1、機 械 工 程 基 礎,第一講：平面彎曲內(nèi)力剪力與彎矩 第二講：剪力圖與彎矩圖 第三講：彎矩、剪力與載荷集度間的關系 第四講：純彎曲梁的正應力 第五講：常用截面二次矩 平行移軸公式 第六講：彎曲正應力強度計算 第七講：彎曲切應力簡介 第八講：梁的彎曲變形概述 第九講：用疊加法求梁的變形 第十講：提高梁強度和剛度的措施,第七章 彎 曲,第一講：平面彎曲內(nèi)力剪力與彎矩,目的要求：掌握彎曲內(nèi)力及其計算。 教學重點：掌握指定截面彎矩、剪力的計算。 教學難點：利用外力直接計算指定截面的彎矩、剪力。,第一講：平面彎曲內(nèi)力剪力與彎矩,一、彎曲的概念和工程實例,1、工程實例,工程實際中，存在大量的受彎曲的桿件

2、，如火車輪軸、單梁吊車等等。彎曲變形是工程實際中最常見的一種基本變形,在桿的軸線平面內(nèi)受到外力作用，使桿的軸線由原來直線變?yōu)榍€，這種變形稱為彎曲變形。凡以彎曲變形為主的桿件，通常稱為梁。,受力特點：通過桿軸線的面內(nèi)，受到力偶或垂直于軸線的 外力作用 變形特點：使原有直線的軸變成了曲線,2、平面彎曲的概念,工程中使用的直梁，其橫截面大多至少有一根對稱軸（y軸），如圖。通過平面對稱軸與梁軸線確定的平面，稱為梁的縱向對稱面。,FA,FB,y,y,y,y,如果作用于梁上的所有外力（包括約束力）都作用于梁的縱向對稱面內(nèi)，則變形后的軸線將是在縱向對稱面內(nèi)的一條平面曲線。這種彎曲變形稱為平面彎曲。本章只討

3、論梁的平面彎曲。,二、梁的力學模型與基本形式,1、梁的簡化 不論梁的截面形狀如何，通常取梁的軸線來代替實際的梁 。,2、載荷的簡化 作用在梁上的外力，包括載荷和約束力（支座反力），一律可簡化為三種形式，即集中力F、集中力偶M和分布載荷q(x)。分布載荷若分布均勻，則稱為均布載荷，通常用載荷集度q表示。其單位為N/m。,3、支座的簡化 按支座對梁的約束作用不同，可按照靜力學分析，用活動鉸支座、固定鉸支座及固定端支座進行簡化。,4、靜定梁的基本形式,q,1）簡支梁 一端為固定鉸支座，另一端為可動鉸支座的梁,根據(jù)支承情況，可將梁簡化為三種形式：,2)懸臂梁 一端為固定端,另一端為自由端的梁,q,FP

4、,固定端,自由端,3) 外伸梁 一端或兩端向外伸出的簡支梁,q,q,F,這些梁的計算簡圖確定后，其支座反力均可由靜平衡條件完全確定，故稱靜定梁。 如果梁的支反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目，支反力不能完全由靜力平衡方程確定，這種梁稱為靜不定或超靜定梁 。,C,圖示懸臂梁，若已知梁長為l，主動力為F，則該梁的約束反力可由靜力平衡方程求得，即FB=F，MB=Fl。 欲求任意橫截面m-m上的內(nèi)力，可在m-m處假想將梁截開。 留左半段為研究對象，因左右兩半本屬固連，故其內(nèi)力狀況與靜力學中固定端的約束作用同，內(nèi)力向截面m-m的形心O簡化，為一力FQ與一力偶M。,1用截面法分析梁截面上的內(nèi)力,FB,三、梁的內(nèi)

5、力（剪力與彎矩）計算,FQ,M,MB,x,FQ,M,式中FQ稱為剪力，它是與橫截面平行內(nèi)力的合力。M稱為橫截面上的彎矩，它是橫截面上垂直內(nèi)力對其形心的合力矩。 式（a）稱為剪力方程， 式（b ）即稱為彎矩方程。,列出平衡方程，可得 Fy0 F-FQ0 FQ F （a） MO(F)0 M- Fx 0 M Fx ( b ),M,M,為使取左段或取右段得到的同一截面上的內(nèi)力符號一致，特規(guī)定如下：,規(guī)定：當截面上的剪力FQ使研究對象有順時針轉向趨勢時為正，反之為負。,FQ,FQ,FQ,FQ,M,M,當截面上的彎矩M使研究對象產(chǎn)生向下凸的變形時（即上部受壓下部受拉）為正，反之為負。,歸納為口訣：“左上右

