1、北師大版精品全冊教案北師大版精品全冊教案 高中數(shù)學(xué)選修高中數(shù)學(xué)選修 2-12-1 教案教案 四種命題、四種命題的相互關(guān)系四種命題、四種命題的相互關(guān)系 （一）教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能知識(shí)與技能：了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的 形式和四種命題間的相互關(guān)系，會(huì)用等價(jià)命題判斷四種命題的真假 過程與方法過程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，并寫出四種命題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分 析問題、有創(chuàng)造性地解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和思維能力 情感、態(tài)度與價(jià)值觀情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的舉例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性， 培養(yǎng)他們的辨 析能力以及培養(yǎng)他們的分

2、析問題和解決問題的能力 （二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)： （1）會(huì)寫四種命題并會(huì)判斷命題的真假； （2）四種命題之間的相互關(guān)系 難點(diǎn)： （1）命題的否定與否命題的區(qū)別；（2）寫出原命題的逆命題、 否命題和逆否命題； （3）分析四種命題之間相互的關(guān)系并判斷命題的真假 教具準(zhǔn)備：教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 教學(xué)設(shè)想：教學(xué)設(shè)想：通過學(xué)生的舉例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性， 培養(yǎng)他們的辨析能力以及培 養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力 （三）教學(xué)過程（三）教學(xué)過程 學(xué)生探究過程： 復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入 初中已學(xué)過命題與逆命題的知識(shí)，請同學(xué)回顧：什么叫做命題的逆命題？ 2 2思考、分

3、析思考、分析 問題 1：下列四個(gè)命題中， 命題（1）與命題（2） （3） （4）的條件與結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？ （1）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù) （2）若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù) （3）若 f(x)不是正弦函數(shù)，則 f(x)不是周期函數(shù) （4）若 f(x)不是周期函數(shù)，則 f(x)不是 正弦函數(shù) 歸納總結(jié)歸納總結(jié) 問題一通過學(xué)生分析、討論可以得到正確結(jié)論 緊接結(jié)合此例給出四個(gè)命題的概念， （） 和（）這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，互逆命題， （）和（）這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題，互否命題， （） 和（）這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題?；槟娣衩}。 抽象概括抽象

4、概括 定義：一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和 條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題互逆命題其中一個(gè)命題叫做原命題原命題，另一個(gè)命題叫做 原命題的逆命題逆命題 讓學(xué)生舉一些互逆命題的例子。 定義：一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的 否定和結(jié)論的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題互否命題其中一個(gè)命題叫做原命題原命題，另 一個(gè)命題叫做原命題的否命題否命題 讓學(xué)生舉一些互否命題的例子。 定義：一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的 否定和條件的否定， 那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互為

5、逆否命題互為逆否命題 其中一個(gè)命題叫做原命題原命題， 另一個(gè)命題叫做原命題的逆否命題逆否命題 讓學(xué)生舉一些互為逆否命題的例子。 小結(jié)：小結(jié)： (1) 交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的逆命題逆命題： (2) 同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的否命題否命題； (3) 交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題就是它的逆否命題逆否命題 強(qiáng)調(diào)：原命題與逆命題、原命題與否命題、原命題與逆否命題是相對的。 四種命題的形式四種命題的形式 讓學(xué)生結(jié)合所舉例子，思考： 若原命題為“若 P，則 q”的形式，則它的逆命題、否命題、逆否命題應(yīng)分別寫成什么形 式？ 學(xué)生通過思考、分析、比較，

6、總結(jié)如下： 原命題：若原命題：若 P P，則，則 q q則： 逆命題：若逆命題：若 q q，則，則 P P 否命題：若否命題：若P P，則，則q q （說明符號(hào)“”的含義：符號(hào)“”叫做否定符號(hào) “p”表示 p 的否定；即不是 p；非 p） 逆否命題：若逆否命題：若q q，則，則P P 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假： （） 若一個(gè)三角形的兩條邊相等，則這個(gè)三角形的兩個(gè)角相等； （） 若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是，則這個(gè)整數(shù)能被整除； （） 若 x =1,則 x=1； （）（） 若整數(shù) a 是素?cái)?shù)，則是 a 奇數(shù)。 思考、分析思考、分析 結(jié)合以上練習(xí)思考：原命

