1、第六章 MATLAB數(shù)值計算,數(shù)據(jù)處理與多項式計算 數(shù)值微積分 線性方程組求解 非線性方程與最優(yōu)化問題求解 常微分方程的數(shù)值求解 稀疏矩陣,6.1 數(shù)據(jù)處理與多項式計算,6.1.1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析,(1) 最大值和最小值-向量 y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。 y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序號存入I，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。 求向量X的最小值的函數(shù)是min(X)，用法和max(X)完全相同。,1、 求最大值與最小值,例求向量x的最大值。 x=-43,72,9,16,23,47; y=max(x) %求向

2、量x中的最大值 y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其該元素的位置,max(A)：返回一個行向量，向量的第i個元素是矩陣A的第i列上的最大值。 Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號。 max(A,dim)：dim取1或2。dim取1時，該函數(shù)和max(A)完全相同；dim取2時，該函數(shù)返回一個列向量，其第i個元素是A矩陣的第i行上的最大值。 求最小值的函數(shù)是min，其用法和max完全相同。,(2) 最大值和最小值-矩陣,max(A(:),或者max(max(A)：求整個矩陣的最大元素； min(A(:),或者min(min(A)

3、：求整個矩陣的最小元素；,例： A=13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1 max(A,2) %求每行最大元素 min(A,2) %求每行最小元素 max(A) %求每列最大元素 min(A) %求每列最小元素 max(max(A) %求整個矩陣的最大元素 min(min(A) %求整個矩陣的最小元素,函數(shù)max和min還能對兩個同型的向量或矩陣進行比較，調(diào)用格式為： U=max(A,B)：A,B是兩個同型的向量或矩陣，結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A,B對應(yīng)元素的較大者。 U=max(A,n)：n是一個標量，結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣

4、，U的每個元素等于A對應(yīng)元素和n中的較大者。 min函數(shù)的用法和max完全相同。,(3) 最大值和最小值-兩個向量或矩陣對應(yīng)元素的比較,例： x=4,5,6;1,4,8 y=1,7,5;4,5,7 p=max(x,y) f=4.5 P=max(x,f),p = 4 7 6 4 5 8 P = 4.5000 5.0000 6.0000 4.5000 4.5000 8.0000,X是一個向量； mean(X)：返回向量X的算術(shù)平均值； median(X)：返回向量X的中值； 當數(shù)據(jù)序列為奇數(shù)個時，是位于序列中間的值； 當數(shù)據(jù)序列為偶數(shù)個時，是中間兩個數(shù)的均值；,2、 求平均值和中值,（1）求平均值

5、和中值向量,mean(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的算術(shù)平均值。 median(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的中值。,(2) 求平均值和中值矩陣,mean(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同于mean(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的算術(shù)平均值。 median(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同median(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的中值。,(3) 求平均值和中值矩陣,例：求向量y的平均值和中值 y=9 -2 5 6 7 12; mean(y) median(y),設(shè)X是一個向

6、量，A是一個矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為： sum(X)：返回向量X各元素的和。 prod(X)：返回向量X各元素的乘積。 sum(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素和。 prod(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素乘積。,3、矩陣元素求和與求積,sum(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同于sum(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素之和。 prod(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同于prod(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素乘積。,設(shè)X是一個向量 向量X累加和向量： 向量X累乘

7、積向量：,4、 矩陣元素累加和與累乘積,設(shè)X是一個向量，A是一個矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為： cumsum(X)：返回向量X累加和向量。 cumprod(X)：返回向量X累乘積向量。 cumsum(A)：返回一個矩陣，其第i列是A的第i列的累加和向量。 cumprod(A)：返回一個矩陣，其第i列是A的第i列的累乘積向量。 cumsum(A,dim) ，cumprod(A,dim),程序如下： A=1 2 3;4 5 6 cumsum(A) cumprod(A),結(jié)果如下： A = 1 2 3 4 5 6 ans = 1 2 3 5 7 9 ans = 1 2 3 4 10 18,對于向量X，st

8、d(X)返回一個標準方差。對于矩陣A，std(A)返回一個行向量，它的各個元素便是矩陣A各列或各行的標準方差。,5、 標準方差,std函數(shù)的一般調(diào)用格式為：Y=std(A,flag,dim) 其中dim取1或2。當dim=1時，求各列元素的標準方差；當dim=2時，則求各行元素的標準方差。 flag取0或1，當flag=0時，按S1所列公式計算標準方差，當flag=1時，按S2所列公式計算標準方差。 缺省flag=0，dim=1。, x=4 5 6;1 4 8 x = 4 5 6 1 4 8 y1=std(x,0,1) y1 = 2.1213 0.7071 1.4142 y2=std(x,1,