6、下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正”,計算表明：梁上某一截面的剪力大小等于截面之左（或右）段上所有外力的代數(shù)和；彎矩大小等于截面之左（或右）段上的所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和。在實際計算中，剪力和彎矩的符號一般皆設為正，如果計算結果為正，表明實際的剪力和彎矩與圖示方向一致；若結果為負，則與圖示方向相反。,研究對象在截面的右邊,FQF左 M=MC(F左),FQF右 M=MC(F右),研究對象在截面的左邊,例： 外伸梁DB受力如圖。已知均布載荷集度為q，集中力偶M=3qa2。圖中2-2與3-3截面稱為A點處的臨近截面，即0；同樣4-4與5-5截面為C點處的臨近截面。試求梁各指定截面的剪力與彎矩 。

7、,FB,FA,2 3 2 3,4 5 4 5,解 1）求梁支座的約束力。取整個梁為研究對象，畫受力圖。,列平衡方程求解得 MB(F)=0 -FA4a-M+q2a5a=0 得 FA=7qa/4 Fy0 FB +FA-q2a=0 得 FB=qa/4,FB,FA,2 3 2 3,4 5 4 5,2）求各指定截面上的剪力與彎矩 1-1截面：由1-1截面左段梁上外力的代數(shù)和求得該截面的剪力為：FQ1=-qa 由1-1截面左段梁上外力對截面形心力矩的代數(shù)和求得該截面的彎矩為 M1=-qaa/2= -qa2/2,2-2截面：取2-2截面左段梁計算，得 FQ2=-q2a=-2qa M2=-q2aa=-2qa2

8、,FB,FA,2 3 2 3,4 5 4 5,3-3截面：取得3-3截面左段梁計算得 FQ3=-q2a+FA=-2qa+7qa/4= -qa/4 M3=-q2aa= -2qa2,4-4截面：取4-4截面右段梁計算，得 FQ4=-FB = -qa/4 M4=FB2aM= qa2/2- 3qa2=-5qa2/2,5-5截面：取5-5截面右段梁計算，得 FQ5=-FB = -qa/4 M5=FB2a= qa2/2,由以上計算結果可以看出： 1）集中力作用處的兩端臨近截面上的彎矩相同，但剪力不同，說明剪力在集中力作用處產(chǎn)生了突變，突變的幅值等于集中力的大小。 2）集中力偶作用處的兩側臨近截面上的剪力相

9、同，但彎矩不同，說明彎矩在集中力偶作用處產(chǎn)生了突變，突變的幅值等于集中力偶矩的大小。,3）由于集中力的作用截面上和集中力偶的作用截面上剪 力和彎矩有突變，因此，應用截面法求任一指定截面上的剪力和彎矩時，截面應分別取在集中力或集中力偶作用截面的左右臨近位置。,作業(yè)：,試求圖示梁指定截面上的剪力和彎矩。設q，a均為已知,(1),(2),目的要求：掌握剪力圖彎矩圖的繪制。 教學重點：利用剪力方程與彎矩方程繪制剪力圖彎矩圖 教學難點：剪力圖彎矩圖的繪制規(guī)律的理解。,第二講：剪力圖與彎矩圖,若梁中間還有其他載荷，因各段的分離體的受力圖不同，應按載荷作用位置分段計算。故在一般情況下，所謂剪力方程只是在梁的

10、某一外載無變化的這段內(nèi)，梁任意截面上的通式。 可記為： FQ FQ(x) 該式稱為梁的剪力方程。 彎矩方程也同樣是梁的外載無變化的這段內(nèi)，梁任意截面上彎矩的通式。 可記為： M M (x) 該式稱為梁的彎矩方程。,第二講：剪力圖與彎矩圖,以上兩個函數(shù)表達式稱為剪力方程和彎矩方程，根據(jù)這兩個方程，畫出剪力和彎矩沿梁軸線變化的圖形，這樣的圖形稱為剪力圖與彎矩圖。此法頗為繁瑣。不過，在上述基本方法的基礎上進一步探索梁上載荷與由之而生的剪力圖、彎矩圖的關系，發(fā)展成為一種方便的剪力與彎矩圖的作法，下節(jié)將講述。,一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置的不同 而變化，若以梁的軸線為x軸，坐標x表示橫截