7、題的真假與其它三種命題的真假有什么關(guān)系？ 通過此問，學(xué)生將發(fā)現(xiàn)： 原命題為真，它的逆命題不一定為真。 原命題為真，它的否命題不一定為真。 原命題為真，它的逆否命題一定為真。 原命題為假時(shí)類似。 結(jié)合以上練習(xí)完成下列表格： 原命題逆命題否命題逆否命題 2 真 假 是具有相同的真假性是具有相同的真假性 真 假 假 真 真 假 由表格學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：原命題與逆否命題總是具有相同的真假性原命題與逆否命題總是具有相同的真假性，逆命題與否命題也總逆命題與否命題也總 由此會(huì)引起我們的思考：思考： 一個(gè)命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著一定的關(guān)系呢？一個(gè)命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著

8、一定的關(guān)系呢？ 讓學(xué)生結(jié)合所做練習(xí)分析原命題與它的逆命題、否命題與逆否命題四種命題間的關(guān)系 學(xué)生通過分析，將發(fā)現(xiàn)四種命題間的關(guān)系如下圖所示： 總結(jié)歸納總結(jié)歸納 若若 P P，則，則 q q 原命題 互 互 否 互 否命題 若若P P，則，則q q 互逆 若若q q，則，則P P 由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關(guān)系如下： （1 1）兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；）兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； （2 2）兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系）兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系 由于原命題和它的逆否命題有相同的真

9、假性， 所以在直接證明某一個(gè)命題為真命題有困難 時(shí)，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題 例題分析例題分析 例 4： 證明：若 p q 2，則 p q 2 分析：如果直接證明這個(gè)命題比較困難，可考慮轉(zhuǎn)化為對它的逆否命題的證明。 將“若 p q 2，則 p q 2”視為原命題，要證明原命題為真命題，可以考慮 證明它的逆否命題“若 p + q 2，則 p + q 2”為真命題，從而達(dá)到證明原命題為真命題 的目的 證明：若 p q 2，則 p q 2 22 22 22 22 互逆 否 逆 否 若若 q q，則，則 P P 逆命題 為 為逆 互 否 逆否命題 2 111 222

10、 （p q） （p q） （p q） 222 所以 p q 2 這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。 練習(xí)鞏固：證明：若 a b ab，則 ab ：教學(xué)反思：教學(xué)反思 （）逆命題、否命題與逆否命題的概念； （）兩個(gè)命題互為逆否命題，他們有相同的真假性； （）兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，他們的真假性沒有關(guān)系； （）原命題與它的逆否命題等價(jià)；否命題與逆命題等價(jià) 22 充分條件與必要條件充分條件與必要條件 （一）教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能：正確理解充分不必要條件、必要不充分條件的概念；會(huì)判斷命題的充分條件、 必要條件 2.過程與方法：通過對充分條件、必要條件的概念的理

11、解和運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷和歸納 的邏輯思維能力 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思維 品質(zhì)，在練習(xí)過程中進(jìn)行辯證唯物主義思想教育 （二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：充分條件、必要條件的概念 (解決辦法：對這三個(gè)概念分別先從實(shí)際問題引起概念，再詳細(xì)講述概念，最后再應(yīng)用概念進(jìn) 行論證) 難點(diǎn)：判斷命題的充分條件、必要條件 關(guān)鍵：分清命題的條件和結(jié)論，看是條件能推出結(jié)論還是結(jié)論能推出條件 （三）教學(xué)過程 1 1練習(xí)與思考練習(xí)與思考 寫出下列兩個(gè)命題的條件和結(jié)論，并判斷是真命題還是假命題？ （1）若 x a + b ，則 x 2ab, （2）

12、若 ab 0，則 a 0. 學(xué)生容易得出結(jié)論；命題(1)為真命題，命題()為假命題 置疑：對于命題“若 p，則 q”，有時(shí)是真命題，有時(shí)是假命題如何判斷其真假的？ 答：看 p 能不能推出 q，如果 p 能推出 q，則原命題是真命題，否則就是假命題 給出定義給出定義 命題“若p，則 q” 為真命題，是指由p 經(jīng)過推理能推出 q，也就是說，如果p 成立，那 么 q 一定成立換句話說，只要有條件p 就能充分地保證結(jié)論 q 的成立，這時(shí)我們稱條件p 是 q 成立的充分條件 一般地， “若 p，則 q”為真命題，是指由 p 通過推理可以得出 q這時(shí)，我們就說，由 p 可推出 q，記作：pq 22 定義：

