1、1,力學(xué)(mechanics),第1章 質(zhì)點運動學(xué) 第2章 牛頓力學(xué)的基本定律 第3章 動量變化定理和動量守恒 第4章 功和能 第5章 角動量變化定理和角動量守恒 第6章 質(zhì)心力學(xué)定理 第7章 剛體力學(xué) 第8 第9 第10章 流體力學(xué)* 第11章 哈密頓原理*,2,6-1. 質(zhì)心動量定理 6-2. 質(zhì)心動能定理 6-3. 質(zhì)心角動量定理 6-4. 有心運動方程與約化質(zhì)量,第6章質(zhì)心力學(xué)定理,3,旋輪線:教材p25習(xí)題1.4, 質(zhì)點系運動 質(zhì)心運動各質(zhì)點相對于質(zhì)心的運動,4,6-1 質(zhì)心動量定理,一. 質(zhì)心,對質(zhì)點系, 總有一特殊點，其運動和質(zhì)點系的所有質(zhì)量集中于該處的質(zhì)點運動相同 質(zhì)心, 以質(zhì)

2、點系各點質(zhì)量為權(quán)重的系統(tǒng)位置的平均值,以兩質(zhì)點系統(tǒng)為例：,若有一點xc，使,xc就是m1和m2的質(zhì)心位置,質(zhì)心 質(zhì)點系統(tǒng)的質(zhì)量中心,（杠桿關(guān)系）,5,推廣到3維質(zhì)點系，若n個質(zhì)點的位矢為,二.質(zhì)心坐標(biāo),質(zhì)點系總質(zhì)量,則質(zhì)心的位置:,直角坐標(biāo)系中質(zhì)心的位置坐標(biāo)：,即:,6,一維線狀物體:,質(zhì)量線密度,二維面狀物體:,質(zhì)量面密度,三維物體:,質(zhì)量體密度,對質(zhì)量連續(xù)分布的物體，可將其分為無窮多個小質(zhì)元dm,則質(zhì)心位置:,直角坐標(biāo)系中質(zhì)心位置坐標(biāo)：,7,例：質(zhì)量為m，長度為l 的均勻細(xì)桿彎成半圓形，如圖放置. 求質(zhì)心的位置。,解：,取任意弧元ds rd,任意弧元ds的位置坐標(biāo)：,8, 重心，質(zhì)心屬物體

3、固有，與外界無關(guān)，但二者可能重合, 若物體的質(zhì)量均勻分布+幾何對稱性其質(zhì)心在幾何對稱中心, 已知系統(tǒng)各部分的質(zhì)心，可求整個系統(tǒng)的質(zhì)心, 質(zhì)點系運動 質(zhì)心運動各質(zhì)點相對于質(zhì)心的運動,那么質(zhì)心的運動情況由什么決定呢？,注意：, 質(zhì)心不一定在物體內(nèi)部,9,三.質(zhì)心動量,對任一參照系，質(zhì)心運動速度：,定義：,質(zhì)心動量,質(zhì)點系的總質(zhì)量乘以質(zhì)心的速度=質(zhì)心動量,對任一參照系，質(zhì)心動量等于質(zhì)點組總動量,質(zhì)點系的總動量,10,四.質(zhì)心運動定理,而質(zhì)點系的總動量=質(zhì)心動量：,因為慣性系中質(zhì)點系統(tǒng)滿足牛頓定律,即：,質(zhì)心運動定理,作用在質(zhì)點系上的合外力等于質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積,（質(zhì)心運動定理本身只對慣

4、性系成立!）,質(zhì)心的運動狀態(tài)變化只由系統(tǒng)所受的合外力決定，與內(nèi)力無關(guān)。,質(zhì)點系統(tǒng)所受的合外力等于系統(tǒng)總動量的時間增加率,11,質(zhì)心能作為質(zhì)點系整體運動的代表!,質(zhì)心的運動滿足：,12,質(zhì)心動量變化定理,質(zhì)心動量的改變量等于質(zhì)點系合外力的沖量.,五.質(zhì)心動量變化定理,質(zhì)心運動定理：,質(zhì)心的動量變化只由系統(tǒng)所受的合外力沖量決定，與內(nèi)力無關(guān)。,積分形式,微分形式,13,凡是由牛頓定律直接導(dǎo)出的關(guān)于質(zhì)點運動的 定理 (如動量定理, 動能定理, 角動量變化 定理等) 都適用于質(zhì)點系的質(zhì)心, 只要將質(zhì)點 的質(zhì)量換為質(zhì)點系的總質(zhì)量, 將力換為質(zhì)點系 的合外力(且認(rèn)為所有力都作用于質(zhì)心)即可!,實際上,14,