11、面的位置，則 可將梁橫截面上的剪力和彎矩表示為坐標x的函數(shù)，即,FQ FQ(x),M M (x),利用剪力圖和彎矩圖很容易確定梁的最大剪力和最大彎矩，以及確定危險截面的位置。,繪制剪力圖和彎矩圖的步驟： 1）求支座反力 2）列剪力方程和彎矩方程 3）作剪力圖和彎矩圖,例簡支梁受載如圖所示。若已知F、a、b，試作梁的FQ圖和M圖。,解 1)求支反力。以整體為研究對象，由平衡方程可得,FB,FA,2)列剪力方程和彎矩方程 由于點有集中力的作用，則段和段的剪力方程和彎矩方程應分段列出,x,M,x,FQ,0,0,Fa/l,M圖,FQ圖,Fb/l,Fab/l,)畫剪力圖和彎矩圖 如圖所示,1）從剪力圖和

12、彎矩圖可以看出，在集中力F作用處，剪力發(fā)生 突變，突變值等于該集中力的大小。 2）在集中力作用處，彎矩出現(xiàn)最大值，若a=b，則最大彎矩值出現(xiàn)在梁中點處。,FB,FA,例2、如圖所示簡支梁，在AB上作用了集度為q的均布載荷，作此梁的剪力圖和彎矩圖,解 1)求支反力。以整體為研究對象，由平衡方程可得,2)列剪力方程和彎矩方程,)畫剪力圖和彎矩圖 如圖所示,M,0,ql2/8,x,M圖,解 1)求支反力。以整體為研究對象，由平衡方程可得,2)列剪力方程和彎矩方程 由于點有集中力偶的作用，則段和段的剪力方程和彎矩方程應分段列出,例：如圖所示簡支梁，在截面作用一力偶矩為的集中力偶，作出此梁的剪力圖和彎矩

13、圖,)畫剪力圖和彎矩圖 如圖所示,x,x,FQ,0,Ma/l,M圖,M/l,Mb/l,M,0,FQ圖,FA=7kN ，F(xiàn)B=5kN ,外伸梁受載荷如圖。試求其梁的剪力圖和彎矩圖 。,解 1)求支座A、B的約束力。由列平衡方程可解得,FA=7kN ，F(xiàn)B=5kN ,2kN,2)列剪力方程和彎矩方程 由于點有集中力,D點有集中力偶的作用，A和B有鉸鏈支座，則分別求出AC、CD、DB、BE段的剪力方程和彎矩方程,2）畫剪力圖和彎矩圖。,x,M/kNm,x,FQ/kN,0,0,7,3,1,3,2,20,16,6,6,3,x,H,20.5,第三講：彎矩、剪力與載荷集度間的關系,目的要求：掌握剪力圖、彎矩

14、圖的繪制繪制。 教學重點：剪力圖和彎矩圖與荷載間的規(guī)律。 教學難點：彎矩圖有極值的問題。,x,M,x,FQ,0,0,Fa/l,M圖,FQ圖,Fb/l,Fab/l,M,0,ql2/8,x,M圖,x,x,0,Ma/l,M圖,M/l,Mb/l,M,0,FQ圖,從上節(jié)我們講的剪力圖和彎矩圖的繪制結果我們可以得到下列結論；,）若梁上無均布載荷，則剪力圖為水平直線， 彎矩圖為斜直線。 2）若梁上有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩為二次拋物 線，若q向下，則剪力圖向右下傾斜，彎矩圖的拋物線開口向下，若q向上，則剪力圖向右下傾斜，彎矩圖的拋物線開口向上 3）若梁上有集中力，則在集中力作用處，剪力有突變，突變值

15、即為該處集中力的大小，彎矩值在此處有折角。 4）若梁上有集中力偶，則在集中力偶作用處，剪力圖無變化，而彎矩值有突變，突變值為該處集中力偶的力偶矩,彎矩、剪力與載荷集度間的關系,研究表明，梁上截面上的彎矩、剪力和作用于該截面處的載荷集度之間存在一定的關系。如圖，設梁上作用著任意載荷，坐標原點選在梁的左端截面形心（即支座A處），x軸向右為正，分布載荷以向上為正 。,從x截面處截取微段dx進行分析。 q(x)在dx微段上可看成均布的；左截面上作用有剪力FQ(x)和彎矩M(x)，右截面上作用有剪力FQ(x)+dFQ(x)和彎矩M(x)+dM(x)。 由平衡條件可得,FQ(x),FQ(x+dx),M (