13、如果命題“若 p，則 q”為真命題，即 p p q q,那么我們就說 p p 是是 q q 的充分條件的充分條件；q q 是是 p p 必要條件必要條件 上面的命題(1)為真命題，即 x a + b x 2ab， 所以“x a + b ”是“x 2ab”的充分條件， “x 2ab”是“x a + b ” 必要條件 3 3例題分析：例題分析： 例：下列“若 p，則 q”形式的命題中，那些命題中的p 是 q 的充分條件？ （1）若 x 1，則 x 4x 3 0； （2）若 f(x) x，則 f(x)為增函數(shù)； （3）若 x 為無理數(shù)，則 x 為無理數(shù) 分析：要判斷 p 是否是 q 的充分條件，就要

14、看 p 能否推出 q 解略 例：下列“若 p,則 q”形式的命題中，那些命題中的q 是 p 的必要條件? (1) 若 x y，則 x y ； (2) 若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的面積相等； (3) 若 a b,則 acbc 分析：要判斷 q 是否是 p 的必要條件，就要看 p 能否推出 q 解略 練習(xí)鞏固：練習(xí)鞏固：課堂總結(jié)課堂總結(jié) 充分、必要的定義 在“若 p，則 q”中，若 pq，則 p 為 q 的充分條件，q 為 p 的必要條件 注： （1）條件是相互的； （2）p 是 q 的什么條件，有四種回答方式： p 是 q 的充分而不必要條件； p 是 q 的必要而不充分條件； p 是 q

15、 的充要條件； p 是 q 的既不充分也不必要條件 22 2 2 2222 22 的 充要條件充要條件 (一)教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能目標(biāo)： （1） 正確理解充要條件的定義,了解充分而不必要條件, 必要而不充分條件, 既不充分也不 必要條件的定義 （2）正確判斷充分不必要條件、 必要不充分條件、充要條件、 既不充分也不必要條件. （3）通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白對條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假, 2.過程與方法目標(biāo)：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的嚴(yán)密性品質(zhì) 3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神 （二）教學(xué)重

16、點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：1、正確區(qū)分充要條件 2、正確運(yùn)用“條件”的定義解題 難點(diǎn)：正確區(qū)分充要條件 (三)教學(xué)過程 1.1.思考、分析思考、分析 已知 p：整數(shù) a 是 2 的倍數(shù)；q：整數(shù) a 是偶數(shù). 請判斷： p 是 q 的充分條件嗎？p 是 q 的必要條件嗎？ 分析：要判斷 p 是否是 q 的充分條件，就要看 p 能否推出 q，要判斷 p 是否是 q 的必要條件， 就要看 q 能否推出 p 易知：pq，故 p 是 q 的充分條件； 又 q p，故 p 是 q 的必要條件 此時(shí),我們說, p 是 q 的充分必要條件充分必要條件 . .類比歸納類比歸納 一般地,如果既有 pq ，又有 qp 就記

17、作 p q. 此時(shí),我們說,那么 p 是 q 的充分必要條件充分必要條件,簡稱充要條件充要條件. .顯然,如果 p 是 q 的充要條件,那么 q 也是 p 的充要條件. 概括地說,如果如果 p p q, q,那么那么 p p 與與 q q 互為充要條件互為充要條件. 3.3.例題分析例題分析 例 1：下列各題中，哪些p 是 q 的充要條件？ （） p:b0,q:函數(shù) f(x)ax bxc 是偶函數(shù)； （） p:x 0,y 0,q: xy 0； （） p: a b ,q: a + c b + c； （） p:x 5, ,q: x 10 （） p: a b ,q: a b 分析：要判斷 p 是 q

18、 的充要條件，就要看 p 能否推出 q，并且看 q 能否推出 p 解：命題（）和（）中，pq ，且 qp，即 p q，故 p 是 q 的充要條件； 命題（）中，pq ,但 qp，故 p 不是 q 的充要條件； 命題（）中，pq ，但 qp，故 p 不是 q 的充要條件； 命題（）中，pq ，且 qp，故 p 不是 q 的充要條件； 類比定義類比定義 一般地，一般地， 若若 p pq ,q ,但但 q qp p，則稱，則稱 p p 是是 q q 的充分但不必要條件；的充分但不必要條件； 若若 p pq q，但，但 q qp p，則稱，則稱 p p 是是 q q 的必要但不充分條件；的必要但不充分

