1、3.3 切割體的投影,教學(xué)目的： 1.熟悉截交線的性質(zhì)，熟練掌握平面與常見平面立體和 回轉(zhuǎn)體的截交線的畫法。 2.掌握常見平面立體和回轉(zhuǎn)體切口的分析方法和畫法； 3.截切體的尺寸標(biāo)注方法。 教學(xué)重點(diǎn)： 1.截平面截切平面立體和回轉(zhuǎn)體時(shí)截交線的求法。 2.切割體的尺寸標(biāo)注。 教學(xué)難點(diǎn)： 截交線的繪制方法。,3.3 切割體的投影,3.3.1 切割體及截交線的概念 基本體被平面截切后的部分稱為切割體，截切基本體的平面稱為截平面，基 本體被截切后的斷面稱為截?cái)嗝妫仄矫媾c立體表面的交線稱為截交線，如 圖 3-16所示。,圖3-16 截交線的基本概念及零件示例,3.3 切割體的投影,截交線的形狀與基本體

2、表面性質(zhì)及截平面的位置有關(guān)，但任何截交線都具有 下列兩個(gè)基本性質(zhì): （1）任何基本體的截交線都是一個(gè)封閉的平面圖形（平面折線、平面曲線或 兩者的組合）; （2）截交線是截平面與立體表面的共有線。 由以上性質(zhì)可以看出，求畫截交線的實(shí)質(zhì)就是要求出截平面與基本體表面的 一系列共有點(diǎn)，然后依次連接各點(diǎn)即可。 3.3.2 平面切割體的投影 由于平面立體的表面都是由平面所組成的，所以它的截交線是由直線圍成的 封閉的平面多邊形。多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)是截平面與平面立體的棱線或底邊的交 點(diǎn)，多邊形的每一條邊是平面立體表面與截平面的交線。因此，求平面立體切割 后的投影，首先要求出平面立體的截交線的投影，就是求出截平面

3、與平面立體上 被截各棱線或底邊的交點(diǎn)的投影，然后依次相接。,3.3 切割體的投影,【例3-1】 試求正四棱錐被一正垂面P截切后的投影（圖3-17）。 【解】 （1）空間及投影分析 因截平面P 與四棱錐四個(gè)棱面相交，所以截交線為四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)即 為四棱錐的四條棱線與截平面P 的交點(diǎn)。,圖3-17 四棱錐被一正垂面截切,3.3 切割體的投影,截平面垂直于正立投影面，而傾斜于側(cè)立投影面和水平投影面。所以，截交 線的正面投影積聚在P上，而其側(cè)面投影和水平投影則都是類似形。 （2）作圖 先畫出完整正四棱錐的三個(gè)投影。 因截平面P的正面投影具有積聚性，所以截交線四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)、 、的正面投影1、2

4、、3、4可直接得出，據(jù)此即可在水平投影上和側(cè) 面投影上分別求出1、2、3、4和1、2、3、4。將頂點(diǎn)的同面投影依次連 接起來，即得截交線的投影。在三個(gè)投影圖上擦去被截平面P截去的投影，即完 成作圖，注意側(cè)面投影上的細(xì)虛線不要遺漏。具體作圖請看圖3-17。,3.3 切割體的投影,【例3-2】 試求四棱錐被二平面截切后的投影（圖3-18）。 【解】 （1）空間及投影分析 四棱錐被二平面截切。截平面P為正垂面，其與四棱錐的四個(gè)棱面的交線與 前例相似。截平面Q為水平面，與四棱錐底面平行，所以其與四棱錐的四個(gè)棱面 的交線，同底面四邊形的對應(yīng)邊相互平行，利用平行線的投影特性很容易求得。 此外，還應(yīng)注意兩平

5、面P、Q相交亦會有交線，所以平面P和平面Q截出的截交線均 為五邊形。 平面P為正垂面，其截交線投影特性同前例分析;平面Q為水平面，其截交線 正面投影和側(cè)面投影皆具有積聚性，水平投影則反映截交線的實(shí)形。 （2）作圖 畫出完整四棱錐的三個(gè)投影 先求平面Q截四棱錐后的截交線?？捎烧队?在俯視圖上求1，由1作四邊 形與底面四邊形對應(yīng)邊平行可得1、2、5點(diǎn)，平面Q與平面P 的交線、可由正 投影3、4在俯視圖上求得3、4。所求1、2、3、4、5即為截交線在水平投影 面上的投影。其正面投影 和側(cè) 面投影分別為1、2、3、4、5和1、 2、3、4、5。再求平面P截四棱錐后的截交線，可按前例方法求出6、 7、

