1、1,知識(shí)回顧：,1.如圖所示，AB是O的直徑，AC是弦，,O,A,B,C,（1）若B=40 ，則AOC=_,（2）若AOC=70 ，則B=_,2.如圖所示：在ABC中， C=90 ，,（1）AB=10，BC=6，則AC=_,（2）AC=6，BC=2，則AB=_,80,35,8,2,問題 ：你知道趙州橋嗎? 它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？,趙州橋主橋拱的半徑是多少？,3,O,觀察現(xiàn)象：,4,O,觀察現(xiàn)象：,5,O,觀察現(xiàn)象：,6,O,觀察現(xiàn)象：,7,O,觀察現(xiàn)象：,8,O,觀察現(xiàn)象：,9,O,觀察現(xiàn)

2、象：,10,O,觀察現(xiàn)象：,11,O,觀察現(xiàn)象：,12,O,觀察現(xiàn)象：,13,O,觀察現(xiàn)象：,14,O,觀察現(xiàn)象：,15,O,觀察現(xiàn)象：,16,O,觀察現(xiàn)象：,你能得到什么結(jié)論？,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。它有無數(shù)條對(duì)稱軸,17,圓的對(duì)稱性及特性,圓也是中心對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱中心就是圓心.,用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到:,一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度,都能與原來的圖形重合.,這是圓特有的一個(gè)性質(zhì):圓的旋轉(zhuǎn)不變性,18,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂

3、足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和?。繛槭裁?？,A,B,D,C,O,E,19,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和?。繛槭裁?？,A,B,D,C,O,E,20,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂

4、足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和弧？為什么？,A,B,D,C,O,E,21,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和??？為什么？,A,B,D,C,O,E,22,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂

5、足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和弧？為什么？,A,B,D,C,O,E,23,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和?。繛槭裁?？,A,B,D,C,O,E,24,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂

6、足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和弧？為什么？,A,B,D,C,O,E,25,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和?。繛槭裁?？,A,B,D,C,O,E,26,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂

7、足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和弧？為什么？,A,B,D,C,O,E,27,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和??？為什么？,A,B,D,C,O,E,28,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂

8、足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和弧？為什么？,A,B,D,C,O,E,29,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和弧？為什么？,A,B,D,C,O,E,30,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂

9、足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和弧？為什么？,A,B,D,C,O,E,31,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,思考：,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，,使CDAB，垂足為E。,（1）此圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，,它的對(duì)稱軸是什么？,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線,段和??？為什么？,（A）,B,D,C,O,E,A,32,垂直于弦的直徑,1.圓的軸對(duì)稱性：,圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。,（A）,B,D,C,O,E,A,2.垂徑定理：,垂直

10、于弦的直徑平分弦，并且平分弦所,對(duì)的兩條弧。,33,垂徑定理 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分 弦所對(duì)的兩 條弧.,CD弦AB,如圖 CD是O的直徑（ O中，CD經(jīng)過點(diǎn)O）,AM=BM,AM=BM,符號(hào)語言：,34,O,A,B,D,C,O,E,A,B,C,O,D,A,B,C,O,D,A,B,C,應(yīng)用垂徑定理的幾個(gè)基本圖形,請(qǐng)結(jié)合圖形說出符合垂徑定理的條件和結(jié)論。,35,O,探究：,A,B,D,C,E,如圖，若直徑CD平分弦AB交AB于E時(shí)，你認(rèn)為都有哪些結(jié)論成立？,A,B,D,C,O,E,A,B,O,E,C,D,AB是弦，但不能是直徑時(shí)，才有垂直AB，平分AB所對(duì)的兩條弧。,36,O,A,B,C

11、,D,E,推論：,37,垂徑定理及其的推論：,直線CD （1） 過圓心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所對(duì)的劣弧 （5）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 以上五個(gè)中只要符合兩個(gè)條件，就能得到其它三個(gè)結(jié)論。,定理辨析,38,判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？,注意：定理中的兩個(gè)條件（直徑，垂直于弦）缺一不可！,定理辨析,39,1、填空：如圖，在O中 （1）若MNAB，MN為直徑；則 （ ），（ ），（ ）； （2）若ACBC，MN為直徑；AB不是直徑，則 （ ），（ ），（ ）； （3）若MNAB，ACBC，則 （ ），（ ），（ ）； （4）若AMBM，MN為直徑，則 （ ），（ ），（ ）。,練

