1、.,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動力學(xué)概述,張海峰 ,.,提綱,傳染病動力學(xué)基本概念 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動力學(xué)的基本結(jié)果與推廣 個體、社會行為反應(yīng)對傳播行為的影響 總結(jié)與展望,.,一、基本概念,.,專業(yè)名詞,S-susceptible（易感染者，健康者）;I-infected（感染者）; R-recovery/removed（恢復(fù)者、移除者）;V-vaccinated(接種者）;E-exposed（暴露但不具有感染性，或稱潛伏）。 SIS模型：易染個體被感染后，可以被治愈但無免疫力（還可以再被感染）（感冒等） SIR模型：易染個體被感染后，可以被治愈且有免疫力（不會被感染，也不會感染其它節(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于已經(jīng)從傳

2、播網(wǎng)絡(luò)中被清除了）（天花等） SI模型：易染個體被感染后，不能被治愈（艾滋病等） SIRS模型：易染個體被感染后，可以被治愈且有免疫力，但免疫期是有限的，還會再次回到易染狀態(tài)。（乙肝？）,.,基本微分方程,SIR的微分方程,SIS的微分方程,更一般的模型，可以考慮人口數(shù)量 變化的、傳播率變化的、多種群的、時間滯后的、加入媒介的、加入接種措施的，等等。,.,二、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播,., 感染密度（感染水平或者波及范圍）(t) (t)：傳播過程中,感染節(jié)點(diǎn)總數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例。：傳播到穩(wěn)態(tài)時（ ）感染密度的值,稱為穩(wěn)態(tài)感染密度。 有效傳播率(=/) 非常?。ê苄?，很大），傳播達(dá)穩(wěn)態(tài)時， 所有節(jié)點(diǎn)

3、都會變成健康節(jié)點(diǎn)，這種情況下就認(rèn)為疾病 沒有在網(wǎng)絡(luò)上傳播開來，并記該疾病的穩(wěn)態(tài)感染密度 =0。 反之，當(dāng)足夠大時，疾病將一直在網(wǎng)絡(luò)中存在而不會完全消失，只是染病節(jié)點(diǎn)的數(shù)目有時多有時少，這時穩(wěn)態(tài)感染水平（波及范圍） 0。把穩(wěn)態(tài)感染密度從零向正實(shí)數(shù)變化的那個點(diǎn)所對應(yīng)的有效傳播率稱作傳播閾值（臨界值） c。它是衡量網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為最重要的參量之一。,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上研究的主要參量,.,均勻網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型,. 均勻網(wǎng)絡(luò)： . 解析模型 三個假設(shè)： 均勻混合假設(shè)：感染強(qiáng)度和感染個體密度 成比例。即： 和為常數(shù)（均勻混合）。不失一般性，可假設(shè)=1，因?yàn)檫@只影響疾病傳播的時間尺度； 均勻性假設(shè)：均勻網(wǎng)絡(luò)中，每

4、個節(jié)點(diǎn)的度都等于網(wǎng)絡(luò)的平均度； 規(guī)模不變假設(shè)：不考慮個體的出生和自然死亡,.,運(yùn)用平均場的方法可得：被感染個體密度(t)的變化率 被感染節(jié)點(diǎn)以單位速率恢復(fù)健康 單個感染節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的新感染節(jié)點(diǎn)的平均速度，它與有效傳播率、節(jié)點(diǎn)的平均度k，健康節(jié)點(diǎn)相連概率1-(t)成比例，（其他的高階校正項(xiàng)忽略了）。,.,當(dāng)傳播達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，變化率為0，所以令上式右端為0； 即：-+1-=0 （1-+）=0； （- ）=0； 當(dāng) 時，- 必大于0，所以=0； 當(dāng) 時，= ； 所以， 即為臨界傳播值，記 = 。,.,結(jié)論： 在均勻網(wǎng)絡(luò)中存在一個有限的正的傳播臨界值c。 如果有效傳播率 c，則病毒可以在網(wǎng)絡(luò)中傳播 開來，并

5、最終穩(wěn)定于 , 此時稱網(wǎng)絡(luò)處于激活相態(tài)； 如果有效傳播率c，病毒 感染個體數(shù)呈指數(shù)衰減，無法大 范圍傳播，最終將不能傳播, 此時網(wǎng)絡(luò)稱為吸收相態(tài)。,.,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的疾病傳播,. 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：具有冪律度分布的網(wǎng)絡(luò)，即： ； 網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度沒有明顯的特征長度 . 解析模型 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布是呈冪律分布，因而度具有很大的 波動性，定義一個相對感染密度 ：度數(shù)為k的感染節(jié)點(diǎn) 數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例。當(dāng)t趨于無窮大時，相對穩(wěn)態(tài)感染密 度記為 。 平均感染密度： 穩(wěn)態(tài)平均感染密度：,.,同樣我們能采用MF理論來求 的變化率得:度為k的節(jié)點(diǎn)相對感染密度的變化方程為： ：任意一條給定的邊與一個被感染節(jié)點(diǎn)相連的

