1、解簡(jiǎn)單的不等式解簡(jiǎn)單的不等式 1 解不等式：(x2x+1)(x+1)(x4)(6x)0 解：解：對(duì)于任何實(shí)數(shù) x，x2x+10 恒成立，所以原不等式等價(jià)于：(x+1)(x4)(6x)0 (x+1)(x4)(x6)0 所以原不等式的解為：x1 或 4x6 2 2 解不等式：0 12134 352 2 2 xx xx 解：解：原不等式即0 它相當(dāng)于 (2x+1)(x-3)(4x+3)(x-4)0 x 或 3x4 )4)(34( ) 3)(12( xx xx 4 3 x4x 4 3 2 1 3 3 解不等式：|x5|2x+3|1 解法一：解法一：當(dāng) x時(shí)，5x+2x+31 x7 當(dāng)x5 時(shí)， 5x2

2、x31 2 3 2 3 3 1 x 此時(shí)不等式的解為： 當(dāng) x5 時(shí)，x52x39, x5 ) 5 , 3 1 (), 3 1 () 5 , 2 3 ( 由可知原不等式的解集為： 即 x。, 5) 5 , 3 1 ()7,( 3 1 解法二解法二：原不等式化為:|x5|2x+3|+1 兩邊平方得：x210 x+253x222x+15 4x+63x222x+15 3x+26x90 x或 4x+60 x1 3 1 原不等式的解集為： 即：x), 1 ()7,(), 3 1 ()9,( 3 1 4 已知不等式 0)(6)23(baxba 與不等式 01) 1(3 22 aaxaa 同解，解不等式 0

3、)3(2)2(3abxba 。 解：解： Ra ， 01 2 aa 01) 1(3 22 aaxaa 的解為 3 1 x )(6)23(baxba 中 0)23( ba 解 ba ba x 23 )(6 由題意 ba ba 23 )(6 3 1 043 ba 代 入所求： 062bbx 3x 5 (1998 年全國(guó)高考)設(shè) ab，解關(guān)于 x 的不等式 a2x+b2(1-x)ax+b(1-x)2. 解析 將原不等式化為 (a2-b2)x-b2(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2， 移項(xiàng)，整理后得 (a-b)2(x2-x)0， ab 即(a-b)20， x2-x0， 即 x(x-1)0. 解此

4、不等式，得解集 x|0 x1. 6 (1995 年全國(guó)高考) 的解集是_.解析 這是一個(gè)指數(shù)不等式，基本解法是化為同底的指數(shù)形式，然后利 x x 2 8 3 3 1 2 用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為整式不等式. 原不等式即，也就是 x2-2x-80，解得-2x4.故原不等式的解集為x| -2x0 （1） 當(dāng) a1 時(shí)，解為 xa （2） 當(dāng) a=1 時(shí)，解為 xR 且 x1 （3） 當(dāng) a1 時(shí)，解為 x1 例 2. 解關(guān)于 的不等式x x x a 1 1 解：解： 原不等式同解于 axa x 1 1 0 ()()xaxa110 當(dāng)時(shí)，有axx a a 01 1 0()() 即()()xx a a

5、 1 1 0注意到 a a 1 1 解集為 |x a a x 1 1 當(dāng)時(shí)，有，axx x0101()| 當(dāng)時(shí)，有axx a a 01 1 0()() 注意到 a aa 1 1 1 1 解集為或 |x xx a a 1 1 例 3 若 a0,解不等式 x+2a(+1). x 2 解析 怎樣對(duì)參數(shù) a 進(jìn)行分類(lèi)討論？必須先對(duì)原不等式等價(jià)變形：x+2a(+1)0 x(x+2)(xa)0. 于 x 2 x axax2)2( 2 是得到必須將 a 與-2,0 進(jìn)行比較分類(lèi)： 當(dāng) a0 時(shí)，解集為x|x2 或 0 xa 當(dāng)2a0 時(shí)，解集為x|x2 或 ax0 當(dāng) a=2 時(shí)，解集為x|x0 且 x2

6、當(dāng) a2 時(shí)，解集為x|xa 或2x0 例 4例 4 解關(guān)于 x 的不等式：(m+1)x24x+10 (mR) 分析分析 ： 此題是含參數(shù) m 的不等式，首先應(yīng)根據(jù) m+1 是否取 0 確定原不等式是一元一次不等式還是一元二次不等式 ； 若 m+1 不等于零，還要按 m+1 的值為正或負(fù)及關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式的判別式的符號(hào)為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)對(duì) m 取一切實(shí)數(shù)的情形進(jìn)行分類(lèi)，求出原不等式的解. 解解：當(dāng) m=1 時(shí)，4x+10 x 4 1 當(dāng) m1 時(shí)，=164(m+1)=4(3m),當(dāng) m3 時(shí)，方程(m+1)x24x+1=0 才有解 下面以 m 與1 和 3 的大小關(guān)系作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)討論： 1 3

