1、幾何綜合問題,綜合題復(fù)習的思考,1,PPT學習交流,大家一直都在研究綜合題。 觀察一般研究的角度，或者觀察研究的對象基本都是針對題目的外在形式研究的，或者利用以往的考題，例如什么幾何變換型的題目等等。 其實既然稱之為綜合題，那么只從外在的形式研究顯然是不全面的，或者說是只關(guān)注結(jié)果的研究方法，難免會出現(xiàn)猜題的嫌疑。,2,PPT學習交流,如果只從外在的形式研究不全面，那么實際上就相當于告訴我們研究的角度應(yīng)該調(diào)整到，從內(nèi)的聯(lián)系和關(guān)系上研究。這就需要考驗教師的認識了。 因此就需要我們進一步研究綜合題本身的類型和外在形式上可能的狀態(tài)和形式。換句話說，需要我們建立一種新的界定綜合題的標準和新的認識。只有這

2、樣才可能使我們的復(fù)習變被動為主動。,3,PPT學習交流,綜合問題的分類： 如果按照我們以前對綜合題的界定，實際上綜合題與現(xiàn)在說的綜合題有很大的差異。 一般講我們以前說的幾何綜合題，是指那種利用幾何圖形，實現(xiàn)利用代數(shù)知識進行數(shù)量計算的問題。其中題目的外在形式是以幾何圖形或者關(guān)系形成的問題。,4,PPT學習交流,綜合題（幾何本身的應(yīng)用） 我們界定綜合題的一般標準： 涉及知識點多； 涉及的數(shù)學思想多； 涉及數(shù)學方法多； 題目解題距長； 涉及到的知識背景新； 設(shè)計的題目形式新。,5,PPT學習交流,由于北京市的新課標實施后中考命題的設(shè)計中出現(xiàn)了新的所謂的綜合題，因此，幾何綜合題已經(jīng)不是原來的意義了。

3、現(xiàn)在在中考題目設(shè)計中出現(xiàn)的純幾何知識應(yīng)用，設(shè)計的題面比較新、且有一定難度、題型比較新穎、解題方法也比較新的題目稱之為綜合題了。 我們這樣的認識它，實際上是從題目的功能上認識的。因為一般講這樣的題目起的作用是區(qū)分學生水平，即體現(xiàn)選拔作用的功能。,6,PPT學習交流,就目前所考的題目的角度研究，它存在于兩種形式之中，即 其一，以一種幾何現(xiàn)象為出發(fā)點，發(fā)現(xiàn)其中可能存在的規(guī)律，驗證一般或者特殊化的情況。這類題目需要根據(jù)題意，理解一般或特殊化，尋求方法證明結(jié)論成立。 另一類，是以一種幾何圖形滿足一定條件或者特定條件下運動，研究驗證運動后圖形具有的結(jié)論。,7,PPT學習交流,這兩類題目的解題特征： 第一類

4、是先分析，后移動； 第二類是先運動，后分析。 這兩類題目的圖形構(gòu)成特征： 我們知道一個幾何問題的構(gòu)成至少由兩個以上的圖形根據(jù)圖形的邊，角關(guān)系，依據(jù)不同的位置而形成的。那么中考中的兩類題目的圖形呈現(xiàn)的現(xiàn)象是相反的。,8,PPT學習交流,第一類題目： 它是把兩個以上的圖形經(jīng)過運動后形成的圖形關(guān)系中，把一些干擾圖形結(jié)論的線或者角隱藏起來形成的簡化的圖形，我們要做的是把那些隱藏的圖形顯現(xiàn)出來，找到需要的條件，即分析，再動起來。 第二類題目： 它是在兩個圖形中，先把其中一個圖形的運動顯現(xiàn)出來，這時就出現(xiàn)了一些干擾關(guān)系的圖形條件，需要我們把那些干擾因素找出來，確定可用的條件，即分析。,9,PPT學習交流,

5、通過這樣的研究和分析，我們就回到了問題的起點，即這兩類題目共同存在的現(xiàn)象就是必須存在兩個以上的圖形，并且這兩個圖形之間存在著數(shù)量，或者位置上的關(guān)系，那么都有哪些圖形可以形成這樣的圖形關(guān)系，就是我們研究綜合題的出發(fā)點和起點。 我們就這個問題談點看法和想法。,10,PPT學習交流,我們要研究兩個圖形之間的關(guān)系，那么就要解決兩個什么樣的圖形可以結(jié)合的問題。從綜合題的構(gòu)成角度思考，一般講，兩個或者兩個以上的圖形之間應(yīng)該存在著內(nèi)在的關(guān)系，實際上綜合題的解決首先就應(yīng)該依賴于對這個問題的認識與理解。 根據(jù)需要我們做這種分類： 一、同類圖形問題； 二、不同類圖形問題。,11,PPT學習交流,同類圖形問題 我們