6、8和6、7、8及6、7、8。將、各點(diǎn)同面投影連接 起來，即得截交線在三投影面上的投影。,3.3 切割體的投影,圖3-18 四棱錐被二平面截切,注意: 平面Q與平面P交線的水平投影3、4應(yīng)為細(xì)虛線。在側(cè)面投影上的細(xì)虛線也不要遺漏。,3.3 切割體的投影,3.3.3 回轉(zhuǎn)切割體的投影 回轉(zhuǎn)體的表面是曲面或曲面加平面，它們切割后的截交線，一般是封閉的平 面曲線或平面曲線與直線圍成的平面圖形。求截交線的實(shí)質(zhì)，就是要求出截平面 與回轉(zhuǎn)體上各被截素線的交點(diǎn)，然后依次光滑相連。 1.圓柱切割體 根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對位置不同，圓柱切割后其截交線有三種不同的 形狀，見表3-1。,表3-1 平面與圓柱的交線

7、,3.3 切割體的投影,當(dāng)截平面與圓柱軸線平行時(shí)，其截交線為矩形（其中兩對邊為圓柱面的素 線）;當(dāng)截平面與圓柱軸線垂直相交時(shí)，其截交線為圓;當(dāng)截平面與圓柱軸線傾斜 相交時(shí)，其截交線為橢圓。 【例3-3】 求一斜切圓柱的截交線的投影（圖3-19）。 【解】 圓柱被正垂面P截?cái)?，由于截平面P與圓柱軸線傾斜，故所得的截交 線是一橢圓，它既位于截平面P上，又位于圓柱面上。因截平面P在V面上的投影 有積聚性，故截交線的V 面投影應(yīng)與PV 重合。圓柱面的H面投影有積聚性，截交 線的H面投影與圓柱面的H面投影重合。所以，只需求出截交線的W面投影。其作 圖過程（圖3-19）如下:,圖3-19 斜切圓柱的投影,

8、3.3 切割體的投影,（1）作截交線的特殊點(diǎn)。特殊點(diǎn)通常指截交線上一些能確定截交線形狀 和范圍的特殊位置點(diǎn)，如最高、最低、最前、最后、最左和最右點(diǎn)，以及轉(zhuǎn) 向輪廓線上的點(diǎn)。對于橢圓首先應(yīng)求出長短軸的四個(gè)端點(diǎn)。因長軸的端點(diǎn)A、 B是橢圓的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，位于圓柱的最左、最右兩素線上;短軸兩端點(diǎn)C、 D是橢圓最前點(diǎn)和最后點(diǎn)，位于圓柱的最前、最后兩素線上。這四點(diǎn)在H面上 的投影分別是a b、c、d，在V面上的投影分別是a、b、c、d。根據(jù) 對應(yīng)關(guān)系，可求出在W面上的投影a、b、c、d。求出了這些特殊點(diǎn)， 就確定了橢圓的大致范圍。 （2）求一般點(diǎn)。為了準(zhǔn)確地作出截交線，在特殊點(diǎn)之間還需求出適當(dāng)數(shù) 量的

9、一般點(diǎn)。如圖3-19所示，在截交線的水平投影上，取對稱于中心線的四 點(diǎn)e、f、g、h，按投影關(guān)系可找到其正面投影e、f、g、h，再求出 側(cè)面投影e、f、g、h。 （3）依次光滑連接各點(diǎn)，即可得截交線的側(cè)面投影。,3.3 切割體的投影,【例3-4】 在圓柱體上開出一方形槽，已知其正面投影和側(cè)面投影， 求作其水平投影（圖3-20）。,3-20 求圓柱上開一方形槽的投影,3.3 切割體的投影,【解】 （1）空間及投影分析 由圖中可以看出方形槽是由兩個(gè)與軸線平行的平面P、Q和一個(gè)與軸線垂直的 平面T切出的。前者與圓柱面的交線是兩條平行直線，后者與圓柱面的交線是圓 弧。截平面P和Q為水平面，所以截交線的