16、x),M (x+dx),Fy=0,MO=0,略去dx的兩階微量，簡化后得,工程上常利用剪力、彎矩和載荷三者之間的微分關系，并注意到在集中力F的鄰域內(nèi)剪力圖有突變，在集中力偶M的鄰域內(nèi)彎矩圖有突變的性質，列成表格來作圖。,FQ 、M圖特征表,例1 一外伸梁受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。,解：,1)根據(jù)平衡條件求支座反力,2)由微分關系判斷各段的 形狀。,載荷,CA,DB,AD,斜直線,斜直線,1m,A,B,1m,1m,4m,F=3kN,C,D,4)作M圖。,CA段：,(-),AD段：,-3kN,4.2kN,-3.8kN,(+),(-),DB段：,-3kN.m,(-),E,x,-2.2kN

17、.m,(-),3.8kN.m,(+),(+),4)作FQ圖。,例2 已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，M0=48kNm， 求梁的內(nèi)力。,解：1）求約束反力：,MA(F )=12FE+M0-8F-24q=0 FAy=49kN；FE=32kN,Fx=FAx=0 Fy=FAy+FE-F-4q=0,截面法求剪力、彎矩 AB段:,Fy=FAy-qx1-FQ1=0 FQ1=49-9x1,2,2,0x14m,0 x1 4m,BC段:,Fy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN,Mc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kNm),CD段:,DE段:,FQ3=13kN;

18、M3=13x3+24(kNm),FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kNm),4mx26m,4mx2 6m,6mx38m,6mx3 8m,8mx4 12m,8mx412m,剪力、彎矩圖：,FQ、M圖的簡捷畫法 (結合例2),3）依據(jù)微分關系判定控制點 間各段 FQ、M圖的形狀， 連接各段曲線。,2）計算控制點處FQ、M值。,總結： 1、平面彎曲梁的橫截面上有兩個內(nèi)力剪力和彎矩。其正負號按變形規(guī)定如下圖示：,M,M,FQ,FQ,FQ,M,M,計算梁某截面上的剪力和彎矩可按口訣：“左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正”，依據(jù)所求截面左端或右端上的外力的指向及對截面形心力矩的轉向直接求得

19、,2、剪力圖和彎矩圖示分析梁強度和剛度問題的基礎，從剪力圖和彎矩圖上可分析梁的危險截面，要求能熟練正確地會剪力圖和彎矩圖。 3、根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫剪力圖和彎矩圖的步驟： 1）正確求解支座反力。 2）分段。集中力、集中力偶作用的作用點和分布載荷 的起始、終止點都是分段點。（可以和第3步合并） 3）列出各段的剪力方程和彎矩方程。 4）按剪力方程和彎矩方程畫剪力圖和彎矩圖。,4、根據(jù)剪力、彎矩和載荷集度之間的關系畫剪力圖和 彎矩圖，是根據(jù)P151表7-1的規(guī)律畫圖，此方法要確 定關鍵點的剪力值和彎矩值。另外可以利用此規(guī)律對已經(jīng)畫的剪力圖和彎矩圖進行校核。,1、本章最基本的概念（力、剛體、約束、

20、約束力、平衡等）（了解） 2、靜力學的幾條公理的理解。二力平衡條件是最基本的力系平衡條件；加減平衡力系原理是力系等效代換與簡化的理論基礎；力的平行四邊形法則說明了力的矢量運算法則；力的作用力與反作用力揭示了力的存在形式。二力平衡條件、加減平衡力系原理和力的可傳性僅適用于剛體。（掌握） 3. 力和力偶是靜力學的兩個基本力學量。下表將作用于剛體上的力和力偶逐項加以比較。 （理解）,復 習,第一章 靜力學基礎,4. 注意力偶矩與力對點的矩的異同。 它們有兩點不同： （）力矩是力對某固定點的矩，力偶矩是兩個等值、反向且不共線的兩平行力中的一個力與力偶臂的乘積； （2）力偶矩與矩心無關；力對點的矩隨矩心