9、1) y2 = 1.5000 0.5000 1.0000, y3=std(x,0,2) y3 = 1.0000 3.5119 y4=std(x,1,2) y4 = 0.8165 2.8674,例 對二維矩陣x，從不同維方向求出其標準方差。,corrcoef(X)：返回從矩陣X形成的一個相關(guān)系數(shù)矩陣。它把矩陣X的每列作為一個變量，然后求它們的相關(guān)系數(shù)。 corrcoef(X,Y)：在這里，X,Y是向量，它們與corrcoef(X,Y)的作用一樣。,6、 相關(guān)系數(shù),例：生成滿足正態(tài)分布的10000*5的隨機矩陣，然后求各列元素的均值和標準方差，再求這5列隨機數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。 X=randn(1

10、0000,5); M=mean(X) D=std(X) R=corrcoef(X),M = 0.0011 0.0066 0.0009 0.0264 0.0101 D = 1.0011 1.0036 1.0049 1.0058 1.0061 R = 1.0000 0.0119 0.0051 -0.0114 -0.0011 0.0119 1.0000 0.0093 -0.0012 0.0071 0.0051 0.0093 1.0000 0.0048 0.0095 -0.0114 -0.0012 0.0048 1.0000 -0.0017 -0.0011 0.0071 0.0095 -0.0017

11、1.0000,排序函數(shù)sort(A)返回一個對X中的元素按升序排列的新向量。 Y,I=sort(A,dim,mode) 其中dim指明對A的列還是行進行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排； mode指明升序還是降序，若取ascend則按升序，若取descend，則按降序； Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。,7、 元素排序,例：對矩陣排序 A=1 -8 5;4 12 6;13 7 -13 sort(A) sort(A,2,descend) X,I=sort(A),ans = 1 -8 -13 4 7 5 13 12 6 ans = 5 1 -8 12 6 4 1

12、3 7 -13,X = 1 -8 -13 4 7 5 13 12 6 I = 1 1 3 2 3 1 3 2 2,6.1.2 數(shù)據(jù)插值,在工程測量和科學實驗中，所得數(shù)據(jù)通常都是離散的，如果要得到這些離散點以外的其它數(shù)值，就需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)進行插值。 插值的定義是對某些集合給定的數(shù)據(jù)點之間函數(shù)的估值方法。 插值函數(shù)一般由線性函數(shù)、多項式、樣條函數(shù)或這些函數(shù)的分段函數(shù)充當。 根據(jù)被插值函數(shù)的自變量個數(shù)，插值問題分為一維插值、二維插值和多維插值。,Y1=interp1(X,Y,X1,method) 函數(shù)根據(jù)X,Y的值，計算函數(shù)在X1處的值。X,Y是兩個等長的已知向量，分別描述采樣點和樣本值； X1是

13、一個向量或標量，描述欲插值的點，Y1是一個與X1等長的插值結(jié)果； method是插值方法，允許的取值有l(wèi)inear、nearest、cubic、spline； 注意：X1的取值范圍不能超過X的給定范圍。,1、 一維數(shù)據(jù)插值,linear： 線性插值（默認的方式）。它是把與插值點靠近的兩個數(shù)據(jù)點用直線連接，然后在直線上選取對應(yīng)插值點的數(shù)據(jù)； near：最近點插值。根據(jù)已知插值點與已知數(shù)據(jù)的遠近程度進行插值。插值點優(yōu)先選擇較近的數(shù)據(jù)點進行插值操作。 cubic：3次多項式插值。根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出一個3次多項式，然后根據(jù)該多項式進行插值。 spline：3次樣條插值。在每個分段內(nèi)構(gòu)造一個3次多項式，使

14、其插值函數(shù)除滿足插值條件外，還要求在各點處具有光滑的條件。,例：用不同的插值方法計算f(0.472) x=0.46:0.01:0.49; f=0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683; format long y1=interp1(x,f,0.472) y2=interp1(x,f,0.472,nearest) y3=interp1(x,f,0.472,cubic) y4=interp1(x,f,0.472,spline) format short subplot(2,2,1);plot(x,f,:,0.472,y1,p);title(linear); s

15、ubplot(2,2,2);plot(x,f,:,0.472,y2,p);title(nearest); subplot(2,2,3);plot(x,f,:,0.472,y3,p);title(cubic); subplot(2,2,4);plot(x,f,:,0.472,y4,p);title(spline);,T=0:5:65; X=2:5:57; F=3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,. 6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6; F1=interp1(T,F,X) F2

