1、2.7 函數(shù)的彈性,一、函數(shù)彈性的定義,二、 彈性在經濟分析中的應用,三、小結,1,學習交流PPT,1. 函數(shù)的絕對變化率與相對變化率,前面討論的函數(shù)改變量與函數(shù)變化率為絕對,改變量與絕對變化率. 但從實踐中得知, 僅僅研究,函數(shù)的絕對改變量與絕對變化率是很不夠的, 還需,要研究函數(shù)的相對改變量與相對變化率.,一、函數(shù)彈性的定義,2,學習交流PPT,設函數(shù) y = f (x)可導，當自變量 x 在 x0處給以增量,時，相應地，函數(shù) y 有增量,稱,為函數(shù)自變量與因變量的絕對改變量，,而稱,為自變量與因變量的相對改變量,稱,為函數(shù)從 的相對變化率,3,學習交流PPT,如,當 x 由10變到12時

2、,y 由100變到144.,此時，絕對改變量為,而相對改變量為,表示當 x 由10變到12時，x 產生了20%的改變，,而y產生了44%的改變,4,學習交流PPT,表示在(10, 12)內, x 從 x=10, 每改變 1%時, y,平均改變了2.2%，它為從 x=10 到 x=12時, 函,數(shù) y = x2 的相對變化率,且,5,學習交流PPT,定義2.7.1 設函數(shù) y = f (x) 在點 x = x0處可導，函數(shù),的相對改變量,2. 函數(shù)彈性的定義,6,學習交流PPT,變化率，,或稱為從x = x0到,兩點間的彈性,而當, 兩點間相對變化率的極限,稱為 f(x)在點 x = x0的相對

3、變化率，也稱為f(x)在x0的,彈性. 記作,且,7,學習交流PPT,一般的，如果 y = f (x) 可導，稱,為f (x) 的彈性函數(shù),函數(shù) f (x) 在點 x的彈性,反映了函數(shù) f (x) 隨自,變量的變化而變化的幅度大小(靈敏度):,當 x 變化1%時，函數(shù) y 變化了,8,學習交流PPT,由,邊際函數(shù),平均函數(shù),即，彈性可理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之商,注意 兩點間的彈性是有方向性的, 因為“相對性”,是對初始值而言的.,也就是說:,兩點間的彈性是不同的.,9,學習交流PPT,即指數(shù)函數(shù)的彈性為線性函數(shù),例2 求函數(shù),的彈性函數(shù),解,例1 求函數(shù),的彈性函數(shù),解,即冪函數(shù)的彈性為其冪

4、指數(shù)b.,10,學習交流PPT,二、彈性在經濟分析中的應用,1. 需求彈性與供給彈性,定義2.7.2 設某商品的需求函數(shù)為 Q = f (P), 在,處可導，稱,為需求函數(shù)Q=f(P) 在P=P0與,兩點間,的需求價格彈性，,記作,(2.7.3),11,學習交流PPT,而稱,為需求函數(shù)Q=f(P) 在P=P0處的需求(價格)彈性，,記作,(2.7.4),價格從,每,12,學習交流PPT,表示: 當商品價格為P0時, 若價格上漲(下降)1%時，,當把定義中的 P0 換成 P 時，所得結果分別稱為需,及需求的(價格)彈性函數(shù),13,學習交流PPT,說明 需求彈性是刻畫當商品價格變動時, 需求,變動

5、的強弱. 由于需求函數(shù) Qf (P) 是單調減少,函數(shù), 則P 與 Q 異號, 而P0, Q0 是正數(shù), 于是,都是負數(shù).,為了用正數(shù)表示需求彈性, 于是采用需求函數(shù),相對變化率的反號來定義需求彈性.,14,學習交流PPT,例3 某商品的需求函數(shù)為,求,（2）P=30的需求彈性,解 （1）,說明價格從30降至 20，在此區(qū)間內，價格每降,1%, 需求量從40平均增加 1.5%.,15,學習交流PPT,（2）,則,需求的彈性函數(shù)為常數(shù)，說明在任何價格 P處，,彈性都不變，稱為不變彈性函數(shù), 即價格上漲,（下降）1%需求量就會下降（上漲） 1%.,16,學習交流PPT,例4 某商品的需求函數(shù)為,求

6、,（1）需求彈性函數(shù)；,（2）P=3,5,6時的需求彈性,解 （1）,（2）,17,學習交流PPT,說明需求變動的幅度小于價格變動,的幅度,即P=3時，價格上漲（下降）1%，需求,量下降( 上漲 ) 0.6%.,一般的, 當,時, 稱商品,需求在此處缺乏彈性,說明當P=5時需求與價格的變動幅度相同,稱商品需求在此處具有單位彈性,說明當P=6時需求變動幅度大于價格,18,學習交流PPT,變動幅度即 P=6 時，價格上漲（下降）1%, 需,求量下降（上漲）1.2% .,一般的，若,商品需求在此處富有彈性,則稱,下面討論供給彈性:,19,學習交流PPT,定義2.7.3 設某商品的供給函數(shù)為 Q=g(

7、P), 在,處可導，稱,為供給函數(shù) Q=g(P)在P=P0與,兩點間的,供給彈性，,記作,20,學習交流PPT,而稱,為供給函數(shù)Qg(P) 在PP0處的供給彈性，,記作,2. 需求彈性與總收益,總收益=商品的價格需求量,商品的需求彈性會引起總收益如何變化? 由于,21,學習交流PPT,即,22,學習交流PPT,可以看出:,即該商品為缺乏彈性商品時，,價格上漲, 總收益會增加; 價格下降, 總收益會減少;,需求量的變動幅度與價格的變動幅度相等，價格的,變動不會引起總收益變化,即該商品為單位彈性商品時，,23,學習交流PPT,即該商品為富有彈性商品時，,價格上漲，總收益減少；價格下降，總收益增加,

8、綜上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，,隨商品需求彈性的變化而變化. 一般來說, 富有彈性,商品降低價格可以增大收益, 缺乏彈性商品提高價格,可以增大收益.,下面討論總收益的變化率問題.,24,學習交流PPT,由,則,例5 某商品的需求函數(shù)為,說明當價格變化 1%時, 總收益將變化,25,學習交流PPT,（1）求需求彈性函數(shù)；,（2）求P=3時的需求彈性，說明其經濟意義；,（3）當P=3時，若價格上漲 1%，總收益如何變化？,解 （1）,（2）,26,學習交流PPT,經濟意義為: 當價格P=3時，若價格上漲（下降）,1%商品的需求量將下降（上漲）0.176%.,（3） P=3 時，若價格上漲

9、1%, 由于,則總,收益增加，且增加的幅度為,即增加,27,學習交流PPT,3. 需求彈性與邊際收益,若將商品的價格P看成需求量Q的函數(shù) , 則,總收益為,邊際收益為,又,28,學習交流PPT,從中可以看出：對富有彈性商品，增加產品的,銷售量可使總收益增加，而對缺乏彈性的商品，,減少產品的銷售量可使總收益增加,29,學習交流PPT,例6 某商品的價格P與銷售量Q的函數(shù)關系為,而成本函數(shù)為,當邊際收益,需求彈性,時，利潤,最大,（1）求利潤最大時的產量；,（2）求a,b的值,30,學習交流PPT,解（1）由最大利潤原則,有,解得,因為,而,則,又,因此,31,學習交流PPT,又因為,得,則只有Q=11滿足,因此，產量為,11時，利潤最大,（2）由需求彈性與邊際收益的關系,且,由已知，,32