19、條件； 若若 p pq q，且，且 q qp p，則稱，則稱 p p 是是 q q 的既不充分也不必要條件的既不充分也不必要條件 在討論 p 是 q 的什么條件時(shí)，就是指以下四種之一： 若 pq ,但 qp，則 p 是 q 的充分但不必要條件； 若 qp，但 pq，則 p 是 q 的必要但不充分條件； 22 2 若 pq，且 qp，則 p 是 q 的充要條件； 若 pq，且 qp，則 p 是 q 的既不充分也不必要條件 練習(xí)鞏固：練習(xí)鞏固： 說明：要求學(xué)生回答p 是 q 的充分但不必要條件、或 p 是 q 的必要但不充分 條件、或 p 是 q 的充要條件、或 p 是 q 的既不充分也不必要條件

20、 例題分析例題分析 例 2：已知： O 的半徑為 r，圓心O 到直線 l 的距離為 d求證：dr 是直線 l 與O 相切的 充要條件 分析： 設(shè) p： dr， q： 直線 l 與O 相切 要證 p 是 q 的充要條件， 只需要分別證明充分性 （pq） 和必要性（qp）即可 證明過程略 例 3、設(shè)p 是 r 的充分而不必要條件，q 是 r 的充分條件，r 成立，則s 成立s 是 q 的充分條 件，問（1）s 是 r 的什么條件？（2）p 是 q 的什么條件？ 課堂總結(jié)： 充要條件的判定方法 如果“若 p，則 q”與“ 若 p 則 q”都是真命題，那么 p 就是 q 的充要條件，否則不是 全稱量詞

21、與存在量詞全稱量詞與存在量詞 ( (一一) )教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 1.1.知識(shí)與技能目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo) （1）通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見的全稱量詞和 存在量詞 （2）了解含有量詞的全稱命題和特稱命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及 判斷其命題的真假性 2.2.過程與方法目標(biāo)過程與方法目標(biāo)使學(xué)生體會(huì)從具體到一般的認(rèn)知過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力 3.3.情感態(tài)度價(jià)值觀情感態(tài)度價(jià)值觀 通過學(xué)生的舉例， 培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思維品質(zhì)， 在練習(xí)過程中進(jìn) 行辯證唯物主義思想教育 ( (二二) )教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn):理解全稱

22、量詞與存在量詞的意義難點(diǎn): 全稱命題和特稱命題真假的判定. 教具準(zhǔn)備：教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 教學(xué)設(shè)想：教學(xué)設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的 精神 （三）教學(xué)過程（三）教學(xué)過程 學(xué)生探究過程：1 1思考、分析思考、分析 下列語句是命題嗎？假如是命題你能判斷它的真假嗎？ （1）2x是整數(shù)； (2) x； (3) 如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對應(yīng)邊相等； （4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行； （5） 海師附中今年所有高中一年級的學(xué)生數(shù)學(xué)課本都是采用人民教育出版社A 版的教科書； （6）所有有中國國籍的人都是黃種人；（7）對所有的 x,

23、 x； （8）對任意一個(gè) x，2x是整數(shù)。 1 1 推理、判斷推理、判斷 （讓學(xué)生自己表述） （1） 、 （2）不能判斷真假，不是命題。 （3） 、(4)是命題且是真命題。 （5）（8）如果是假，我們只要舉出一個(gè)反例就行。 注：對于（5）（8）最好是引導(dǎo)學(xué)生將反例用命題的形式寫出來。因?yàn)檫@些命題的反例 涉及到“存在量詞” “特稱命題” “全稱命題的否定”這些后續(xù)內(nèi)容。 （5）的真假就看命題：海師附中今年存在個(gè)別（部分）高一學(xué)生數(shù)學(xué)課本不是采用人民教 育出版社 A 版的教科書；這個(gè)命題的真假，該命題為真，所以命題（5）為假； 命題（6）是假命題事實(shí)上，存在一個(gè)（個(gè)別、部分）有中國國籍的人不是黃種

24、人 命題（7）是假命題事實(shí)上，存在一個(gè)（個(gè)別、某些）實(shí)數(shù)（如x2） ， x （至少有一個(gè) x, x） 命題（8）是真命題。事實(shí)上不存在某個(gè)x，使2x不是整數(shù)。也可以說命題：存在 某個(gè) x使 2x不是整數(shù)，是假命題 3 3發(fā)現(xiàn)、歸納發(fā)現(xiàn)、歸納 命題（5）（8）跟命題（3） 、 （4）有些不同，它們用到 “所有的”“所有的” “任意一個(gè)”“任意一個(gè)” 這樣 的詞語， 這些詞語一般在指定的范圍內(nèi)都表示整體或全部整體或全部， 這樣的詞叫做全稱量詞叫做全稱量詞， 用符號(hào) “ ” 表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。命題（5）（8）都是全稱命題。 通常將含有變量x的語句

