1、二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法,三、絕對(duì)收斂與條件收斂,第二節(jié),一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,若,定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù),收斂,部分和序列,有界 .,若,收斂 ,部分和數(shù)列,有界,故,從而,又已知,故有界.,則稱,為正項(xiàng)級(jí)數(shù) .,單調(diào)遞增,收斂 ,也收斂.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,都有,定理2 (比較審斂法),設(shè),且存在,對(duì)一切,有,(1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù),則弱級(jí)數(shù),(2) 若弱級(jí)數(shù),則強(qiáng)級(jí)數(shù),證:,設(shè)對(duì)一切,則有,收斂 ,也收斂 ;,發(fā)散 ,也發(fā)散 .,分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和, 則有,是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù) k 0

2、 ),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù),則有,因此對(duì)一切,有,由定理 1 可知,則有,(2) 若弱級(jí)數(shù),因此,這說(shuō)明強(qiáng)級(jí)數(shù),也發(fā)散 .,也收斂 .,發(fā)散,收斂,弱級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 討論 p 級(jí)數(shù),(常數(shù) p 0),的斂散性.,解: 1) 若,因?yàn)閷?duì)一切,而調(diào)和級(jí)數(shù),由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù),發(fā)散 .,發(fā)散 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,因?yàn)楫?dāng),故,考慮強(qiáng)級(jí)數(shù),的部分和,故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級(jí)數(shù)收斂 .,時(shí),2) 若,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 判別下列級(jí)

3、數(shù)的斂散性:,解,發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散,收斂,故原級(jí)數(shù)收斂.,定理3. (比較審斂法的極限形式),則有,兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;,(2) 當(dāng) l = 0,(3) 當(dāng) l =,設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù),滿足,(1) 當(dāng) 0 l 時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 判別級(jí)數(shù),的斂散性 .,解:,的斂散性.,例4. 判別級(jí)數(shù),解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),收斂,能否推出,收斂 ?,提示:,由比較判斂法可知,收斂 .,注意:,反之不成立.,例如,收斂 ,發(fā)散 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 判別級(jí)數(shù)的斂散性:,解

4、:,發(fā)散 ,故原級(jí)數(shù)發(fā)散 .,發(fā)散 ,故原級(jí)數(shù)發(fā)散 .,解:,收斂 ,故原級(jí)數(shù)收斂 .,定理4 . 比值審斂法 ( Dalembert 判別法),設(shè),為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且,則,(1) 當(dāng),(2) 當(dāng),時(shí), 級(jí)數(shù)收斂 ;,或,時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 .,說(shuō)明: 當(dāng),時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.,例如, p 級(jí)數(shù),但,級(jí)數(shù)收斂 ;,級(jí)數(shù)發(fā)散 .,達(dá)朗貝爾是法國(guó)著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，一生研究了大量課題完成了涉及多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域的論文和專著，其中最著名的有八卷巨著數(shù)學(xué)手冊(cè)、力學(xué)專著動(dòng)力學(xué)、23卷的文集、百科全書(shū)的序言等等。他的很多研究成果記載于宇宙體系的幾個(gè)要點(diǎn)研究中。,達(dá)朗貝爾是十八世紀(jì)少數(shù)幾個(gè)把收斂級(jí)

5、數(shù)和發(fā)散級(jí)數(shù)分開(kāi)的數(shù)學(xué)家之一，并且他還提出了一種判別級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的方法達(dá)朗貝爾判別法，即現(xiàn)在還使用的比值判別法；他同時(shí)是三角級(jí)數(shù)理論的奠基人；達(dá)朗貝爾為偏微分方程的出現(xiàn)也做出了巨大的貢獻(xiàn).另外，達(dá)朗貝爾在復(fù)數(shù)的性質(zhì)、概率論等方面也都有所研究，而且他還很早就證明了代數(shù)基本定理。,例5. 討論級(jí)數(shù),的斂散性 .,解:,根據(jù)定理4可知:,級(jí)數(shù)收斂 ;,級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,解:,級(jí)數(shù)收斂.,例6.判別級(jí)數(shù)的斂散性:,級(jí)數(shù)發(fā)散.,級(jí)數(shù)收斂.,例6.判別級(jí)數(shù)的斂散性:,解.,級(jí)數(shù)收斂.,收斂,故原級(jí)數(shù)收斂.,收斂,故原級(jí)數(shù)收斂.,而,定理5. 根值審斂法 ( Cauchy判別法),設(shè),為正項(xiàng)級(jí),則,數(shù), 且,機(jī)