10、正面投影分別積聚在p和q上。同 時(shí)，由于圓柱面的側(cè)面投影具有積聚性，所以截交線的側(cè)面投影都積聚在圓上。 截平面T是一側(cè)平面，所以截交線的正面投影積聚在t上，側(cè)面投影則積聚在圓 上。 （2）作圖 先畫出完整的圓柱體的水平投影，再畫出截交線的水平投影。根據(jù)a、b、 a、b和c、d、c、d畫出a、b和c、d。再根據(jù)bef和bef 畫出bef。 作圖時(shí)應(yīng)注意圓柱體的輪廓GE一段被截去（與之對稱的一段輪廓未畫，其情 況相同），所以在ge和ge一段沒有輪廓線的投影。具體作圖可見圖3-20。,3.3 切割體的投影,【解】 如圖3-21所示，該圓柱被切去了、等四部分形體。 、部分為由兩平行于圓柱軸線的平面和一

11、垂直于圓柱軸線的平面切割圓柱 而成，切口為矩形。 部分也為由兩平行于軸線的平面和一垂直于軸線的平面切割圓柱而成， 即在圓柱右端開一個(gè)槽，切口亦為矩形。部分是在切割、部分的基礎(chǔ)上 再挖去的一個(gè)小圓柱。其作圖過程如下（圖3-21）: （1）畫出整個(gè)圓柱的三個(gè)投影，并切去、部分（圖3-21（b）; （2）畫切去部分后的投影（圖3-21（c）; （3）畫挖去部分，并完成全圖（圖3-21（d）。,圖3-21 求圓柱切割后的投影,【例3-5】 求作圓柱切割后的投影（圖3-21）。,3.3 切割體的投影,2.圓錐切割體 截平面切割圓錐時(shí)，根據(jù)截平面與圓錐軸線位置的不同，與圓錐面的交線有 五種情形，見表3-2

12、。,表3-2 平面與圓錐的交線,3.3 切割體的投影,下面舉例說明平面與圓錐面的交線投影的作圖方法。 【例3-6】 完成平面P與圓錐面的交線的正面投影。求作圓錐切割后的投影 （圖3-22） 【解】 （1）空間及投影分析 從側(cè)面投影可以看出，平面P是平行于軸線的正平面，它與圓錐面的交線為 雙曲線，與圓錐底面的交線為直線段，如圖3-22（b）所示。,圖3-22 平面與圓錐面軸線平行時(shí)交線的畫法,（2）作圖 作特殊點(diǎn)。特殊點(diǎn)為A、B、C三點(diǎn)。點(diǎn)C是雙曲線的頂點(diǎn)，在圓錐最前素線上;兩點(diǎn)A、B為雙曲線的端點(diǎn)，在圓錐底圓上，這三點(diǎn)也是極限點(diǎn)。a、b可直接由a、b求得。由于未畫水平投影，c必須通過輔助緯圓求

13、得，這個(gè)緯圓的側(cè)面投影應(yīng)通過c，并與直線ab相切。,3.3 切割體的投影,求一般點(diǎn)。從雙曲線的側(cè)面投影入手，用圓錐面上取點(diǎn)法。圖中示出了在 側(cè)面投影上任取一點(diǎn)d，利用輔助緯圓求得d的方法，同時(shí)還得到了與d對 稱的另一點(diǎn)e。 依次光滑連接各共有點(diǎn)的正面投影，完成作圖。 3.圓球切割體 平面與球面的交線總是圓。圖3-23所示是球面與投影面平行面（水平面Q和 側(cè)平面P）相交時(shí)，交線投影的基本作圖方法。,圖3-23 平面與球面交線的基本作圖,3.3 切割體的投影,【例3-7】 畫出圖3-24（a）所示立體的投影。 【解】 （1）空間分析 該立體是在半個(gè)球的上部開出一個(gè)方槽后形成的。 左右對稱的兩個(gè)側(cè)平面P和水平面Q與球面的交線都是圓弧，P和Q彼此相交于直線 段。,圖3-24 球上開槽的畫法,3.3 切割體的投影,（2）作圖 先畫出立體的三個(gè)投影，再根據(jù)方槽的正面投影作出其水 平投影和側(cè)面投影。 完成側(cè)平面P的投影（圖3-24（b）。根據(jù)分析，平面P的邊界由 平行于側(cè)面的圓弧和直線組成。先由正面投影作出側(cè)面投影（要注意圓 弧半徑的求法，可與圖2-23中的截平面P的求法進(jìn)行對照），其水平投影 的兩個(gè)端點(diǎn)，應(yīng)由其余兩個(gè)投影來確定 完成水平面Q的投影（圖3-24（c）。由分析可知，平面Q的邊界 是由相同的兩段水平圓弧和兩段直線組成的對稱形。作水平投影時(shí)，也 要