6、概率 任意一條給定邊指向度為k的節(jié)點(diǎn)的概率為 （與度為k節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊數(shù)與總邊數(shù)的比值） 則任意一條給定邊指向度為k的感染節(jié)點(diǎn)的概率為 從而，,.,根據(jù)穩(wěn)態(tài)條件 ，可得：,把（1）代人（2）可以得到如下自洽方程,有一個平凡解 如果該方程要存在一個非零穩(wěn)定解 ，需要滿足如下條件：,.,結(jié)論：對于SF（無標(biāo)度）網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)度數(shù)具有很大的浮動性，當(dāng) ,導(dǎo)致 ，從而 特別地，作為SF網(wǎng)絡(luò)的一個典型例子，考慮BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。,.,BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值,BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：(1) 增長特性，(2) 優(yōu)先連接特性（富者更富，或馬太效應(yīng)） 度分布 ，平均度 其中m是網(wǎng)絡(luò)最小度 將平均度 ，度分布 ，以及 帶入

7、，可得：,.,.,又因?yàn)?.,化簡后得： 當(dāng)=0時，有 當(dāng)0時，有 結(jié)論： BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在SIS模型下的 只要有效傳播率0，病毒就能傳播開來，并將達(dá)到一個穩(wěn)定感染水平 ，這反映了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對抵抗病毒的脆弱性,.,WS網(wǎng)絡(luò)與BA網(wǎng)絡(luò)的比較,.,總結(jié),1. SIS模型在均勻網(wǎng)絡(luò)中，存在一個傳播臨界值 。 當(dāng)時，疾病在時間演化過程中逐漸衰減，最終被滅； 當(dāng)時，疾病在時間演化過程中傳播開來，并穩(wěn)定于某一值（穩(wěn)態(tài)感染密度）： 2. SIS模型在SF網(wǎng)絡(luò)中，傳播臨界值： 只要有效傳播率0，病毒就能傳播開來，并將達(dá)到一穩(wěn)定感染水平 值： ，這反映了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對抵抗病毒的脆弱性。,.,均勻網(wǎng)絡(luò)中的SIR模型

8、,對自洽方程求導(dǎo),結(jié)論：疾病閾值也是,最終感染范圍為：,.,無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的SIR模型,其中輔助函數(shù)：,.,對于SIR模型，最終感染比例為0！所以根據(jù)恒等式：,可以得到以下關(guān)系式，,因此由得到,.,類似求SIS中的方法，有,結(jié)論,類似的方法同樣可以發(fā)現(xiàn)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上最終感染范圍也是：,結(jié)論：無標(biāo)度上的SIR模型和SIS模型具有 相同的爆發(fā)閾值，以及同等規(guī)模的感染范圍！,.,1. 隨機(jī)免疫：隨機(jī)選一部分人進(jìn)行免疫 2.目標(biāo)免疫：免疫度大的結(jié)點(diǎn) 3. 熟人免疫：隨機(jī)找一個結(jié)點(diǎn)，再隨機(jī)選一個鄰居進(jìn)行免疫 4.環(huán)狀接種：隔離或免疫染病個體的所有(距離為k)鄰居 5.接觸追蹤：對與有傳染性個體的接觸者進(jìn)行

9、跟蹤，然后以一定的概率進(jìn)行免疫,免疫策略,.,結(jié)論： 在均勻網(wǎng)絡(luò)中：只要 ，就可保證疾病不在網(wǎng)絡(luò)中傳播開來；SF網(wǎng)絡(luò)中：免疫臨界值約為，即任給定一值，都需要對網(wǎng)絡(luò)中的所有個體進(jìn)行免疫才能使疾病不傳播開來。說明隨機(jī)免疫只對均勻網(wǎng)絡(luò)有效（有較小的),而對SF網(wǎng)絡(luò)效果很差（ =1）。 原因： 這是由于SF網(wǎng)絡(luò)是異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)度呈兩極分化，采用隨機(jī)免疫，哪些最容易傳播病毒的節(jié)點(diǎn)（度大的節(jié)點(diǎn)）不一定獲得免疫。所以，如果對SF網(wǎng)絡(luò)采取隨機(jī)免疫的策略，需要對網(wǎng)絡(luò)中幾乎所有的節(jié)點(diǎn)都實(shí)施免疫才能保證最終消滅病毒傳染。 因此對SF網(wǎng)絡(luò)這樣的異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，普遍認(rèn)為：隨機(jī)免疫策略對于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是無效的！,.,其他網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

10、對傳播行為的影響,加權(quán)網(wǎng)絡(luò)：Yan Gang等，CPL,Vol. 22, No. 2 (2005) 510 社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)：劉宗華等，EPL, 72 , 315, 2006 層狀網(wǎng)絡(luò)：鄭大昉等，Physica A,352, 659, 2006 具有地理效應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)：許新建等，PRE,Phys. Rev. E, 76, 056109, 2007,.,其他方面,網(wǎng)絡(luò)與傳播共同演化 T. Gross, C. J. D. DLima, B. Blasius,Phys. Rev.Lett. , 96, 208701, 2006.; T. Gross, B. Blasius, Adaptive coevoluti