6、這里所說的同類圖形就是指那些封閉的圖形。例如三角形、特殊四邊形等。 由于在題目的構(gòu)成上存在著：先分析，再移動以及先運動、再分析的兩種情況，因此，我們在研究時，就按這兩種情況分別研究。 為了說明問題，我們結(jié)合以往的考題說明就更明確了。,12,PPT學習交流,如圖2，當ABC中只有ACB = 60 時，請你證明 與 的和等于 與 的和.,圖2,13,PPT學習交流,本題 就是同類型圖形結(jié)合形成的綜合題。從中我們可以體會到這一類題目的特征。 再例如，如圖1，在菱形和菱形中，點A、 B 、 E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連結(jié)PG、PC若 ， 探究PG與PC的位置關(guān)系及的 值,14,PPT學習交

7、流,15,PPT學習交流,小聰同學的思路是：延長GP交CD于H點，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決 （1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及的PG與PC的比值； （2）將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明 （3）若圖1中 ，將菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的PG與PC 的比值（用含 的式子表示）,16,PPT學習交流,這個題目也是北京市的中考試題，從題目的構(gòu)成上看，它也屬于同

8、類圖形的綜合問題，只不過它是菱形的應(yīng)用問題。 在這個問題中實際上提出一個很有點研究價值的問題，即當圖形關(guān)系已經(jīng)滿足例如旋轉(zhuǎn)等條件時，應(yīng)該判斷出是旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用就可以解決問題了，但是在這個問題中不能這樣實現(xiàn)求解的目的，是什么因素造成的？是不是具有規(guī)律性問題？就是我們必須研究清楚的。,17,PPT學習交流,我們知道當兩個圖形按照我們的設(shè)計，進行相應(yīng)的變換后，就具備了圖形移動后存在全等三角形的條件。 但是當在這兩個圖形中存在著新的圖形關(guān)系時，就會出現(xiàn)本題的現(xiàn)象，即不能直接應(yīng)用旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論。因此就出現(xiàn)了需要判斷是否還原旋轉(zhuǎn)關(guān)系的問題，就該點而言，是這道題目的價值所在。,18,PPT學習交流,這個問題實際

9、上以前講過： 已知正方形ABCD和正方形CEFG共頂點于C，M是BG的中點 求證：CMDE,從研究綜合題的角度講，這個問題有必要給學生講解清楚為什么如此。,19,PPT學習交流,前面的中考題就是這個問題的變形應(yīng)用。由于中點破壞了旋轉(zhuǎn)的條件，那么就需要利用由中點而形成的中心對稱的關(guān)系，先研究可能的結(jié)論，再把問題轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)的問題。,20,PPT學習交流,在ABC中，AB=AC，BAC=（0 60 ），將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到線段BD。 （1）如圖1，直接寫出ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?； （2）如圖2，BCE=150，ABE=60，判斷ABE的形狀并加以證明； （3）在（2）的條件下，

10、連結(jié)DE，若DEC=45，求的值。,21,PPT學習交流,22,PPT學習交流,本題就是北京市設(shè)計的同類圖形綜合題的第二種情況的題目。 即本題的題干設(shè)計的就是先運動的問題，圖形運動到一個位置后，可以形成什么關(guān)系需要分析；再運動，就形成新的關(guān)系，最后在滿足特定的條件下求角的數(shù)量。 在這個過程中，需要學生自己構(gòu)成新的圖形，并且分析新圖形必須滿足的條件，其后再證明或者求解數(shù)量。對于這樣的問題而言需要學生具有對圖形的變化方向以及結(jié)果預(yù)判的能力。,23,PPT學習交流,不是同類圖形問題 在幾何命題的構(gòu)成上，如果不是同類圖形而形成的，這些應(yīng)該是基本問題，但是由于相比同類圖形的問題，就顯得難度大些。 從圖形

