1、鑄件凝固溫度場(chǎng)及其凝固數(shù)值模擬概論,北京科技大學(xué)鋼鐵冶金系 張家泉,提 綱,凝固傳熱基本原理 熱傳導(dǎo)過(guò)程的偏微分方程 凝固溫度場(chǎng)的求解方法 1）數(shù)學(xué)解析法 2）數(shù)值模擬法 2）鑄件凝固時(shí)間 3）凝固數(shù)值模擬應(yīng)用舉例,凝固傳熱基本原理,一）溫度場(chǎng)基本概念 穩(wěn)定溫度場(chǎng)： 不隨時(shí)間而變的溫度場(chǎng)（即溫度只是坐標(biāo)的函數(shù)），其表達(dá)式為： T = f(x, y, z) 不穩(wěn)定溫度場(chǎng)：溫度場(chǎng)不僅在空間上變化，并且也隨時(shí)間變化的溫度場(chǎng)鑄件凝固多屬于帶相變熱釋放與冷卻傳熱的非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)問(wèn)題。 T = f (x, y, z, t) 等溫面：空間具有相同溫度點(diǎn)的組合面。 等溫線：某個(gè)特殊平面與等溫面相截的交線。 溫度

2、梯度（ gradT ）：對(duì)于一定溫度場(chǎng)，沿等溫面或等溫線某法線方向的溫度變化率。溫度梯度越大，圖形上反映為等溫面（或等溫線）越密集。,熱傳導(dǎo)過(guò)程的偏微分方程,三維傅里葉熱傳導(dǎo)微分方程為： 式中: 導(dǎo)溫系數(shù)， 拉普拉斯運(yùn)算符號(hào)。 二維傳熱： 一維傳熱：,上述微分方程式是傳熱學(xué)理論中的最基本公式，適合于包括鑄造、焊接過(guò)程在內(nèi)的所有熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述，但在對(duì)具體熱場(chǎng)進(jìn)行求解時(shí)，除了上述微分方程外，還要根據(jù)具體問(wèn)題給出導(dǎo)熱體的初始條件與邊界條件。 此外思考，凝固潛熱在控制方程中是如何體現(xiàn)？（溫度回升法、折算比熱法等）,初始條件： 初始條件是指物體開(kāi)始傳熱時(shí)（即 t = 0 時(shí)）的瞬時(shí)溫度分布。（充填

3、鑄型后鑄件冷卻凝固開(kāi)始時(shí)刻） 邊界條件： 邊界條件是指計(jì)算區(qū)域的表面與周圍介質(zhì)間的熱交換情況。,常見(jiàn)的邊界條件有以下三類,第一類邊界條件： 給定物體表面溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系 第二類邊界條件： 給出通過(guò)物體表面的比熱流隨時(shí)間的變化關(guān)系（包括對(duì)稱、絕熱面） 第三類邊界條件： 給出物體周圍介質(zhì)溫度以及物體表面與周圍介質(zhì)的換熱系數(shù) 上述三類邊界條件中，以第三類邊界條件最為常見(jiàn)。,溫度場(chǎng)計(jì)算的解析法,解析方法是直接應(yīng)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)理論和定律去推導(dǎo)和演繹數(shù)學(xué)方程（或模型），得到用函數(shù)形式表示的解，也就是解析解。 優(yōu)點(diǎn)：是物理概念及邏輯推理清楚，解的函數(shù)表達(dá)式能夠清楚地表達(dá)溫度場(chǎng)的各種影響因素，有利于直觀分析

4、各參數(shù)變化對(duì)溫度高低的影響。 缺點(diǎn)：通常需要采用多種簡(jiǎn)化假設(shè)，而這些假設(shè)往往并不適合實(shí)際情況，這就使解的精確程度受到不同程度的影響。目前，只有簡(jiǎn)單的一維溫度場(chǎng)（“半無(wú)限大”平板、圓柱體、球體）才可能獲得解析解。,溫度場(chǎng)計(jì)算的數(shù)值求解法（凝固數(shù)值模擬）,數(shù)值方法又叫數(shù)值分析法，是通過(guò)對(duì)傳熱控制微分方程的簡(jiǎn)化、然后利用計(jì)算機(jī)編程，利用計(jì)算機(jī)求解簡(jiǎn)化后的代數(shù)模型。得到的近似解也稱數(shù)值解。故又稱為數(shù)值模擬或計(jì)算機(jī)模擬。 常用數(shù)值化求解方法有：,差分法：是把原來(lái)求解物體內(nèi)隨空間、時(shí)間連續(xù)分布的溫度問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求在時(shí)間領(lǐng)域和空間領(lǐng)域內(nèi)有限個(gè)離散點(diǎn)的溫度值問(wèn)題，再用這些離散點(diǎn)上的溫度值去逼近連續(xù)的溫度分布。

