1、第二章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析,2.1 引言,2.2 微分方程的建立與算子表示法,2.7 卷積,2.8 卷積的性質(zhì),2.3 用時(shí)域經(jīng)典法求解微分方程,2.4 起始點(diǎn)的跳變 從 0- 到 0+ 狀態(tài)的轉(zhuǎn)換,2.5 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng),2.6 單位沖激響應(yīng) 的求解,線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的激勵(lì)e(t)與響應(yīng)r(t)之間的關(guān)系，可用以下線性常系數(shù)微分方程描述。,系統(tǒng)分析的任務(wù)就是求解這個(gè)n 階非齊次線性常微分方程。,2.1 引言,（卷積積分法）,1. R、L、C 元件端口電壓與流經(jīng)電流的約束關(guān)系,（一）微分方程的建立,2.2 微分方程的建立與算子表示法,2. 電路的電流、電壓約束關(guān)系（KVL、K

2、CL）,例：右圖所示電路，激勵(lì)為電流 ， 響應(yīng)取 ，列寫微分方程。,解：,消去中間變量 ，得,方程階數(shù)等于電路階數(shù)（獨(dú)立儲能元件的個(gè)數(shù)）。,（二）微分方程的算子表示法,（參考P782.10節(jié)）,微分算子,積分算子,稱為系統(tǒng)的傳輸算子,傳輸算子是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的另一種形式。,例：,1. 算子符號的運(yùn)算規(guī)則,（1） 算子多項(xiàng)式可進(jìn)行因式分解或由因式相乘展開。,例：,（2） 等式兩端的公共因子不能隨意消去。,例：,不等價(jià)于,（3）,2. 借助算子符號建立微分方程,廣義阻抗,多余的公共因子可消去,總結(jié)： （1）引入算子符號后，RLC 電路可借助純電阻電路的分析方法； （2）是否可消去公共因子的原則：微分

3、方程的階數(shù)應(yīng)等于電路 階數(shù)（獨(dú)立儲能元件的個(gè)數(shù)）。,（1）求齊次解,特征方程, 齊次解,（2）求特解,根據(jù) ，設(shè),2.3 用時(shí)域經(jīng)典法求解微分方程,完全解,（3）由初始條件確定待定系數(shù), 微分方程的齊次解稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)，它由系統(tǒng)本身的特性 決定； 特征方程的根稱為系統(tǒng)的固有頻率，它決定了系統(tǒng)自由響應(yīng)的 全部形式；, 特解稱為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)，它只與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。, 系統(tǒng)的完全響應(yīng) =自由響應(yīng) +強(qiáng)迫響應(yīng) ；,1、齊次解：由特征方程求出特征根寫出齊次解的形式。,經(jīng)典法求解微分方程步驟：,齊次解,3、全 解=齊次解+特解，由初始條件定出齊次解系數(shù)。,2、特 解：根據(jù)激勵(lì)函數(shù)式形式，設(shè)含待定

4、系數(shù)的特解函數(shù) 式代入原方程，比較系數(shù)定出特解。,P51 例2-5：,2.4 起始點(diǎn)的跳變從 0- 到 0+ 狀態(tài)的轉(zhuǎn)換,系統(tǒng)狀態(tài),階系統(tǒng) ，,在 時(shí)刻的狀態(tài),若 從 時(shí)刻開始作用，,則系統(tǒng)狀態(tài)可能會發(fā)生躍變。,0- 狀態(tài)：,0+ 狀態(tài)：,確定 的待定系數(shù)，需要用,0+ 狀態(tài)。,（一） 實(shí)際電路,條件：沒有沖激電流（或階躍電壓）強(qiáng)迫作用于C； 沒有沖激電壓（或階躍電流）強(qiáng)迫作用于L。,例：如右圖所示電路，t0開關(guān)S處于1的位置且電路已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)；當(dāng)t=0轉(zhuǎn)向2。建立i(t)的微分方程，并求i(t)在 時(shí)的變化。,解：（1）列寫微分方程,（2）求系統(tǒng)的完全響應(yīng),齊次解：,特征方程,特征根,齊次解

