1、第九章 歐幾氏空間,2 標(biāo)準(zhǔn)正交基,3 同構(gòu),4 正交變換,1 定義與基本性質(zhì),6 對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,7 向量到子空間的 距離最小二乘法,5 子空間,主要內(nèi)容,第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)正交基,定義,標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法,正交矩陣,一、定義,1. 正交向量組的定義,定義 1 歐氏空間 V 中一組非零的向量，如,果它們兩兩正交，就稱為一正交向量組.,特別地，由單個非零向量所成的向量組也是,正交向量組.,2. 正交向量組的性質(zhì),定理1 正交向量組是線性無關(guān)的.,證明,設(shè) 1 , 2 , , m 是一正交向量組，,k1 , k2 , , km 是 m 個實數(shù)，且有,k1 1 + k2 2 + + kmm = 0 .,

2、用 i 與等式兩邊作內(nèi)積，得,ki (i , i ) = 0 .,由 i 0，有 (i , i ) 0 ，從而,ki = 0 ( i = 1, 2, , m) .,證畢,1）這個結(jié)果說明，在 n 維歐氏空間中，兩兩正交,的非零向量不能超過 n 個.,這個事實的幾何意義是清楚的.,例如，在平面上找不到三個兩兩垂直的非零向量，,在空間中，找不到四個兩兩垂直的非零向量.,注 意,2) 歐氏空間中線性無關(guān)向量組未必是正交向量組,但不是正交向量組.,3. 正交基的定義,定義 2 在 n 維歐氏空間中，由 n 個向量組成,的正交向量組稱為正交基；,由單位向量組成的正交,基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.,對一組正交基進行

3、單位化就得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.,如：,是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.,4. 正交基的性質(zhì),性質(zhì) 1 設(shè) 1 , 2 , , n 是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，,則,顯然，(1) 式完全刻畫了標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì).,反之，亦然. 即,設(shè) 1 , 2 , , n 是一組基，且,則 1 , 2 , , n 是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，,在 n 維歐氏空間中，標(biāo)準(zhǔn)正交基一定,是存在的.,定理2,一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的充分必要,條件是它的度量矩陣為單位矩陣.,性質(zhì) 2,證明,(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + + xn n ),= (i , x11) + + (i , xii ) +, + (i , xnn ),= x

4、1(i , 1) + + xi(i , i ) +, + xn(i , n ),= xi(i , i ),= xi .,證畢,性質(zhì) 3 設(shè)1 , 2 , , n 是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，,向量 在該基下的坐標(biāo)為 (x1 , x2 , , xn ) , 即, = x1 1 + x2 2 + + xn n ，,則,xi = (i , ) ( i = 1, 2, , n ) .,性質(zhì) 4 設(shè) 1 , 2 , , n 是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，,且, = x1 1 + x2 2 + + xn n ，, = y1 1 + y2 2 + + yn n ，,那么,( , ) = x1 y1 + x2 y2 + + xn

5、yn = XTY . (2),這個表達(dá)式正是幾何中向量的內(nèi)積在直角坐標(biāo)系中,的坐標(biāo)表達(dá)式的推廣.,1）應(yīng)該指出，內(nèi)積的表達(dá)式 (2) , 對于任一組標(biāo)準(zhǔn),正交基都是一樣的.,這說明了，所有的標(biāo)準(zhǔn)正交基,在歐氏空間中有相同的地位.,在下一節(jié)，這一點將,得到進一步的說明.,注 意,2）特別地，在歐氏空間的任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下，有,二、標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法,定理 3 n 維歐氏空間中任一個正交向量組都,能擴充成一組正交基.,證明,設(shè) 1 , 2 , , m 是一正交向量組，,我們對 n - m 作數(shù)學(xué)歸納法.,當(dāng) n - m = 0 時， 1 , 2 , , m 就是一組正交,基.,假設(shè) n - m = k