6、動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,時(shí) , 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .,說(shuō)明 :,例如 , p 級(jí)數(shù),柯西1789年8月2l日出生生于巴黎，他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當(dāng)深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理和公式也都以他的名字來(lái)稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式.在數(shù)學(xué)寫(xiě)作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書(shū)，其中有些還是經(jīng)典之作，不過(guò)并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)都很高，因此他還曾被人批評(píng)高產(chǎn)而輕率，據(jù)說(shuō)，法國(guó)科學(xué)院會(huì)刊創(chuàng)刊的時(shí)候，由於柯西的作品實(shí)在太多，以致于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費(fèi)用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院後來(lái)規(guī)定論文最長(zhǎng)的只能夠到四頁(yè)，所以，柯西較長(zhǎng)的論文只得投稿到

7、其它地方,例7. 判別級(jí)數(shù)的斂散性:,解.,級(jí)數(shù)收斂.,收斂.,原級(jí)數(shù)收斂.,如級(jí)數(shù),n 為奇數(shù),n 為偶數(shù),但因?yàn)?級(jí)數(shù)收斂,說(shuō)明:,比值判別法成立,根值判別法成立,二 、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法,則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù),稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù) .,定理6 . ( Leibnitz 判別法 ),若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:,則級(jí)數(shù),收斂 , 且其和,其余項(xiàng)滿足,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,證:,是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又,故級(jí)數(shù)收斂于S, 且,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,戈特弗里德威廉凡萊布尼茨，德國(guó)最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，一位舉世罕見(jiàn)的科學(xué)天才，和牛頓同為微積分的

8、創(chuàng)建人。他的研究成果還遍及力學(xué)、邏輯學(xué)、化學(xué)、地理學(xué)、解剖學(xué)、動(dòng)物學(xué)、植物學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)、地質(zhì)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、法學(xué)、哲學(xué)、歷史、外交等等，“世界上沒(méi)有兩片完全相同的樹(shù)葉”就是出自他之口。,1661年，15歲的萊布尼茨進(jìn)入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，1663年5月獲學(xué)士學(xué)位。1664年1月獲哲學(xué)碩士學(xué)位。1667年2月獲法學(xué)博士學(xué)位。,他還是最早研究中國(guó)文化和中國(guó)哲學(xué)的德國(guó)人，對(duì)豐富人類的科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。然而，由于他創(chuàng)建了微積分，并精心設(shè)計(jì)了非常巧妙簡(jiǎn)潔的微積分符號(hào)，從而使他以偉大數(shù)學(xué)家的稱號(hào)聞名于世。,1. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:,由Leibnitz 判別法知，原級(jí)數(shù)收斂,所以原級(jí)數(shù)

9、發(fā)散,注意,Leibnitz 判別法的條件只是充分條件，而不是必要條件。不能由交錯(cuò)級(jí)數(shù)不滿足Leibnitz 判別法的條件而推斷出級(jí)數(shù)發(fā)散。,收斂,收斂,2.用Leibnitz 判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:,收斂,上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ?,發(fā)散,收斂,收斂,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、絕對(duì)收斂與條件收斂,定義:,若,收斂 ,絕對(duì)收斂 ；,則稱,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,若,發(fā)散 ,條件收斂 ；,則稱,為條件收斂 .,均為絕對(duì)收斂.,例如 ：,定理7.,證: 設(shè),根據(jù)比較審斂法,顯然,收斂,收斂,也收斂,且,收斂 ,令,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,若,收斂 ,絕對(duì)收斂 ；,則,1).逆命題不成立.,即收斂的級(jí)數(shù)未必絕對(duì)收斂.,則可以斷定,發(fā)散.,注意,定理8,設(shè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù),例3. 判定級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂,是絕對(duì)收斂還是條件收斂?,解,故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.,收斂,故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.,（3）,解,原級(jí)數(shù)發(fā)散.,（4）,解,原級(jí)數(shù)發(fā)散.,原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.,(7),解,可見(jiàn) ，,條件收斂,發(fā)散.,內(nèi)容小結(jié),1. 利用部分和數(shù)列的極限