5、質(zhì)心系固定在運動物體上且將坐標(biāo)原點定在其質(zhì)心上的坐標(biāo)系,質(zhì)心的位置：,質(zhì)心的速度：,質(zhì)心的加速度：,六. 質(zhì)心參考系,在選定的某參照系和坐標(biāo)系中,質(zhì)心坐標(biāo)為：, (1) 質(zhì)心系cxyz中，,質(zhì)心的動量0；動能0,（用帶撇的符號表示質(zhì)心系中的量）,s,15, (3) 質(zhì)心系可能是慣性系， 也可能是非慣性系.,(4) 當(dāng)質(zhì)點組所受合外力為零時， 質(zhì)心系是理想的慣性系， 否則質(zhì)心系是非慣性系.,由質(zhì)心運動定理,對某慣性系有:,質(zhì)點組所受合外力為零時其質(zhì)心系必為慣性系, (2)因?qū)θ我粎⒄障?，質(zhì)點組總動量=質(zhì)心動量，即：,合外力為零的系統(tǒng)，其質(zhì)心相對某慣性系必靜止或勻速直線運動,質(zhì)心系中質(zhì)點組總動量為

6、零!,質(zhì)心系中，質(zhì)點組總動量=質(zhì)心動量,=0,s,16,在質(zhì)心系中，質(zhì)點組的總動量恒為零（不變），即動量守恒定律在質(zhì)心系中恒成立！,（質(zhì)心系中質(zhì)心的加速度為零）,（質(zhì)心系中的質(zhì)心運動定律）,在質(zhì)心非慣性系中慣性力和外力完全抵消，故系統(tǒng)總動量守恒，且恒為零。,為什么動量守恒定律在質(zhì)心非慣性系中也成立？,但質(zhì)心系可能是慣性系，也可能是非慣性系,怎么理解這個結(jié)論？,若質(zhì)心系是非慣性系，則質(zhì)心系中有:,17,6-2. 質(zhì)心動能定理,質(zhì)心系中質(zhì)點組的總動能為零嗎？,質(zhì)點組總動量等于質(zhì)心動量,質(zhì)點組總動能=質(zhì)心動能嗎？,質(zhì)心系中質(zhì)點組總動量為零!,18,定義：,質(zhì)心動能,質(zhì)點組總動能,是否相等？,對某參照

7、系s，,一個質(zhì)點組的質(zhì)心在c，如圖,s,質(zhì)心動能定理(科尼希定理),質(zhì)點組總動能 = 質(zhì)心動能 + 質(zhì)點組相對質(zhì)心的動能,對某參照系，質(zhì)點組總動能：,可以證明：,一.質(zhì)心動能定理,(科尼希定理),是質(zhì)點組相對質(zhì)心的總動能,速率,19,如圖：,質(zhì)點組總動能：,對某參照系s，,對某參照系s，,即：,科尼希定理:,證明如下：,s,20,質(zhì)心系中質(zhì)點組總動量,質(zhì)心動能定理(科尼希定理),質(zhì)點組總動能 = 質(zhì)心動能 + 質(zhì)點組相對質(zhì)心的動能,質(zhì)心系中，,質(zhì)心系中的質(zhì)心動量,對某參照系，質(zhì)點組總動能：,質(zhì)心系中，質(zhì)點組總動能 = 質(zhì)點組相對質(zhì)心的動能,21,二.質(zhì)點組的重力勢能與質(zhì)心重力勢能,定義：,質(zhì)心

8、重力勢能,質(zhì)點組總重力勢能,是否相等？,即,質(zhì)點組總質(zhì)量,若質(zhì)點組中各質(zhì)點所在位置的重力加速度相同,則,若質(zhì)點組中各質(zhì)點所在位置的重力加速度相同,則質(zhì)心重力勢能 = 質(zhì)點組總重力勢能,22,6-3. 質(zhì)心角動量定理,定義：,質(zhì)心角動量,質(zhì)點組總角動量,一.質(zhì)心角動量,是否相等？,對o點，,對參考點o，,是質(zhì)點組相對質(zhì)心的總角動量,可以證明：,質(zhì)點組對o點的總角動量 = 質(zhì)心對o的角動量 + 質(zhì)點組相對于質(zhì)心的角動量之矢量和.,23,對o點，,質(zhì)點組對參考點o的總角動量 = 質(zhì)心對o的角動量 + 質(zhì)點組相對質(zhì)心的角動量之矢量和,證明如下：,24,質(zhì)心對o的角動量,質(zhì)點組對o點的總角動量 = 質(zhì)心