16、=interp1(T,F,X,nearest) F3=interp1(T,F,X,cubic) F4=interp1(T,F,X,spline) subplot(2,2,1);plot(T,F,X,F1,p);title(linear); subplot(2,2,2);plot(T,F,X,F2,p);title(nearest); subplot(2,2,3);plot(T,F,X,F3,p);title(cubic); subplot(2,2,4);plot(T,F,X,F4,p);title(spline);,例：某檢測參數(shù)隨時間T的采樣結(jié)果如F，用數(shù)據(jù)插值法計算X時刻時F的值,Z1=i

17、nterp2(X,Y,Z,X1,Y1,method) 其中X,Y是兩個向量，分別描述兩個參數(shù)的采樣點，Z是與參數(shù)采樣點對應(yīng)的函數(shù)值， X1,Y1是兩個向量或標量，描述欲插值的點。X1與Y1是相同長度的向量或不同方向的向量，Z1是根據(jù)相應(yīng)的插值方法得到的插值結(jié)果。 method的取值與一維插值函數(shù)相同。X,Y,Z也可以是矩陣形式。 同樣，X1,Y1的取值范圍不能超出X,Y的給定范圍。,2、 二維數(shù)據(jù)插值,x=0:0.1:1;y=0:0.2:2; X,Y=meshgrid(x,y); Z=X.2+Y.2; interp2(x,y,Z,0.5,0.5) interp2(x,y,Z,0.5,0.6,0

18、.4) interp2(x,y,Z,0.5,0.6,0.4,0.5) interp2(x,y,Z,0.5,0.6,0.4,0.5),例：設(shè)z=x2+y2，對z函數(shù)在0,10,2區(qū)域內(nèi)進行插值。,ans = 0.5100 ans = 0.4100 0.5200 ans = 0.4100 0.6200 ans = 0.4100 0.5200 0.5100 0.6200,x=0:2.5:10; h=0:30:60; T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41; xi=0:0.5:10; hi=0:10:60; TI=interp2(x,h,T,xi,hi)

19、mesh(xi,hi,TI);,例：某實驗對一根長10m的鋼軌進行熱源的溫度傳播測試。用x表示測量點距離，用h表示測量時間，用T表示測得的各點溫度。試用三次多項式插值求出一分鐘內(nèi)每隔10s、鋼軌每隔0.5m處的溫度。,6.1.3 曲線擬合,與數(shù)值插值類似，曲線擬合的目的也是用一個較簡單的函數(shù)去逼近一個復(fù)雜的或未知的函數(shù)，所依據(jù)的條件都是在一個區(qū)間或一個區(qū)域上的有限個采樣點的函數(shù)值。 數(shù)據(jù)插值要求逼近函數(shù)在采樣點與被逼近函數(shù)相等； 曲線擬合的最優(yōu)標準是采用常見的最小二乘原理，即構(gòu)造一個m次多項式p(x) 使得上述擬合多項式在各點處的偏差的平方和達到最小。,用polyfit函數(shù)來求得最小二乘擬合多

20、項式的系數(shù)，再用polyval函數(shù)按所得的多項式計算所給出的點上的函數(shù)近似值。 P,S=polyfit(X,Y,m) 函數(shù)根據(jù)采樣點X和采樣點函數(shù)值Y，產(chǎn)生一個m次多項式P及其在采樣點的誤差向量S。 其中X,Y是兩個等長的向量，P是一個長度為m+1的向量，P的元素為多項式系數(shù)。 polyval函數(shù)的功能是按多項式的系數(shù)計算x點多項式的值。,X=linspace(0,2*pi,50); Y=sin(X); P1=polyfit(X,Y,3); P2=polyfit(X,Y,5) ; X=linspace(0,2*pi,20); Y=sin(X); Y1=polyval(P1,X); Y2=pol

21、yval(P2,X); plot(X,Y,b:o,X,Y1,g-*,X,Y2,r-p),例：分別用三次和五次多項式在區(qū)間0,2內(nèi)逼近函數(shù)sinx,6.1.4 多項式計算,Matlab中，n次多項式用一個長度為n+1的行向量表示，缺少的冪次項系數(shù)為0。如果n次多項式表示為： 則P(x)表示為向量形式：,多項式的加減法：就是其對應(yīng)系數(shù)的加減法，如果次數(shù)不同，高次項用0補齊； 多項式乘法：conv(P1,P2) ：P1、P2是兩個多項式系數(shù)向量； 多項式除法：Q,r=deconv(P1,P2) ，其中Q返回多項式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r仍是多項式系數(shù)向量。,1、 多