25、用p（x） ，q（x） ，r（x） ，表示，變量x的取值范圍用M表 示。那么全稱命題“對M中任意一個(gè)x，有p（x）成立”可用符號(hào)簡記為： xM,p（x），讀 做“對任意x屬于M，有p（x）成立” 。 剛才在判斷命題（5）（8）的真假的時(shí)候，我們還得出這樣一些命題： （5）存在個(gè)別高一學(xué)生數(shù)學(xué)課本不是采用人民教育出版社A 版的教科書； （6）存在一個(gè)（個(gè)別、部分）有中國國籍的人不是黃種人 （7） 存在一個(gè)（個(gè)別、某些）實(shí)數(shù)x（如x2） ，使x （至少有一個(gè) x, x） （8）不存在某個(gè) x使 2x不是整數(shù) 這些命題用到了“存在一個(gè)”“存在一個(gè)” “至少有一個(gè)”“至少有一個(gè)”這樣的詞語，這些詞語都

26、是表示整體的一部整體的一部 分分的詞叫做存在量詞存在量詞。 并用符號(hào) “”表示。 含有存在量詞的命題叫做特稱命題含有存在量詞的命題叫做特稱命題 （或存在命題）（或存在命題） 命題（5）（8）都是特稱命題（存在命題） 特稱命題： “存在M中一個(gè)x，使p（x）成立”可以用符號(hào)簡記為：xM, p(x)。讀做 “存在一個(gè)x屬于M,使 p（x）成立” 全稱量詞相當(dāng)于日常語言中“凡” ， “所有” ， “一切” ， “任意一個(gè)”等；存在量詞相當(dāng)于日 ， ， ， ， ， 常語言中“存在一個(gè)” ， “有一個(gè)” ， “有些” ， “至少有一個(gè)” ， “ 至多有一個(gè)”等. 4 4鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) （1）下列全稱命

27、題中，真命題是： A. 所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)； B. xR,(x1) f 0； C.xR,x 2 11 2 D.x(0,),sin x 2 x2sin x （2）下列特稱命題中，假命題是： A. xR,x22x3 0 B.至少有一個(gè)xZ,x能被 2 和 3 整除 2 C. 存在兩個(gè)相交平面垂直于同一直線 D.xx| x是無理數(shù),x是有理數(shù) （3）已知：對xR ,a p x 2 1 恒成立，則 a 的取值范圍是； x 變式： 已知： 對xR ,x ax 1p 0恒成立， 則 a 的取值范圍是； （4）求函數(shù)f (x) cos xsin x3的值域； 變式：已知：對xR,方程cos xsin x3a

28、0有解，求 a 的取值范圍 5 5教學(xué)反思： （1）判斷下列全稱命題的真假： 末位是 o 的整數(shù)，可以被 5 整除； 線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等； 負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；梯形的對角線相等。 （2）判斷下列特稱命題的真假： 有些實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；有些三角形不是等腰三角形；有些菱形是正方形。 （3）探究： 請課后探究命題（5）（8）跟命題（5）（8）分別有什么關(guān)系？ 請你自己寫出幾個(gè)全稱命題， 并試著寫出它們的否命題 寫出幾個(gè)特稱命題，并試著 寫出它們的否命題。 ， 2 2 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞（一）或且非簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞（一）或且非 教學(xué)目標(biāo)：了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“

29、非”的含義，理解復(fù)合命題的結(jié)構(gòu). 教學(xué)重點(diǎn)：邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義及復(fù)合命題的構(gòu)成。 教學(xué)難點(diǎn)：對“或”的含義的理解； 教學(xué)手段：多媒體 一、創(chuàng)設(shè)情境 前面我們學(xué)習(xí)了命題的概念、命題的構(gòu)成和命題的形式等簡單命題的基本框架。本 節(jié)內(nèi)容，我們將學(xué)習(xí)一些簡單命題的組合，并學(xué)會(huì)判斷這些命題的真假。 問題 1：下列語句是命題嗎？如果不是，請你將它改為命題的形式 1153 是 15 的約數(shù)嗎？0.7 是整數(shù)x8 二、活動(dòng)嘗試 是命題，且為真；不是陳述句，不是命題，改為是3 是 15 的約數(shù)，則為真； 是假命題 是陳述句的形式，但不能判斷正確與否。改為x20，則為真； 例如，x0 時(shí),a與a