12、習(xí),40,2、判斷,（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧.( ),（2）弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過圓心.( ),（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分.( ),（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧( ),（5）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（ ）,41,問題 ：你知道趙州橋嗎? 它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？,趙州橋主橋拱的半徑是多少？,D,C,的中點(diǎn)，CD就是拱高。,AB=37.4，CD=7.2 ，AD=18.7，設(shè)OA=OC=R,OD=OC-CD=

13、R-7.2.,在RtAOD中，OA2 = AD2 + OD2,即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R27.9,因此，趙州橋的主橋拱的半徑約為27.9米。,42,例1.如圖所示，已知AB是O的弦，OCAB于C，且AB=8，OC=3，求O的半徑。,O,A,C,B,練習(xí)：1.如圖O的半徑為8，OC 弦AB于C，且OC=6，,求弦長AB。,2.如圖O的半徑為6，弦AB=8，求圓心O到AB的距離。,O,A,C,B,O,A,C,B,43,例2：如圖，已知在圓O中，弦AB的長為8， 圓心O到AB的距離為3 ，求圓O的半徑。,變式1:在半徑為5 的圓O中，有長8 的 弦AB，求點(diǎn)O與AB的距

14、離。,2：在半徑為5 的圓O中，圓心O到弦AB的距離為3 ，求AB的長。,44,例3 已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)，AC與BD相等嗎？為什么？,P,注意：解決有關(guān)弦的問題，過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也是一種常用輔助線的添法,45,如圖,M為O內(nèi)的一點(diǎn),利用尺規(guī)作一條弦AB,使AB過點(diǎn)M.并且AM=BM.,A,B,例4,變式如圖，過O內(nèi)一點(diǎn)P，作O的弦AB，使它以點(diǎn)P為中點(diǎn)。,46,例5某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道如圖所示，污水水面寬度為60cm，水面至管道頂部距離為10cm，問修理人員應(yīng)準(zhǔn)備半徑多大的管道？,O,

15、47,解：過點(diǎn)作， 并延長交于，連接,垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu) 造直角三角形，把圓的問題化歸 為直線形問題解決。,O,48,思考: 在例2中,我們已計(jì)算出的半徑cm,如果水面寬度由60cm變?yōu)?0cm,那么污水面下降了多少cm?,O,兩弦在圓心同旁,兩弦在圓心兩旁,cm； cm,作垂徑，連半徑，構(gòu)造 直角三角形,注意圓的對(duì)稱性,49,拓展,1.如圖，AB,CD是O的兩條平行弦，AC與BD相等嗎？為什么？,2.在半徑為5cm的 O中，弦ABCD,且AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之間的距離,3.如圖，C=90，C與AB交于點(diǎn)D，AC=5,CB=12,求AD的長,50,四、圓的問題可以

16、化歸為直線型問題解決。這是 一種研究數(shù)學(xué)的重要思想,二、垂徑定理：,一、圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是,垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧,三、垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造 直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半 徑、圓心到弦的距離等問題,任意一 條過圓心的直線（或直徑所在直線）,小結(jié),51,練習(xí)1.如圖，O的直徑是10，弦 AB的長為8，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 則OP的求值范圍是 。,使線段OP的長度為整數(shù)值的P點(diǎn) 位置有 個(gè)。,p1,p2,C,注意圓的軸對(duì)稱性,3OP5,5,52,2以矩形ABCD的邊為直徑 的交于E、F，DE=1cm, EF=3cm,則AB=_,53,3.如上圖，O的直徑是10， 線段OP的長為3，則過點(diǎn)P 的所有弦中，最大弦長為 ， 最短弦長為 ，弦長為整數(shù) 的有 條？,連半徑，構(gòu)造 直角三角形,54,4.CD為O的直徑,弦ABCD于點(diǎn)E,CE=1,AB=10,求CD的長.,C,D,55,5.如圖，OA=OB，AB交O與點(diǎn)C、D，AC與BD是否相等？為什么？,56,6.在直徑為650mm的圓柱形油罐內(nèi)裝進(jìn)一些油后，其橫截面如圖，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度。,57,2.如圖，圓O的弦AB8 ， DC2，直徑CEAB于D， 求半徑OC的長。