11、onary networks: a review, J. R. Soc. Interface, 5, 259-271, 2008; T. Gross, I. G. Kevrekidis, Europhys. Lett. 82, 38004, 2008; S. Risau-Gusmsn, D. H. Zanette, J. Theor. Biol. , 257, 52-60, 2009; D. H. Zanette, S. Risau-Gusmsn, J. Biol. Phys. ,34, 135-148, 2008; L. B. Shaw and I. B. Schwartz, Phys. R

12、ev. E,77, 066101, 2008. L. B. Shaw and I. B. Schwartz, Phys. Rev. E, 81, 046120, 2010. 人口移動： V.Colizza, A. Vespignani, Phys. Rev. Lett., 99 ,148701, 2007. V. Colizza, R. Pastor-Satorras, A. Vespignani, Nature Physics 3, 276-282, 2007. V. Colizza, A.Barrat, M. Barthelemy, A. Vespignani, International

13、 Journal of Bif. and Chaos. 17, 2491-2500, 2007. M. Tang, Z. H. Liu, and B. W. Li, Europhys. Lett. ,87, 18005, 2009. S. Meloni, A. Arenas, Y. Moreno, Proc. Natl Acad. Sci. USA, 106, 16897, 2009. S. J. Ni，W. G. Weng, Phys. Rev. E, 79,016111, 2009. Vitaly Belik et al, PRX 1, 011001 (2011),.,三、個體、社會行為反

14、應(yīng)對傳播行為的影響,.,動力學(xué)與個體行為、政府決策的相互關(guān)系示意圖,用來刻畫傳染病動力學(xué)與個體行為，政府決策等因素之間的相互影響,.,1.Group interest versus self-interest in smallpox vaccination policy, PNAS,100 (2003) 1564,模型： 由于接種天花存在著一個困境，預(yù)防面臨代價，不預(yù)防也有被感染的風(fēng)險；另外由于(herd immunity）群體免疫的作用，如果別人采取了免疫那么我被感染的風(fēng)險減小，我可以不免疫，但是別人也有這樣的想法，所以這是一個預(yù)防困境問題。用博弈中的收益（payoff)來描述接種的收益 和

15、暫時不接種的收益 ：,.,模型,假設(shè)每個個體采取接種的概率為p,在群體中就有p比例的人選擇接種，此時,對應(yīng)個體而言，個體的平衡點(diǎn)為：,對于整個集體的最優(yōu)為,代價C(p):,最小。,.,主要結(jié)果（個體最優(yōu)和全局最優(yōu)的差距）,.,2.Can Influenza epidemics be prevented by voluntary vaccination, PLoS computational biology, 3(5) (2007) e85,模型： 流感疫苗的有效期是有限的（比如一年，一個季度），但是流感又是不斷發(fā)的，因此對于理性個體就要不斷做決定是否采取接種疫苗，那么他/她就會根據(jù)當(dāng)前的爆發(fā)范

16、圍、接種疫苗的范圍、以及以前的成敗史來判斷當(dāng)前是否采取接種。 思想： a,上個季節(jié)采取接種，但是總的接種范圍超過“需要接種范圍”，則下個季節(jié)接種意愿減小！ b,上個季節(jié)采取接種，但是總的接種范圍低于“需要接種范圍”，則下個季節(jié)接種意愿增加！ c,上個季節(jié)沒有采取接種，但是沒有被感染，則下個季節(jié)接種意愿減??！ d,上個季節(jié)沒有采取接種，但是被感染，則下個季節(jié)接種意愿增加！,.,模型示意圖,.,主要結(jié)果,兩種不同的政府補(bǔ)貼 引起的不同效果,免疫比例p (black) 和感染比例f (red)的時間演化圖,.,3，F(xiàn). Fu , D. I. Rosenbloom, L. Wang ,M. A. No

17、wak , Imitation dynamics of vaccination behavior on social networks, Proc. R. Soc. B, 278, 42-49, 2011.,模型： 在流感爆發(fā)爆發(fā)季節(jié)之前，每個個體要選擇是否接種流感疫苗：(a), 接種，在接下來的季節(jié)不會被感染，但是要付出V的代價;(b),如果不接種，可能面臨兩種不同的結(jié)果：被感染，付出1的代價；沒有被感染付出代價為0！ 模型示意圖：,.,模型,在每個傳播季節(jié)以后，個體的收益P(i,t)可以是：-1(infected); -c(vaccinated); 0(free-rider). 個體隨機(jī)選擇一個鄰居，學(xué)習(xí)鄰居策略（接種或不接種）的概率由收益差決定：,.,結(jié)果,全連通網(wǎng)絡(luò),方格,結(jié)論：方格上的接種人數(shù)受c的影響更明顯， 稍微的增加c就使得接種人數(shù)銳減！,.,結(jié)果,隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),結(jié)論：隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的疾病在c不是很大的時候 可以有效控制，然后隨著c的增大而增加，但不像方格那樣劇烈！,.,4，Imitation dynamics predict vaccin