1、函數(shù)定義域與思維品質(zhì) 思維品質(zhì)是指個體思維活動特殊性的外部表現(xiàn)。它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì)。函數(shù)作為高中數(shù)學的主線，貫穿于整個高中數(shù)學的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域(或變量的允許值范圍)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。在解函數(shù)題中強調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學生的數(shù)學思維品質(zhì)是十分有益的。函數(shù)關(guān)系式與定義域函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯誤。如：例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可

2、筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？ 解：設矩形的長為x米，則寬為(50x)米，由題意得： 故函數(shù)關(guān)系式為：如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量取負數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負數(shù)，即矩形的面積為負數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍： 即：函數(shù)關(guān)系式為： （）這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現(xiàn)出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴密性。函數(shù)最值與定義域函數(shù)

3、的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：例2：求函數(shù)在2，5上的最值 解： 當時，初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學生思維缺乏靈活性。其實以上結(jié)論只是對二次函數(shù)在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間上，它的最值應分如下情況： 當時，在上單調(diào)遞增函數(shù)； 當時，在上單調(diào)遞減函數(shù)； 當時，在上最值情況是： ， 即最大值是中最大的一個值。故本題還要繼續(xù)做下去： 函數(shù)在2，5上的最小值是 4，最大值是12 這個例子說明，在

4、函數(shù)定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學生思維的靈活性。函數(shù)值域與定義域函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當定義域和對應法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，應注意函數(shù)定義域。如：例3：求函數(shù)的值域 錯解：令 故所求的函數(shù)值域是 剖析：經(jīng)換元后，應有，而函數(shù)在0,+)上是增函數(shù)， 所以當t=0時，ymin=1 故所求的函數(shù)值域是1, +）以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和

5、改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。函數(shù)單調(diào)性與定義域函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。如：例4：指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解：先求定義域： 函數(shù)定義域為 令，知在上時，u為減函數(shù)， 在上時， u為增函數(shù)。 又 函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間是。如果在做題時，沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學生對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解，在做練習或作業(yè)時，只是對題型，套公式，而不去領(lǐng)會解題方法的實質(zhì)，也說明學生的思維缺乏深刻性。五

6、、函數(shù)奇偶性與定義域判斷函數(shù)的奇偶性，應先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：例5：判斷函數(shù)的奇偶性 解： 定義域區(qū)間1,3關(guān)于坐標原點不對稱 函數(shù)是非奇非偶函數(shù) 若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學生解題思維的敏捷性 如果學生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯誤結(jié)論： 函數(shù)是奇函數(shù)錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯誤的原因。綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值(值域)、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細