22、項式的四則運算,例：求兩個多項式的加減乘除的結(jié)果。,f=3,-5,2,-7,5,6;g=3,5,-3;g1=0,0,0,g; f+g1 f-g1 conv(f,g) Q,r=deconv(f,g),p=polyder(P)：求多項式P的導(dǎo)函數(shù) p=polyder(P,Q)：求PQ的導(dǎo)函數(shù) p,q=polyder(P,Q)：求P/Q的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的分子存入p，分母存入q。 上述函數(shù)中，參數(shù)P,Q是多項式的向量表示，結(jié)果p,q也是多項式的向量表示。,2、 多項式的導(dǎo)函數(shù),Y=polyval(P,x) 若x為一數(shù)值，則求多項式在該點的值；若x為向量或矩陣，則對向量或矩陣中的每個元素求其多項式的值。

23、,3、 多項式求值代數(shù)多項式求值,例 已知多項式x4+8x3-10，分別取x=1.2和一個23矩陣為自變量計算該多項式的值。,A=1,8,0,0,-10; x=1.2; y1=polyval(A,x) x=-1,1.2,-1.4;2,-1.8,1.6 y2=polyval(A,x),y1 = 5.8976 x = -1.0000 1.2000 -1.4000 2.0000 -1.8000 1.6000 y2 = -17.0000 5.8976 -28.1104 70.0000 -46.1584 29.3216,(2) 多項式求值矩陣多項式求值 Y=polyvalm(P,x)函數(shù)用來求矩陣多項式

24、的值，要求x為方陣，它以方陣為自變量求多項式的值。 設(shè)A為方陣，P代表多項式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含義是： A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A) 而polyval(P,A)的含義是： A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A),例 已知多項式x4+8x3-10，取一個22矩陣為自變量，分別用兩個函數(shù)計算該多項式的值。,程序如下： A=1,8,0,0,-10; x=-1,1.2;2,-1.8; y1=polyval(A,x) y2=polyvalm(A,x),結(jié)果如下： y1 = -17.0000 5.8976 70.0000 -46.1

25、584 y2 = -60.5840 50.6496 84.4160 -94.3504,x=roots(P) 其中P為多項式的系數(shù)向量，求得的根賦給向量x，即x(1),x(2),x(n)分別代表多項式的n個根。,4、 多項式求根,例 求多項式x4+8x3-10的根。 A=1,8,0,0,-10; x=roots(A) 若已知多項式的全部根，則可以用poly函數(shù)建立起該多項式，其調(diào)用格式為： P=poly(x) 若x為具有n個元素的向量，則poly(x)建立以x為其根的多項式，且將該多項式的系數(shù)賦給向量P。,6.2 數(shù)值微積分,在MATLAB中，沒有直接提供求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)；有兩種方法計算任意函數(shù)

26、f(x)在給定點x的數(shù)值導(dǎo)數(shù) 第一種：用多項式或樣條函數(shù)g對f進行逼近（插值或擬合），然后用逼近函數(shù)g在點x處的導(dǎo)數(shù)作為f在點x處的導(dǎo)數(shù)； 第二種：用f在點x處的某種差商作為導(dǎo)數(shù)。,6.2.1 數(shù)值微分,在MATLAB中，沒有直接提供求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計算向前差分的函數(shù)diff，其調(diào)用格式為： DX=diff(X)：計算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。 DX=diff(X,n)：計算X的n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。 DX=diff(A,n,dim)：計算矩陣A的n階差分，dim=1時(缺省狀態(tài))，按列計算差分；

27、dim=2，按行計算差分。,例：設(shè)x由0,2間均勻分布的10個點組成，求sinx的1-3階差分。 X=linspace(0,2*pi,10) Y=sin(X) DY=diff(Y) D2Y=diff(Y,2) D3Y=diff(Y,3),觀察結(jié)果向量的維數(shù),例 用不同的方法求函數(shù)f(x)的數(shù)值導(dǎo)數(shù)，并在同一個坐標系中做出f(x)的圖像。,f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2); g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5); x=-3:0.01:3; p=polyfit(x,f(x),5); dp=polyder(p); dpx=polyval(dp,x); dx=diff(f(x,3.01)/0.01; gx=g(x); plot(x,dpx,x,dx,.,x,gx,-);,求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。 它們的基本思想都是將整個積分區(qū)間a,b分成n個子區(qū)間xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1