11、關(guān)系的角度說，不是同類的情況是一般情況，因此應(yīng)屬于基本問題。只是我們平時研究的少，使這個問題顯得難了些。,24,PPT學習交流,不同類圖形組合在一起，對一般模式化的東西是一種沖擊，因為它的規(guī)律性隱藏的比較好，所以需要我們認真的對待這類問題。 從往屆中考題考察，就會發(fā)現(xiàn)，凡是當年考察了這個問題，那么這年的題目就顯得難，考試的結(jié)果就不是很好，但是考察的數(shù)據(jù)卻很好，說明它的功能性好。,25,PPT學習交流,已知ABC中，BAC=2ACB，點D是ABC內(nèi)的一點，且AD=CD，BD=BA 探究DBC與ABC度數(shù)的比值,26,PPT學習交流,這個題目就是典型的不同類圖形的組合問題，對這樣的問題而言，我們持

12、有的分析方法似乎不能解決它。 這其中就是今天主要想表達的一些想法的延伸。 我們談同類和不同類的圖形問題，實際上想表達的是，幾何問題的形成就是因為圖形之間的內(nèi)在的聯(lián)系才形成的，那么原始的圖形可形成的關(guān)系就是問題產(chǎn)生的根本原因。,27,PPT學習交流,再例如在ABC中，BA=BC，BAC=，M是的中點，P是線段PA上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2 得到線段PQ。 （1） 若=60且點P與點M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出的CDB度數(shù)； （2） 在圖2中，點P不與點B、M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想CDB的大小（用含的代數(shù)式表示），并加以

13、證明； （3） 對于適當大小的 ，當點P在線段BM上運動到某一位置（不與點B，M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=QD，請直接寫出的范圍。,28,PPT學習交流,29,PPT學習交流,這也是不同類圖形的組合問題，區(qū)別在于它是先運動后分析的問題。換句話說，它只告訴你運動狀態(tài)的結(jié)果，那么運動后可能產(chǎn)生什么，就需要分析運動是什么運動，這個運動可能會形成什么問題等。 由于同學本身就不習慣從兩個圖形的角度認識我們，再加上是先運動后分析的情況，因此，本身就形成了難度。除此之外，還因為此問題中實質(zhì)上是四點共圓的問題，超出課標要求，那就更難了。,30,PPT學習交流,綜合上面的研究，

14、我們可以對問題有一個基本的描述了： 根據(jù)綜合題的構(gòu)成的基本情況，可以總結(jié)出問題的實質(zhì)就是需要很好的研究兩個或兩個以上的圖形組合問題，把握幾何綜合題形成的基本規(guī)律。在前面我們提到過一個問題，即最終呈現(xiàn)的是一個題目的相應(yīng)的圖形，也就是一個圖形，為了研究的需要我們可能在一些問題上呈現(xiàn)圖形變化的過程。,31,PPT學習交流,已知點P是正方形ABCD外一點，連結(jié)PA、PD，且滿足BPD=90，連結(jié)PA、PC。 問PA+PC與PB的關(guān)系是什么？,32,PPT學習交流,我們說研究兩個圖形的組合問題，那么就需要從一個最原始的圖形出發(fā)研究。為了說明問題，我們就從最特殊的圖形看問題。例如正方形。 假定我們在正方形

15、中放置一條線段BP。,33,PPT學習交流,這個時候，我們可以這樣的理解問題，即第二個圖形還不確定。 那么可能出現(xiàn)的情況是兩種，其一是同類的圖形，其二是不同類圖形。還需要滿足什么條件才是同類圖形呢？ 本題中給出了一個直角，那么這個直角還隱含什么呢，由于直角頂點到中心的距離是等于對角線的一半的，實際上就相當于告訴我們它存在著與第一個圖形相同的性質(zhì)，所以就是同類圖形問題。,34,PPT學習交流,當然這種認識不是唯一的，我們還可以從對所研究的對象的角度研究，結(jié)果也是一樣的。 我們曾經(jīng)說過，直線形的問題分析問題的方法是：執(zhí)果索因。 因為需要研究的是三條線段之間的關(guān)系，此時需要我們把他們放在可以確立關(guān)系

16、的圖形中才可能實現(xiàn)，那么就需要移動兩條線段的位置與第三條線段形成新的關(guān)系。 此外，本題中隱含著BPA=BPC=DPC=45，還可以從這個角度研究問題。,35,PPT學習交流,因此本題可以確定的是：它是同類圖形的組合問題。我們把正方形和等腰直角三角形看做是同一個圖形。,36,PPT學習交流,再例如， ABC中，AB=AC，BAC=100，D是AB延長線上一點，且AD=BC，確定D的度數(shù),37,PPT學習交流,從圖形上觀察，它不具備兩個同類圖形的綜合問題的條件。 這時就需要進行必要的分析，本題在原有一個等腰三角形的基礎(chǔ)上增加了一條相等的線段，這個條件實際上相當于告訴我們，存在著一個隱含的條件，即B