7、2 m m x 當(dāng) m1 時(shí)， m+10，且此時(shí)原不等式的解集為：(, ,+) 1 32 m m 1 32 m m 1 32 m m 1 32 m m 當(dāng)1m0 且此時(shí)原不等式的解集為：, 1 32 m m 1 32 m m 1 32 m m 1 32 m m 當(dāng) m=3 時(shí)，解集為： 當(dāng) m3 時(shí)，解集為空集. 2 1 例 5. 解不等式： a axax() 2 解：解：原不等式等價(jià)于 a ax ax a axax () ()() 0 20 2 2 當(dāng)時(shí)，原式a xa x a xxa a x a 0 2 430 3 42 () 當(dāng)時(shí)，原不等式化為： 或 a xa x a x a x ax a

8、 0 2 3 4 0 3 4 當(dāng)時(shí)，原不等式化為，axx0200 例 6 (2000 年全國(guó)高考題)設(shè)函數(shù)，其中.（）解不等式1； (2)略.axxxf1)( 2 0a)(xf 解析 不等式即，由此得，即，其中常數(shù).1)(xfaxx11 2 ax110ax0a 所以，原不等式等價(jià)于即 . 0 ,)1 (1 22 x axx 02) 1( , 0 2 axa x 所以，當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為. 10 a 1 2 0| 2 a a xx 1a0|xx 解抽象函數(shù)型不等式解抽象函數(shù)型不等式 所謂抽象函數(shù)型不等式，即不等式與一個(gè)抽象函數(shù)有關(guān)，同時(shí)已知抽象函數(shù)的定義域、奇偶性

9、或單調(diào)性等. 這一類(lèi)不等式的解法是先根據(jù) 單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般不等式來(lái)解，但一定要注意定義域. 例 15 設(shè) f(x)是定義域?yàn)?-，0)(0，+)的奇函數(shù)，且在(0，+)上為增函數(shù). 若 f(1)=0，解關(guān)于 x 的不等式 floga(1-x2)+10， 其中 a1. 解析 由于 f(x)是奇函數(shù)，且在(0，+)上為增函數(shù)，所以它在(-，0)上也為增函數(shù).又由于 f(1)=f(-1)=0. 于是原不等式等價(jià)于 或 111log 011log 2 2 x x a a 111log 011log 2 2 x x a a 由得 x20，所以解集為；由解得. 2 1 1 1 1 a x a

10、 故原不等式的解集為x|或. 2 1 1 1 1 a x a a x a 1 1 1 1 2 例 16 已知偶函數(shù) f(x)在上是增函數(shù)，求解不等式 f(2x+5)f(x2+2)., 0 解析 由題意知 f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 由偶函數(shù)定義知不等式 f(2x+5)f(x2+2)即 f(|2x+5|)f(|x2+2|)，也就是, 0 0 , |2x+5|3；解(2)得 2 5 x. 故原不等式 252 052 1 2 xx x 2)52( 052 2 2 xx x 1 2 5 x 的解集為.3x1或xx 例 17 已知函數(shù) f(x)是定義在上的函數(shù)，且 f(1)=1，f(-x)=-

11、f(x)，若 a、b，a+b0，有. 試解不等式1 , 11 , 10 )()( ba bfaf .) 1 1 () 2 1 ( x fxf 解析 先要由已知條件判斷函數(shù) f(x)的單調(diào)性，因?yàn)楫?dāng) x時(shí)，f(1)=1，f(-x)=-f(x)，所以 f(x)在上是奇函數(shù)，且令1 , 11 , 1 中 b 為-b，得，從而知函數(shù) f(x)在上為增函數(shù)，于是0 )()( ba bfaf 0 )()( ba bfaf 1 , 1 ，故原不等式的解集為.) 1 1 () 2 1 ( x fxf 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 x x x x 2 3 11 02 2 1 2 3 xx xx

12、 x 或 或1 2 3 x 1, 2 3 含參不等式的解法舉例 當(dāng)在一個(gè)不等式中含有了字母，則稱(chēng)這一不等式為含參數(shù)的不等式，那么此時(shí)的參數(shù)可以從以下兩個(gè)方面來(lái)影響不等 式的求解，首先是對(duì)不等式的類(lèi)型（即是那一種不等式）的影響，其次是字母對(duì)這個(gè)不等式的解的大小的影響。我們必須 通過(guò)分類(lèi)討論才可解決上述兩個(gè)問(wèn)題，同時(shí)還要注意是參數(shù)的選取確定了不等式的解，而不是不等式的解來(lái)區(qū)分參數(shù)的討 論。解參數(shù)不等式一直是高考所考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到但又難以順利解決的問(wèn)題。下面舉例說(shuō)明， 以供同學(xué)們學(xué)習(xí)。 一，含參數(shù)的一元二次不等式的解法： 例 1：解關(guān)于的 x 不等式 2 (1)410()m

