1、課時(shí)作業(yè)課時(shí)作業(yè) 51利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角 1(2014福建卷)在平面四邊形 ABCD 中，ABBDCD1，AB BD，CDBD.將ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD平面 BCD， 如圖 (1)求證：ABCD； (2)若 M 為 AD 中點(diǎn)，求直線 AD 與平面 MBC 所成角的正弦值 解：(1)平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，AB 平面 ABD， ABBD，AB平面 BCD. 又 CD平面 BCD，ABCD. (2)過點(diǎn) B 在平面 BCD 內(nèi)作 BEBD，如圖 由(1)知 AB平面 BCD，BE平面 BCD，BD平面 BCD， ABBE，A

2、BBD. 以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)?x 軸，y 軸，z 軸 BE BD BA 的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 依題意，得 B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)， A(0,0,1)，M(0， )， 1 2 1 2 則(1,1,0)，(0， )，(0,1，1) BC BM 1 2 1 2 AD 設(shè)平面 MBC 的法向量 n(x0，y0，z0)， 則Error!即Error! 取 z01，得平面 MBC 的一個(gè)法向量 n(1，1,1) 設(shè)直線 AD 與平面 MBC 所成角為 ， 則 sin|cosn，|， AD |nAD | |n|AD | 6 3 即直線 AD 與平面 MB

3、C 所成角的正弦值為. 6 3 2(2014天津卷)如圖，在四棱錐 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，點(diǎn) E 為棱 PC 的中點(diǎn) (1)證明：BEDC； (2)求直線 BE 與平面 PBD 所成角的正弦值； (3)若 F 為棱 PC 上一點(diǎn)，滿足 BFAC，求二面角 FABP 的 余弦值 解： 依題意， 以點(diǎn) A 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)， 可得 B(1,0,0)， C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由 E 為棱 PC 的中點(diǎn)，得 E(1,1,1) (1)證明：向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0. BE DC BE

4、DC 所以，BEDC. (2)向量(1,2,0)，(1,0，2) BD PB 設(shè) n(x，y，z)為平面 PBD 的法向量， 則Error!即Error!不妨令 y1，可得 n(2,1,1)為平面 PBD 的一 個(gè)法向量于是有 cosn，. BE nBE |n|BE | 2 6 2 3 3 所以，直線 BE 與平面 PBD 所成角的正弦值為. 3 3 (3)向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)， BC CP AC AB (1,0,0) 由點(diǎn) F 在棱 PC 上，設(shè)，01. CF CP 故(12，22，2) BF BC CF BC CP 由 BFAC，得0， BF AC 因此，2(

5、12)2(22)0，解得 . 3 4 即. BF ( 1 2， 1 2， 3 2) 設(shè) n1(x，y，z)為平面 FAB 的法向量，則Error! 即Error!不妨令 z1， 可得 n1(0，3,1)為平面 FAB 的一個(gè)法向量 取平面 ABP 的法向量 n2(0,1,0)，則 cosn1，n2. n1n2 |n1|n2| 3 10 1 3 10 10 易知，二面角 FABP 是銳角，所以其余弦值為. 3 10 10 3 在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1中， AB， AD1， M 是線段 AD3 的中點(diǎn) (1)試在平面 ABCD 內(nèi)過 M 點(diǎn)作出與平面 A1B1CD 平行的直線 l， 說明

6、理由，并證明：l平面 AA1D1D； (2)若(1)中的直線 l 交直線 AC 于點(diǎn) N， 且二面角 AA1NM 的余 弦值為，求 AA1的長(zhǎng) 15 5 解：(1)在平面 ABCD 內(nèi)過 M 點(diǎn)作直線 lDC， l平面 A1B1CD，DC平面 A1B1CD， l平面 A1B1CD. 在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1中，DCAD，DCDD1， 則 lAD，lDD1. 又 ADDD1D，l平面 AA1D1D. (2)由(1)知，lDC 且 M 是線段 AD 的中點(diǎn)， N 是線段 AC 的中點(diǎn) 設(shè) AA1h，以 A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 A1B1，A1D1，A1A 所在直 線為 x 軸，y 軸，z