17、C=AB+BD、這種情況說明，可能存在著另一個等腰三角形。換句話說，就是利用給出的線段相等的條件隱含另一個等腰三角形。,38,PPT學習交流,由已知條件中含有頂角的度數(shù)，且又是等腰三角形，因此就可確定底角的度數(shù)，而本題需要確定角的度數(shù)，那么所求的度數(shù)應(yīng)該與本題提供的角度有關(guān)。一般講所求的角都是特殊的角。 根據(jù)這兩點我們可以猜測到：可能是一個三十度的角，當這種假設(shè)成立的時候，我們就發(fā)現(xiàn)，實際上這個題目中隱含著第二個等腰三角形，而這個三角形的底角是三十度。,39,PPT學習交流,40,PPT學習交流,再例如，四邊形ABCD中，ABC與DCB都是銳角，若AB=CD，確定AD與BC 的關(guān)系,41,PP

18、T學習交流,這個問題實際上以往的中考題考過，即是等對邊四邊形問題。今天我們重提這個話題，就是想說明，考題的出發(fā)點就是兩個圖形的組合問題，那么怎么理解呢？ 四邊形的特征是沒有關(guān)于邊的性質(zhì)，一般講四邊形也不具備邊相等的條件那么當存在這樣一個條件時，只能說明它是由兩個圖形組合后去掉連接線而形成的幾何問題。我們只需要根據(jù)題目條件還原那些連接的線就可以了。,42,PPT學習交流,我們說到四邊形不具備邊相等的條件，當具備這個條件時，可以考慮邊相等是怎么形成的。以我們涉及到的題目為例研究，就不難發(fā)現(xiàn)形成的原因。 因為圖形中給出的條件不能直接使用，那么就需要移動其中一條邊的位置，即把AB或者CD移動位置，為了

19、使用的方便，顯然需要移動到與另一個線段共頂點的位置，形成等腰三角形。,43,PPT學習交流,44,PPT學習交流,從本題的結(jié)果看，它是一道典型的兩個不同類圖形的組合問題，不同類的圖形組合還有其他的情況，再舉一例： 在ABC中，ABAC，且 求證：DB=CE,45,PPT學習交流,本題從最后的求證的結(jié)論看，其實就是等對邊四邊形問題，只是它是需要證明的結(jié)論. 從中我們還可以得到等對邊相等的四邊形還可以這樣形成。 題目的條件中，只給出了兩個角等，相當于給出了新的三角形是等腰三角形，由于沒有標注字母，因此一般意義上是不能直接應(yīng)用的條件。,46,PPT學習交流,根據(jù)我們前面提及的方法，即想辦法把相等的線

20、段湊到一起就可以形成等腰三角形了，利用平移的方法顯然不可取。 這時就出現(xiàn)了一種很特殊的位置關(guān)系，即一個等腰三角形與另一個等腰三角形的組合時，如果是底邊和腰的組合，那么怎么辦，這時唯一可用的方法，就是這兩等腰三角形具有的共性性質(zhì)就是解題的鑰匙，即軸對稱性。,47,PPT學習交流,48,PPT學習交流,在不同類的兩個圖形的問題上，當兩個都是特殊圖形時，就存在著類似的現(xiàn)象，需要我們研究。,49,PPT學習交流,研究的延伸 在我們以往研究中研究過一些具有特殊條件或者特殊規(guī)律的問題，那么在研究綜合問題時，這些問題是否還有用武之地呢？ 例如，正方形ABCD中，E、F是BC、CD上的點，且EAF=45，AE

21、、AF交BD于M、N 會形成：EF與BE、DF以及MN與MB、DN的關(guān)系的研究,50,PPT學習交流,當MAN=45移動位置，即當這個角的一部分移動到正方形的外部時，MN與DN、MB還存在關(guān)系嗎,51,PPT學習交流,52,PPT學習交流,有這樣一個問題： 已知ABC中，C=60，ACBC，BC上一點D，使BD=AC，延長AC至E，使AC=CE 求證：DE=AB,53,PPT學習交流,我們給這個命題的目的，其一它是涉及到兩個三角形的組合問題；其二它對于我們研究綜合命題的分析很重要，體現(xiàn)了正確的分析方法的重要性。 在這個問題中具有很多的提示性，對我們來講，怎么引導(dǎo)學生也能讀懂這種提示性，才是硬道理。 首先告訴我們一個角度，其次告訴我們AC+CD=BC，相當于告訴我們可能存在著兩