5、,設(shè) ，將其代入微分方程，得,系統(tǒng)的全響應(yīng)為：,特解：,換路后,換路前,（3）確定換路后的,全響應(yīng),（4）確定系統(tǒng)t0+的全響應(yīng),（二） 用微分方程描述的系統(tǒng)奇異函數(shù)平衡法,包含 項(xiàng),P54例2-6：,P84習(xí)題2-6：,，求 。,、,、,解：將 代入方程右端，得,包含 項(xiàng),當(dāng)系統(tǒng)用微分方程描述時(shí)，系統(tǒng)的 0- 到 0+ 狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端有無沖激函數(shù) 及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。,2.5 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng),LTI系統(tǒng)響應(yīng)的另一種分解形式,滿足：,（一）零輸入響應(yīng)的求解,（a）,（b）,系數(shù) Ak 可直接由 來確定。,沒有外加激勵(lì)信號的作用，僅由起始狀態(tài) （起始時(shí)刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響

6、應(yīng)。,系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，僅由外加激勵(lì)信號 所產(chǎn)生的響應(yīng)。,特征方程,特征根,零輸入響應(yīng),將起始狀態(tài)代入，得,零輸入響應(yīng)為,解：,P84習(xí)題2-6：,，求 。,、,、,（二）零狀態(tài)響應(yīng)的求解,滿足：,（a）,（b）,解：,設(shè) ，將其代入微分方程，得,（1）,（2）,將 代入方程右端，得,包含 項(xiàng),（3）確定,自由響應(yīng),瞬態(tài)響應(yīng),強(qiáng)迫響應(yīng),全響應(yīng),穩(wěn)態(tài)響應(yīng),（三）零狀態(tài)響應(yīng)的卷積法求解,作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng),線性,線性,時(shí)不變性,激勵(lì) 分解為沖激函數(shù)之和,記為,LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 分解為沖激響應(yīng)之和,（四）對系統(tǒng)線性的進(jìn)一步討論,常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)的線性包含以下三層含義：,（

7、a）響應(yīng)的可分解性 完全響應(yīng) =零輸入響應(yīng) +零狀態(tài)響應(yīng),（b）零輸入線性 當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 對于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系。,（c）零狀態(tài)線性 當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 對于各激勵(lì)信號呈線性關(guān)系。,2.6 單位沖激響應(yīng) 的求解,單位沖激響應(yīng)：單位沖激信號 作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài) 響應(yīng)，以 表示。,和 的關(guān)系：,單位階躍響應(yīng)：單位階躍信號 作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài) 響應(yīng)，以 表示。,當(dāng) 時(shí)， 中無沖激函數(shù)項(xiàng)；,當(dāng) 時(shí)， 中將含有,給定微分方程,（a）,滿足：,（b）,內(nèi)，,當(dāng) 時(shí)， 中將含有 項(xiàng)；,解：,設(shè),則,解：,教材P62例2-9：,特征方程,設(shè),則,LTI系統(tǒng)：,（一）

8、卷積積分的定義,一般地，兩函數(shù)的卷積積分定義為,卷積的基本計(jì)算方法：圖解法。,2.7 卷積,固定函數(shù),滑動函數(shù),（二）卷積的圖解法計(jì)算,（1）先將e(t)和h(t)的自變量t 改成 ，即：,（2）將其中的一個(gè)信號反褶，,（3）時(shí)移：,步驟：,（4）相乘：,（5）對乘積后的圖形積分：,難點(diǎn)：積分上、下限的確定,例1：已知信號e(t)與h(t)如下圖所示，求,解：,t,t-2,（1）當(dāng) 時(shí)，,（2）當(dāng) 時(shí)，,重合區(qū)間,（3）當(dāng),重合區(qū)間,即 時(shí)，,（4）當(dāng) ，即當(dāng) 時(shí),重合區(qū)間,（5）當(dāng) ，即 時(shí)，,若參與卷積的兩個(gè)信號不含有 等奇異函數(shù)，則卷積的結(jié)果必定為一個(gè)連續(xù)函數(shù)；且左邊界等于左邊界之和，右邊界等于右邊界之和。,解：,（1）當(dāng) t 0 時(shí)，,（2）當(dāng) t 0 時(shí)，,需要記憶的幾個(gè)卷積：,（一）卷積代數(shù),（1）交換律,（2）分配律,e(t),2.8 卷積的性質(zhì),分配律用于系統(tǒng)分析：并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。,（3）結(jié)合律,結(jié)合律用于系統(tǒng)分析：串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。,e(t),（2）積分特性,（3）微分、積分特性,條件：,（二）卷積的