7、軸，建立空間直角坐標(biāo)系 A1xyz.則 A1(0,0,0)， A(0,0，h)，N(，h)，M(0，h) 3 2 1 2 1 2 (0,0，h)，(，h)，(0，h)，(， A1A A1N 3 2 1 2 A1M 1 2 MN 3 2 0,0) 設(shè)平面 A1AN 的法向量 n1(x1，y1，z1)， 則Error!，Error!， 取 x11，n1(1，0)3 設(shè)平面 A1MN 的法向量 n2(x2，y2，z2)， 則Error!，Error!， 取 z21，n2(0，2h,1) 二面角 AA1NM 的余弦值為， 15 5 cosn1，n2，即， 15 5 n1n2 |n1|n2| 15 5

8、， 1， 3，00，2h，1 2 14h2 15 5 解得 h1，即 AA11. 1等邊三角形 ABC 的邊長(zhǎng)為 3，點(diǎn) D、E 分別是邊 AB、AC 上的 點(diǎn)，且滿足 (如圖 1)將ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位 AD DB CE EA 1 2 置，使二面角 A1DEB 為直二面角，連接 A1B、A1C(如圖 2) (1)求證：A1D平面 BCED； (2)在線段 BC 上是否存在點(diǎn) P，使直線 PA1與平面 A1BD 所成的 角為 60？若存在，求出 PB 的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由 解 ： (1)證明 ： 因?yàn)榈冗匒BC 的邊長(zhǎng)為 3，且 ，所以 AD AD DB CE EA 1

9、 2 1，AE2.在ADE 中，DAE60， 由余弦定理得 DE.因?yàn)?2222 1 2 cos603 AD2DE2AE2，所以 ADDE. 折疊后有 A1DDE，因?yàn)槎娼?A1DEB 是直二面角， 所以平面 A1DE平面 BCED，又平面 A1DE平面 BCEDDE， A1D平面 A1DE，A1DDE，所以 A1D平面 BCED. (2)由(1)的證明，可知 EDDB，A1D平面 BCED，以 D 為坐標(biāo) 原點(diǎn)，以射線 DB、DE、DA1分別為 x 軸、y 軸、z 軸的正半軸，建立 空間直角坐標(biāo)系 Dxyz 如右圖，設(shè) PB2a(02a3)，過 P 作 PH DE，則 BHa，PHa，DH

10、2a，所以 A1(0,0,1)，P(2a，33 a,0)，E(0， ，0)，所以(a2，a,1)，因?yàn)?ED平面3 PA1 3 A1BD，所以平面 A1BD 的一個(gè)法向量為(0， ，0)， DE 3 因?yàn)橹本€ PA1與平面 A1BD 所成的角為 60， 所以 sin60， |PA1 DE | |PA1 |DE | 3a 4a24a5 3 3 2 解得 a ，即 PB2a ，滿足 02a3，符合題意，所以在線 5 4 5 2 段 BC 上存在點(diǎn) P， 使直線 PA1與平面 A1BD 所成的角為 60， 此時(shí) PB . 5 2 2如下圖，ABC 中，AB2，BC1，ABC90，D，E 分 別為 A

11、B，AC 上的點(diǎn)，DEBC，將ADE 沿 DE 折到ADE 的位 置，使平面 ADE平面 BCED. (1)當(dāng) D 為 AB 的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)平面 ABC 與平面 ADE 所成的二 面角的平面角為 (0 )，直線 AC 與平面 ADE 所成角為 ，求 2 tan()的值； (2)當(dāng) D 點(diǎn)在 AB 邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求四棱錐 ABCED 體積的最大 值 解： (1)DB，DE，DA兩兩垂直，故以點(diǎn) D 為原點(diǎn) DB，DE，DA所在直線分別為 x，y，z 軸，建立直角坐標(biāo)系(如 圖)，則 D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，E(0，0)，A(0,0,1) 1 2 (1,0， 1)，(0,1,0)， 設(shè)平面 ABC 的一個(gè)法向量為 n AB BC (x，y，z) 由Error!得Error!，故可取 n(1,0,1)，又平面 ADE 的一個(gè)法 向量為(1,0,0) DB cos|cosn，|， DB nDB |n|DB | 1 2 2 2 tan1 由于平面 ADE 的一個(gè)法向量為 (1,0,0)，CA(1，1,1) DB 所以 sin|cosCA，|Error! DB 1 3 3 3 cos，tan 6 3 2 2 tan()32 1 2 2 1