰的全排列數(shù)是()美國廣播公司示例11計劃展示10幅不同的繪畫作品，包括一幅水彩畫、四幅油畫和五幅國畫，這些作品被連續(xù)展示。要求同一品種的畫必須連接在一起，水彩畫不應(yīng)該放在兩端，所以有_ _ _ _ _種不同的展示方法。例12六個人站成一排，而甲不站在前排，乙不站在后排。有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

10、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _例13有7個座位和4個人坐在一條長凳上。在3個空缺席位中，2個空缺席位相鄰，另一個空缺席位不與2個相鄰席位相鄰。有多少種坐姿？例14一個男孩和一個女孩站成一排。如果一個男孩沒有站在兩端，只有兩個女孩相鄰，那么不同的行數(shù)是()工商管理碩士例15古代“五行”理論認(rèn)為：“物質(zhì)分為五種屬性：金、木、土、水和火，金克木、木和土、土和水、水和火、火和金。”五種不同屬性的材料隨機排列成一行，但排列中屬性相似的兩種材料不相鄰，所以有幾種這樣的排列方法(結(jié)果用數(shù)值表示)。例16在的任何

11、排列中，有()種排列使兩個相鄰的數(shù)互為素數(shù)。A.學(xué)士學(xué)位示例17從集合中選取兩個元素，并將它們排列成一行(字母和數(shù)字不能重復(fù))。每行最多可以出現(xiàn)一個字母和數(shù)字的不同排列方法的數(shù)量是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(用數(shù)字回答)示例18從集合中選取一個元素并將其排列成一行(字母和數(shù)字不能重復(fù))。每行最多可以出現(xiàn)一個字母和數(shù)字的不同排列方法的數(shù)量是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(用數(shù)字回答)例19一個人坐在一排座位上，問道(1)當(dāng)空位不相鄰時，有多少種坐法？當(dāng)只有一個相鄰座位時，有多少種坐姿？(3)每個空位最多有一個相鄰的坐法。例20一個男孩和一個

12、女孩站成一排。如果一個男孩沒有站在兩端，只有兩個女孩相鄰，那么不同的行數(shù)是()美國廣播公司例21十二個學(xué)生站在前排，四個人和八個人在后排，拍了一張集體照。現(xiàn)在攝影師需要從后排畫兩個人來適應(yīng)前排。其他方法的相對順序不變，因此不同調(diào)整方法的總數(shù)為()A.學(xué)士學(xué)位例22兩部不同的小說由第一、第二、第三和第四卷組成，每一卷總共有四本書。如果它們隨機排列成一排，左邊的書都屬于同一本小說的概率是_ _ _ _ _。例233月中旬，中國南方部分地區(qū)遭遇了歷史上罕見的雪災(zāi)，動力煤庫存緊張。為了支援南方的救災(zāi)工作，國家統(tǒng)一部署，加強了北方煤礦區(qū)的動力煤運輸。某鐵路貨運站組織調(diào)度了熱煤貨運列車，并決定將列車組織成

13、兩組，每組一列，列車甲和列車乙不在同一組。如果A組中的列車先離開，那么列車有不同的發(fā)車順序。A.物種b物種c物種d。數(shù)字問題示例24給定數(shù)字、每個數(shù)字最多使用一次。(1)可以形成多少個四位數(shù)？(2)可以形成多少個四位數(shù)的奇數(shù)？(3)可以形成多少個四位數(shù)的偶數(shù)？(4)可以形成多少個自然數(shù)？例25從0到9的10個數(shù)字可以組成多少個不重復(fù)的四位數(shù)偶數(shù)？示例261、3、5、7和9中的任意三個數(shù)字和0、2、4、6和8中的任意兩個數(shù)字可以組成多少個不同的五位數(shù)偶數(shù)？示例27有多少五位數(shù)字對排列在一個數(shù)字中而不重復(fù)的五位數(shù)字感到滿意？例28這十個數(shù)字用來構(gòu)成四位數(shù)而不重復(fù)數(shù)字。如果千位數(shù)和一位數(shù)之差的絕對值

14、是0，那么有多少個這樣的四位數(shù)？示例29有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _例30分別有一張標(biāo)有數(shù)字的紅色卡片和一張標(biāo)有數(shù)字的藍(lán)色卡片。從這張卡片中取出卡片，并把它們排成一行。如果取出的卡片上標(biāo)記的數(shù)字之和等于，則有幾個不同的排列數(shù)字。；示例31有些卡片分別標(biāo)有數(shù)字、拿出卡片，把它們排成一排。如果需要中間一行兩張卡片上的數(shù)字之和，則共享不同的排列方法()A.物種b物種c物種d。例32分別有一張標(biāo)有數(shù)字的紅色卡片和一張標(biāo)有數(shù)字的藍(lán)色卡片。從這張卡片中取出卡片，并把它們排成一行。如果取出的卡片上標(biāo)明的數(shù)

15、字之和等于，有_ _ _ _ _種不同的排列方法(用數(shù)字回答)。示例33使用1、2、3、4、5和6形成六位數(shù)(不重復(fù)數(shù)字)要求任何兩個相鄰的數(shù)字具有不同的奇偶性，并且1和2是相鄰的。這種六位數(shù)的數(shù)字是_ _ _ _ _ _ _ _ _(用數(shù)字回答)。示例34數(shù)字可用于形成不重復(fù)的數(shù)字，偶數(shù)和更大的數(shù)字共享()A.哥倫比亞特區(qū)華盛頓例35從這個數(shù)中，取出兩個，使它們的和為偶數(shù)，然后你就可以得到這些不同的偶數(shù)？示例36在用于查找無重復(fù)號碼的六位數(shù)字中，有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。示例37數(shù)字用于形成四位數(shù)而不重復(fù)數(shù)字，其中一位數(shù)、十位數(shù)和一百位數(shù)的總和為偶數(shù)?？偣灿兴奈粩?shù)字(用數(shù)學(xué)回答)。例38從這六個數(shù)字中取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)是()A.學(xué)士學(xué)位示例39從這六個數(shù)字中取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，不重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)為()A.學(xué)士學(xué)位示例40從九個數(shù)字中取三個偶數(shù)和四個奇數(shù)。(1)可以形成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？任何兩個偶數(shù)不相鄰的地方有