6、 時定理成立，也就是說，可以,找到向量 1 , 2 , , s , 使得,1 , 2 , , m , 1 , 2 , , s,成為一組正交基.,現(xiàn)在來看 n - m = k + 1 的情形.,因為 m n ，,所以一定有向量 不能被1 , 2 , , m線性表出，,作向量,m +1 = - k11 - k22 - - kmm ,這里 k1 , k2 , , km 是待定的系數(shù).,用 i 與 m +1 作,內(nèi)積，得,(i , m +1 ) = ( , i ) - ki(i , i ) ( i = 1, 2, , m).,取,有,(i , m +1 ) = 0 ( i = 1, 2, , m).,

7、由 的選擇可知， m +1 0 .,因此,1 , 2 , , m , m +1,是一正交向量組，根據(jù)歸納法假定，1,2 ,m ,m +1 可以擴充成一正交基.,證畢,注 意 定理的證明實際上也就給出了一個,具體的擴充正交向量組的方法.,如果我們從任一個,非零向量出發(fā)，按證明中的步驟逐個地擴充，最后,就得到一組正交基.,再單位化，就得到一組標(biāo)準(zhǔn)正,交基.,在求歐氏空間的正交基時，常常是已經(jīng)有了空,間的一組基.,對于這種情形，有下面的結(jié)果：,定理 4 對于 n 維歐氏空間中任意一組基 1 ,2 , , n ，都可以找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 , 2 , ,n ，使,L(1 , 2 , , i ) =

8、L(1 , 2 , , i) , i = 1,2,n .,證明,設(shè) 1 , 2 , , n 是一組基，我們來逐,個地求出向量 1 , 2 , , n .,首先，可取,一般地，假定已經(jīng),求出 1 , 2 , , m ，它們是單位正交的，具有性,質(zhì),L(1 , 2 , , i ) = L(1 , 2 , , i) , i = 1,2,m .,下一步求m +1 .,因為,L(1 , 2 , , m ) = L(1 , 2 , , m) ,所以 m +1 不能被 1 , 2 , , m 線性表出.,按定,理 3 證明中的方法，作向量,顯然,m +1 0 , 且 (m +1 , i) = 0 ，i =

9、1 , 2 , , m .,令,則 1 , 2 , , m , m +1 就是一單位正交向量組.,同時,L(1 , 2 , , m +1 ) = L(1 , 2 , , m +1) .,由歸納法原理，定理 2 得證.,證畢,注 意,1）定理 4 中把一組線性無關(guān)的向量變成一單位正,交向量組的方法稱為施密特(Schimidt)正交化過程.,2）施密特(Schimidt)正交化方法,設(shè) 1 , 2 , , m 是一線性無關(guān)向量組，把 它化為單位正交向量組.,步驟1（正交化）,化成正交向量組,先把線性無關(guān)的向量組,再單位化得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,步驟2（單位化）,例 1 設(shè),試用施密特正交化過程把這組向量

10、變成單位正交,的向量組.,解 取 ;,再把它們單位化, 取,則 e1 , e2 , e3 即為所求.,推論1,L(1 , 2 , , i ) = L(1 , 2 , , i) , i = 1,2,n .,就相當(dāng)于由基 1 , 2 , , n 到基 1 , 2 , , n,的過渡矩陣是上三角形的.,定理4中的要求,三、正交矩陣,設(shè) 1 , 2 , , n 與 1 , 2 , , n 是歐氏空間 V,中的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們之間的過渡矩陣是,A = (aij)，即,因為 1 , 2 , , n 是標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以,矩陣 A 的各列就是 1 , 2 , , n 在標(biāo)準(zhǔn)正交基,1 , 2 , , n 下的坐標(biāo)，按公式 (3)，(4) 式可以表,示為,(5) 式相當(dāng)于一個矩陣的等式,ATA = E ， (6),或者,A-1 = AT .,定義 3 n 級實數(shù)矩陣 A , 如果滿足,則稱A為正交矩陣.,引理,設(shè) 1 , 2 , , n 與 1 , 2 , , n,是歐氏空間V中的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則它們之間的,過渡矩陣A,滿足ATA = E .,ATA = E ,3）矩陣A為正交矩陣,1）A為正交矩陣,性 質(zhì),定理5 1）由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡,矩