5、差分法的解題基礎(chǔ)是用差商來(lái)代替微商，這樣就將熱傳導(dǎo)微分方程轉(zhuǎn)換為以節(jié)點(diǎn)溫度為未知量的線性代數(shù)方程組，得到各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值解。,有限元法：是根據(jù)變分原理來(lái)求解熱傳導(dǎo)問(wèn)題微分方程的一種數(shù)值計(jì)算方法。有限元法的解題步驟是先將連續(xù)求解域分割為有限個(gè)單元組成的離散化模型，再用變分原理將各單元內(nèi)的熱傳導(dǎo)方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的線性方程組，最后求解全域內(nèi)的總體合成矩陣。,鑄件凝固溫度場(chǎng)的解析解法,例：半無(wú)限大平板鑄件凝固過(guò)程的一維不穩(wěn)定溫度場(chǎng),若實(shí)際三維鑄件或其局部可以近似地認(rèn)為是沿著界面的法線方向一維熱傳導(dǎo)，這樣就構(gòu)成了半無(wú)限大平板鑄件凝固過(guò)程的一維不穩(wěn)定溫度場(chǎng)的求解問(wèn)題。為簡(jiǎn)化問(wèn)題、有利解析法實(shí)現(xiàn) 假設(shè)： （1）凝

6、固過(guò)程的初始狀態(tài)為：鑄件與鑄型內(nèi)部分別為均溫，鑄件的起始溫度為澆鑄溫度T 10 ，鑄型的起始溫度為環(huán)境溫度或鑄型預(yù)熱溫度T20 ； （2）鑄件金屬的凝固溫度區(qū)間很小，可忽略不計(jì)； （3）不考慮凝固過(guò)程中結(jié)晶潛熱的釋放； （4）鑄件的熱物理參數(shù) 1 、c1 、1與鑄型的熱物理參數(shù)2 、c2 、2 不隨溫度變化；,（5）鑄件與鑄型緊密接觸，無(wú)界面熱阻，即鑄件與鑄型在界面處等溫（Ti）。顯然，凝固過(guò)程中，鑄件與鑄型中的溫度分布符合：,該一維非穩(wěn)態(tài)傳熱微分方程通解為：,式中，C 、D為不定積分常數(shù)， erf (x)為高斯誤差 函數(shù)，其計(jì)算式為：,其值可通過(guò)查表求得。誤差函數(shù)的性質(zhì)為：x=0, erf(

7、x)=0,erf(-x)=-erf(x), erf()=1, erf(-)=-1. 對(duì)于鑄件側(cè)，有邊界條件：x =0( t 0)時(shí)，T1 = T2 = Ti ，初始條件：t=0 時(shí)，T1 = T10 ,所以得（鑄件側(cè)溫度分布）：,同理可得鑄型側(cè)溫度場(chǎng)方程式為：,對(duì)于公式中的界面溫度Ti，可以通過(guò)在界面處熱流的 連續(xù)性條件求出，,即：上式中， b1 = 1 c1 1 ，為鑄件的蓄熱系數(shù)； b 2 = 2 c 2 2 ，為鑄型的蓄熱系數(shù)。最后可得鑄件、鑄型內(nèi)溫度分布的解析解為：,半無(wú)限大平板鑄件凝固過(guò)程的一維不穩(wěn)定溫度場(chǎng)（溫度分布）其中忽略了可能很重要的界面熱阻的影響！,鑄件凝固時(shí)間,鑄件的凝固時(shí)

8、間：是指從液態(tài)金屬充滿型腔后至全部凝固完畢所需要的時(shí)間。鑄件凝固時(shí)間是制訂生產(chǎn)工藝、獲得穩(wěn)定鑄件質(zhì)量的重要依據(jù)。 以前面簡(jiǎn)化分析的半無(wú)限大平板鑄件為例，鑄件凝固時(shí)間的估算方法有： 1）解析法（理論法）：,因鑄型溫度分布為： 所以其溫度梯度有： 鑄型凝固時(shí)間 t 內(nèi)導(dǎo)出的總熱量：,至凝固結(jié)束時(shí)刻，鑄件放出的總熱量（包括潛熱L）： 根據(jù)能量守恒定律可得凝固時(shí)間的表達(dá)式：,對(duì)于大平板鑄件，凝固層厚度 與凝固層體積 V1 、鑄件與鑄型間接觸面積 A1 三者間滿足關(guān)系式： 令 （K 凝固系數(shù)，與鑄件與鑄型材料有關(guān)，可由試驗(yàn)定） 得凝固平方根關(guān)系： 或：,將V1與A1推廣理解為一般形狀鑄件的體積與表面積，