21、的改變而改變。 它們有三點相同： （）均使物體產(chǎn)生轉動效應； （）正、負號規(guī)定方式相同； （）單位相同，國際單位都為Nm。,力矩的計算公式：,M(F,F)=M=Fd,力偶矩的計算公式：,5、常見的約束類型有： 1）柔性約束：這種約束只能承受沿柔索的拉力。 2）光滑面約束：這種約束只能承受位于接觸點的法向壓力。 3）鉸鏈約束：它能限制物體沿垂直于銷釘軸線方向的移動，故為正交約束反力。 4）固定端約束：它限制物體兩個方向的移動與繞固定端的轉動，故為正交約束反力與一個約束力偶。,6. 對所研究的對象進行受力分析，并畫出其正確的受力圖是分析、解決靜力學問題以及動力學問題的一個最基本、很重要的環(huán)節(jié)。 物

22、體或物體系統(tǒng)的受力一般可按以下步驟進行： 1. 取分離體（研究對象） 2. 畫出研究對象所受的全部主動力（使物體產(chǎn)生 運動或運動趨勢的力） 3. 在存在約束的地方，按約束類型逐一畫出約束 反力（研究對象與周圍物體的連接關系）,在畫受力圖時，應特別注意以下幾點： （1）內(nèi)力在受力圖上是不畫的，受力圖只畫外力，即只畫主動力和周圍物體對分離體的約束反力。應注意，內(nèi)力和外力均是相對于所取的分離體而言的，一個力在某個分離體中是外力，在另外一個包含更多物體的分離體中則可能是內(nèi)力。 （2）當物體間的連接處為光滑鉸鏈時，稱該處為節(jié)點。節(jié)點受主動力作用時，一般都認為主動力作用于銷釘上或作用于球鉸鏈的中心上。 （

23、3）若各分離體之間存在作用力與反作用力，則要體現(xiàn)出牛頓第三定律，即作用力與反作用力要大小相等方向相反。,（4）若分離體與二力體（或二力桿）相連，則一定要按二力體（或二力桿）的約束特點畫出二力體（或二力桿）對分離體的約束反力。 （5）當已知約束反力的方向時，必須將約束反力按真實方向 畫出。 當無法預知約束反力的方向時，可根據(jù)相應約束的特點， 或者按約束兩相反方向假定一個方向畫出，或者用約束反力的正交分力（各正交分力的方向可任意假定）表示出。至于約束反力或約束反力的正交分量的正確方向，在靜力學中可通過平衡方程，即正號表示與假定的方向一致；負號表示與假定的方向相反。,1平面任意力系的簡化 主矢FR

24、=F=F，與簡化中心的位置無關。 主矩MO=MO（F），與簡化中心的位置有關。 力系平衡為FR=0，MO=0。,第二章 平面力系,2平面力系的平衡方程式,3求解物體系統(tǒng)平衡問題的步驟（重點） 1）適當選取研究對象，畫出各研究對象的受力圖 2）建立恰當?shù)淖鴺讼?2）分析各受力圖，利用平衡方程求解,第四章 軸向拉伸與壓縮,1、材料力學的任務（了解） 在保證構件即安全又經(jīng)濟的前提下，為構件選擇合適的材料，確定合理的截面尺寸，提供必要的計算方法和實驗技術。 2、材料力學的內(nèi)容體系 形式上按四種基本變形來劃分，四種基本變形構成了材料力學的橫向線。而對每一種基本變形，受力研究采用的都是這樣的方法：外力內(nèi)力應力的研究 對于應力進行強度計算和剛度計算。 3、工程中構件的四種基本變形（掌握） 軸向拉伸與壓縮、剪切與擠壓、扭轉和彎曲,4、軸向拉伸與壓縮的受力特點和變形特點：（掌握） 受力特點：所有外力或外力的合力沿桿軸線作用 變形特點：桿沿軸線伸長或縮短 5、軸向拉伸與壓縮時橫截面的內(nèi)力稱為軸力。（正負號規(guī)定：拉伸為正， 壓縮為負） 6、軸力圖： 截面法：截、取、代、平 直接畫：從桿件最左端開始畫軸力圖，外力向左為正，軸力上升; 外力向右為負，軸力下降。（若從桿件最右端開始畫軸力圖，則外力向右為正，軸