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文檔簡介
1、13.2 二重積分的計算方法,一、利用直角坐標計算二重積分,在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域d，,則面積元素為,已知平行截面面積 的立體的體積,注：二重積分轉變?yōu)槎畏e分的 推導過程借助于幾何直觀，略去 了分析證明過程。,用平面x=x0截立體，截得a(x0). 應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得,注意d的特殊之處。,定理13-1（基本定理） 函數(shù)f(x,y)在閉矩形區(qū)域d:,可積,若每一個,若每一個,d c,a b,如果積分區(qū)域為：,如果積分區(qū)域為：,其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,x型,x型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.
2、,如果積分區(qū)域為：,y型,y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,若區(qū)域如圖，,在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式,則必須分割.,對非x、y型區(qū)域,解,積分區(qū)域如圖,解,積分區(qū)域如圖,(1). 計算,其中d 是直線 y1, x2, 及,yx 所圍的閉區(qū)域.,解法1. 將d看作x型區(qū)域, 則,解法2. 將d看作y型區(qū)域, 則,例3計算下列二重積分,解,解,x-型,（4）. 計算,其中d 是拋物線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,及直線,則,解,（6）. 計算,其中d 是直線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 由被積函數(shù)可知,因此取d 為x
3、 型域 :,先對 x 積分不行,說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.,解,令y-x=u,交換積分次序,令u=-t,o 1 x,y 1,例7,解,先去掉絕對值符號，如圖,o 1 x,o 1 x,例6,證,利用二重積分計算空間立體體積,例1.,解,所求立體可以看成是一個 曲頂柱體，它的曲頂為,底為,例2. 求兩個底圓半徑為r 的直角圓柱面所圍的體積.,解: 設兩個直圓柱方程為,利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為,則所求體積為,二、利用極坐標系計算二重積分,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,極坐標系下區(qū)域的面積,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,解,解,解,解,例5 求由球面x2+y2+z2=4a2與柱面x2+y2=2ax所圍立
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