9、并令： 可得一般鑄件凝固時(shí)間的近似計(jì)算公式： R為鑄件的折算厚度，稱為“模數(shù)”?！澳?shù)法” 也稱為“折算厚度法則”。,從傳熱學(xué)角度來(lái)說(shuō)，模數(shù)代表著鑄件熱容量與散熱表面積之間的比值關(guān)系，凝固時(shí)間隨模數(shù)增大而延長(zhǎng)。 對(duì)于形狀復(fù)雜的鑄件，其體積與表面積的計(jì)算都是比較麻煩的，這時(shí)可將復(fù)雜鑄件的各部分看作是形狀簡(jiǎn)單的平板、圓柱體、球、長(zhǎng)方體等單元體的組合，分別計(jì)算出各單元體的模數(shù)，但各單元體的結(jié)合面不計(jì)入散熱面積中。一般情況下： 模數(shù)最大的單元體的凝固時(shí)間即為鑄件的凝固時(shí)間。,凝固平方根定律的簡(jiǎn)單推導(dǎo)及其在連鑄凝固分析上的應(yīng)用,簡(jiǎn)單推算：二冷噴水冷卻促進(jìn)鑄坯的凝固速度和坯殼生長(zhǎng)，根據(jù)液相穴凝固前沿釋放的

10、凝固潛熱等于凝固殼的傳導(dǎo)傳熱原理，可得上式：,積分簡(jiǎn)化可得： 進(jìn)而有平方根定律：,可見(jiàn)，二次冷卻區(qū)坯殼的生長(zhǎng)服從于平方根定律。由于冷卻水直接噴射到鑄坯表面上，冷卻強(qiáng)度較大，凝固速度較快，當(dāng)e=D/2時(shí)鑄坯就全部凝固。,式中涉及： 鋼的導(dǎo)熱系數(shù)， kJ/ kg.C; 坯殼厚度， mm; 鋼密度， kg/m3; 凝固潛熱， kJ/kg;（大多鋼的潛熱280左右） 凝固前沿溫度， C; 鑄坯表面溫度， C; 時(shí)間， min; 凝固系數(shù)（mm/min1/2）取決于鋼的成分、鑄坯斷面和二次冷卻強(qiáng)度。其不同鑄機(jī)凝固系數(shù)數(shù)值一般在23-30 mm/min1/2之間。,鑄坯液芯長(zhǎng)度的估算,由上可知，由平方根定

11、律可以近似估算鑄坯的液芯長(zhǎng)度。液芯長(zhǎng)度是彎月面至凝固終點(diǎn)（即坯殼厚度為1/2鑄坯厚度位置）的長(zhǎng)度，設(shè)鑄坯厚度為d, 則由平方根定律可知，到凝固終點(diǎn)時(shí)有如下關(guān)系式：,由上可得到連鑄坯液芯長(zhǎng)度L估算式為：,其中Vc為拉坯速度。凝固系數(shù)K可按如下經(jīng)驗(yàn)數(shù)值估算： 實(shí)際生產(chǎn)中，對(duì)于裂紋敏感鋼種，二冷常要采用弱冷方式，K值約為24-25 mm/min1/2； 對(duì)于問(wèn)裂紋不太敏感鋼種，二冷比水量可較大，凝固系數(shù)K值約為28 mm/min1/2。,凝固系數(shù)的驗(yàn)證及其局限性,拉漏鑄坯的坯殼厚度的測(cè)量如下系列切片照片（自左到右切片在鑄機(jī)中的位置）。 值得注意的是：凝固坯殼生產(chǎn)往往并不均勻，為什么？此外，凝固傳熱條件的一維簡(jiǎn)化也有很大局限性！實(shí)際生產(chǎn)問(wèn)題及其解析的復(fù)雜性也正在于此！這將是凝固數(shù)值模擬與工藝設(shè)計(jì)的主要研究?jī)?nèi)容。,界面熱阻問(wèn)題與實(shí)際凝固溫度場(chǎng),上述關(guān)于鑄造過(guò)程凝固溫度場(chǎng)的分布以及凝固時(shí)間的討論均將鑄件與鑄型的接觸當(dāng)作是理想狀態(tài)下的緊密接觸。而實(shí)際鑄造過(guò)程鑄件與鑄型界面存在熱阻。,熱阻來(lái)源,界面局部接觸，有間隙 鑄型型腔內(nèi)表面常存在涂料,實(shí)際界面接觸狀況與涂料狀況對(duì)界面熱阻大小有重要影響。 此外，實(shí)際鑄件凝固過(guò)程常不能簡(jiǎn)化為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，物性參數(shù)常是溫度的函數(shù)、非線性。因此用數(shù)值模擬求近似解的計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬技術(shù)得到了發(fā)展和應(yīng)用！ 詳參有關(guān)鑄件凝固數(shù)值模擬專著，以及Pro