9、對o的角動量 + 質(zhì)點組相對于質(zhì)心的角動量之矢量和.,質(zhì)點組相對質(zhì)心的總角動量,對參考點o，,質(zhì)點組總角動量：,質(zhì)心系中質(zhì)點組總動量,質(zhì)心系中的質(zhì)心動量,25,二.質(zhì)心角動量變化定理,( 都對同一參考點 ),質(zhì)心角動量變化定理與單質(zhì)點的完全相同!,質(zhì)心角動量:,合外力作用于質(zhì)心而產(chǎn)生的力矩,對某參考點,質(zhì)心角動量的時間變化率等于合外力作用于質(zhì)心而產(chǎn)生的對該點的力矩,對參考點o,質(zhì)心角動量變化定理,對o點，,26,質(zhì)點組對質(zhì)心的角動量變化定理,三.質(zhì)點組相對質(zhì)心的角動量變化定理,質(zhì)點組對某參考點的角動量變化定理:,質(zhì)點組相對于質(zhì)心的角動量的時間變化率 = 各外力對質(zhì)心的總力矩,質(zhì)點組的角動量變化

10、定理在質(zhì)心系中成立!,對o點，,上一章有結(jié)論：,剛才得到結(jié)論：質(zhì)心對某參考點的角動量變化定理,而,其中：,可證：,27,右邊：,質(zhì)點組對質(zhì)心的角動量變化定理,質(zhì)點組對某參考點的角動量變化定理:,因為：,左邊：,各外力對質(zhì)心的總力矩,質(zhì)點組相對于質(zhì)心的角動量的時間變化率 = 各外力對質(zhì)心的總力矩,質(zhì)點組的角動量變化定理在質(zhì)心系中成立!,對o點，,證明如下：,28,質(zhì)心力學(xué)定理總結(jié),質(zhì)點組相對于質(zhì)心的角動量的時間變化率 = 各外力對質(zhì)心的總力矩,對某參考點,質(zhì)心角動量的時間變化率等于合外力作用于質(zhì)心而產(chǎn)生的力矩,質(zhì)點組對點的總角動量 = 質(zhì)心對的角動量+ 質(zhì)點組相對質(zhì)心的角動量之矢量和,若質(zhì)點組中

11、各質(zhì)點所在位置的重力加速度相同,則質(zhì)心重力勢能 = 質(zhì)點組總重力勢能,質(zhì)點組總動能 = 質(zhì)心動能 + 質(zhì)點組相對質(zhì)心的動能,質(zhì)心動量的改變量等于質(zhì)點系合外力的沖量,對任一參照系，質(zhì)心動量=質(zhì)點組總動量,作用在質(zhì)點系上的合外力等于質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積,29,6-4. 有心運動方程與約化質(zhì)量,行星運動,30,一.兩體系統(tǒng),c是質(zhì)心,合外力為零時，m1和m2構(gòu)成的系統(tǒng)叫兩體系統(tǒng),兩體系統(tǒng)的質(zhì)心位置:,兩體系統(tǒng)相對質(zhì)心的動能:,兩體系統(tǒng)相對質(zhì)心的動能與參照系無關(guān),是兩體相對速度,31,二.有心運動方程,若不考慮第三者影響，,兩式相減得:,c是質(zhì)心,行星m與太陽的兩體系統(tǒng),故質(zhì)心系中牛頓定律

12、成立：,則m和m兩體系統(tǒng)的質(zhì)心系是慣性系,實際上太陽也有運動，日心系是非慣性系,32,叫約化質(zhì)量,(折合質(zhì)量),行星運動方程,(有心運動方程),雖然日心系是非慣性系，但只要把行星的真實 質(zhì)量用約化質(zhì)量替代，則行星繞太陽運動方程仍具有牛頓 運動方程的表達(dá)形式。,33,兩體系統(tǒng)合外力為零時，兩物體間的相互作用力等于折合質(zhì)量與二者相對加速度的乘積。,以上討論和結(jié)論對合外力為零的任意兩體系統(tǒng)都適用即：,即：,是二者的相對加速度,(折合質(zhì)量),34,三.日心系可作為準(zhǔn)慣性系,行星繞太陽運動方程為,因mm, m,故日心系可作為準(zhǔn)慣性系,日心準(zhǔn)慣性系的精度,(相對偏差):,故近似地有:,其中：,是行星相對于太陽的矢徑,相對偏差很小！,日心系中牛頓定律近似成立,35,例：水平桌面上拉動紙，紙張上有一均勻球， 球的質(zhì)量m，紙被拉動時與球的摩擦力為 f， 求：t 秒后球心相對桌面移動多少距離？,解：以桌面為參照系,