1、第八節(jié) 多元函數(shù)的極值,一、問題的提出,二、多元函數(shù)的極值和最值,三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法,實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價1元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的每瓶賣 元，則每天可賣出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益為,求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.,一、問題的提出,二、多元函數(shù)的極值和最值 1、二元函數(shù)極值的定義,極值點必須是函數(shù)定義域的內(nèi)點.,(1),例1,例,例,(2),(3),2、多元函數(shù)取得極值的條件,證,仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均

2、稱為函數(shù)的駐點.,注意：有偏導數(shù)的函數(shù)極值點必為駐點；,但駐點未必是極值點.,極值可疑點：駐點或一階偏導數(shù)不存在的點.,問題：如何判定一個駐點是否為極值點？,極值點也可能是一階偏導不存在的點.,定理2（充分條件）,3、多元函數(shù)的最值,與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.,設(shè)函數(shù) z = f (x , y) 在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , 則函數(shù)在 D 上必有最大值和最小值 .,z = f (x , y) 的最值既可在 D 的內(nèi)點處取得 , 也可在 D 的邊界點處取得 .,設(shè)函數(shù) z = f (x , y) 在閉區(qū)域 D 上連續(xù)、可微 , 且只有有限個極值點 , 若最值在

3、 D 內(nèi)取得 , 則最值點必是極值點 .,求出函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點、不可求偏導的點處的函數(shù)值和在 D 的邊界上的最大值和最小值相互比較，這些值中最大者即為最大值，最小者即為最小值.,求最值的一般方法：,解,如圖,先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點,求實際問題中，由問題的實際意義可知函數(shù) f (x , y) 有最值，且在 D 內(nèi)只有唯一的駐點，則該駐點的函數(shù)值就是所求的最大值或最小值.,三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法,無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.,實例： 小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買 張磁盤， 盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數(shù)為 設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達到最佳效果,問題的實質(zhì)：求 在條件 下的極值點,條件極值：對自變量有附加條件的極值,拉格朗日乘數(shù)法,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個或約束 條件有多個的情況：,解,則,解,可得,即,可得,即,課后練習：,多元函數(shù)的極值,條件極值與拉格朗日乘