13、xxmR 分析：當(dāng) m+1=0 時(shí),它是一個(gè)關(guān)于 x 的一元一次不等式；當(dāng) m+11 時(shí)，還需對(duì) m+10 及 m+10 來(lái)分類(lèi)討論，并結(jié)合 判別式及圖象的開(kāi)口方向進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng) m0，圖象開(kāi)口向下，與 x 軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不 等式的解集取兩邊。 當(dāng)-1m0, 圖象開(kāi)口向上， 與 x 軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)， 不等式的解集取中間。 當(dāng) m=3 時(shí)，=4（3-m）=0，圖象開(kāi)口向上，與 x 軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，不等式的解為方程的根。 2 4410 xx 當(dāng) m3 時(shí)，=4（3-m）3 時(shí), 原不等式的解集為。 小結(jié)：解含參數(shù)的一元二次不等式可先分解因式再討論求解，若不易分解，也可對(duì)判別式分類(lèi)討論。利

14、用函數(shù)圖 象必須明確：圖象開(kāi)口方向，判別式確定解的存在范圍，兩根大小。二次項(xiàng)的取值（如取 0、取正值、取負(fù) 值）對(duì)不等式實(shí)際解的影響。 牛刀小試：解關(guān)于 x 的不等式)0( , 04) 1(2 2 axaax 思路點(diǎn)撥：先將左邊分解因式，找出兩根，然后就兩根的大小關(guān)系寫(xiě)出解集。具體解答請(qǐng)同學(xué)們自己完成。 二，含參數(shù)的分式不等式的解法： 例 2：解關(guān)于 x 的不等式0 2 1 2 xx ax 分析：解此分式不等式先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式，再對(duì) ax-1 中的 a 進(jìn)行分類(lèi)討論求解，還需用到序軸標(biāo)根法。 解：原不等式等價(jià)于0) 1)(2)(1(xxax 當(dāng)=0 時(shí)，原不等式等價(jià)于a0) 1)(2(

15、xx 解得，此時(shí)原不等式得解集為x|；21x21x 當(dāng)0 時(shí), 原不等式等價(jià)于,a0) 1)(2)( 1 (xx a x 則：當(dāng)原不等式的解集為； , 2 1時(shí) a21|xxx且 當(dāng) 0原不等式的解集為； , 2 1時(shí) a 21 1 |x a xx或 當(dāng)原不等式的解集為； , 2 1時(shí) a 2 1 1|x a xx或 當(dāng)1 和1 分為兩類(lèi)，再在1 的情況下，又aaaa 要按兩根與 2 的大小關(guān)系分為三種情況。有很多同學(xué)找不到分類(lèi)的依據(jù)，缺乏分類(lèi)討論的意 1 2 a a 100, 0aaa和 識(shí)，通過(guò)練習(xí)可能會(huì)有所啟示。具體解答請(qǐng)同學(xué)們自己完成。 三，含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的解法： 例 3：解關(guān)于

16、 x 的不等式)0, 0( ,|2|babxax 分析：解絕對(duì)值不等式的思路是去掉絕對(duì)值符號(hào)，本題要用到同解變形，首先將)()()()()(| )(|xgxfxgxfxgxf或 原不等式化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，然后就、兩個(gè)參數(shù)間的大小關(guān)系分類(lèi)討論求解。ab 解：2)(2)(22|2|xbaxbabxaxbxaxbxax或或 當(dāng)時(shí)，0 ba2)(2)(xbaxba或 ba x ba x 22 或 此時(shí)原不等式的解集為； ba x ba xx 22 |或 當(dāng)時(shí)，由，0 ba無(wú)解而得2)(, 2 2)( xba ba xxba 此時(shí)原不等式的解集為； ba xx 2 | 當(dāng)時(shí)， ba 02)(2

17、)(xbaxba或 ba x ba x ba x 222 或 此時(shí)此時(shí)原不等式的解集為； ba xx 2 | 綜 上 所 述 ， 當(dāng)時(shí) ， 原 不 等 式 的 解 集 為； 當(dāng)時(shí) ， 原 不 等 式 的 解 集 為0 ba ba x ba xx 22 |或 0 ab 。 ba xx 2 | 小結(jié)：去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法有定義法：平方法： )0( )0( | aa aa a | )(| )(|xgxf 利用同解變形：)()( 22 xgxf);0( ,| );0( ,|aaxaxaxaaxaax或 ;);()()()(| )(|xgxfxgxgxf)()()()()(| )(|xgxfxgxfxg

18、xf或 牛刀小試：（2004 年遼寧省高考題）解關(guān)于 x 的不等式)( , 01| 1|Raax 思路點(diǎn)撥：將原不等式化為然后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論求解。要注意空集;ax1| 1|a的解集為時(shí)axa| ,0 抓住絕對(duì)值的意義，在解題過(guò)程中謹(jǐn)防發(fā)生非等價(jià)變形造成的;|0; 0|0Raxaxaxa的解集為時(shí)，的解時(shí)， 錯(cuò)誤。具體解答請(qǐng)同學(xué)們自己完成。 求參數(shù)的值或范圍 已知含參不等式的解集，求參數(shù)的值或范圍也是高考中不等式問(wèn)題中的一種常見(jiàn)題型. 基本解法是先將參數(shù)看成常數(shù)，按常規(guī)方法來(lái)解不 等式，然后再根據(jù)所給定的解集求出參數(shù)的值或范圍. 例 19 (2003 年北京春招)若不等式的解集為（1，2） ，則實(shí)數(shù) a 等于（ ）.A8B2C4D86|2|ax 解析 原不