30、同向; a (x,y) a 0 時(shí),與異向; a =0 時(shí), a=0 ab是一個(gè)數(shù) 1a 0或b 0時(shí), ab=0 2a 0且b 0時(shí), ab | a |b|cos(a,b) ab x 1x2 y 1 y 2 (a) ()a ()a a a (a b) a b ab a b ab ba (a)b a(b) (ab) (a b)c ac bc a2| a |2|a|x2 y2 | ab| a |b| 2、平面向量基本定理： 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只 有一對實(shí)數(shù)1,2，使a ； r 1 (OA OB),OP OA (1)OA的幾何意義 2

31、3、兩個(gè)向量平行的充要條件： 注意OP r r a /b的充要條件是： ； （向量表示） r r 若a (x1, y1),b (x2, y 2 )，則a /b的充要條件是：； （坐標(biāo)表示） 4、兩個(gè)非零向量垂直的充要條件： r r a b的充要條件是： ； （向量表示） r r a (x , y ),b (x , y )a b的充要條件是：； 若（坐標(biāo)表示） 1122 ，則 三、課堂練習(xí)三、課堂練習(xí) 1 O 為平面上的定點(diǎn)， A、B、C 是平面上不共線的三點(diǎn)， 若( OB-OC)(OB+OC2OA)=0， 則ABC 是（ ） A以 AB 為底邊的等腰三角形B以 BC 為底邊的等腰三角形 C以

32、AB 為斜邊的直角三角形D以 BC 為斜邊的直角三角形 2P 是ABC 所在平面上一點(diǎn)，若PAPB PBPC PC PA，則 P 是ABC 的（） A外心B內(nèi)心C重心D垂心 3在四邊形 ABCD 中，ABDC，且ACBD0，則四邊形 ABCD 是（） A 矩形B 菱形C直角梯形D等腰梯形 u rru rrru rrru rr 4已知| p| 2 2，|q| 3，p、q的夾角為45，則以a 5p 2q，b p 3q為鄰邊的平 行四邊形的一條對角線長為（） A15B15C14D16 5 O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足OP OA( AB | AB| AC | AC |

33、 )， 0,)則 P 的軌跡一定通過ABC 的() A外心B內(nèi)心C重心D垂心 6設(shè)平面向量a=(2，1)，b=(，-1)，若a與b的夾角為鈍角，則 的取值范圍是（） A(,2)(2,)B(2,)C(,)D(,) 7若a 2,3, 1 2 1 2 1 2 b 4,7,ac 0,則c在b方向 上的投影為。 uuu ruuu ruuu r 8向量OA (k,1),OB (4,5), OC (k,10)，且 A，B，C 三點(diǎn)共線，則 k 9 在直角坐標(biāo)系 xoy 中， 已知點(diǎn) A(0,1)和 點(diǎn) B(-3,4)， 若點(diǎn) C 在AOB 的平分線上且|OC|=2, 則OC= 10在ABC中，O 為中線 A

34、M 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=2，則OA(OB OC)的最小值是 _。 課題：空間向量及其線性運(yùn)算 教學(xué)目標(biāo)： 1運(yùn)用類比方法，經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程； 2了解空間向量的概念，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)； 3理解空間向量共線的充要條件 教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的概念、空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)； 教學(xué)難點(diǎn)：空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)。 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情景一、創(chuàng)設(shè)情景 1、平面向量的概念及其運(yùn)算法則； 2、物體的受力情況分析 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1空間向量的概念： 在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量 F2 F3 F1 注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量 向量一般用有向線段表

35、示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量 空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示 2空間向量的運(yùn)算 定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下（如圖） OB OA AB a b BA OAOB a b OP a( R) 運(yùn)算律： b C b O a a B b A D A B C 加法交換律：a b b a 加法結(jié)合律：(a b) c a (b c) 數(shù)乘分配律：(a b) a b 3平行六面體： a D C B 平行四邊形 ABCD 平移向量a到ABCD的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并 A 記作：ABCDABCD，它的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫

36、做平行六面體的棱。 4共線向量 與平面向量一樣， 如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合， 則這些向量 叫做共線向量或平行向量a平行于b記作a /b 當(dāng)我們說向量a、b共線（或a/b）時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一 直線，也可能是平行直線 5共線向量定理及其推論： 共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b（b0） ，a/b的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使a b. 推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn) A 且平行于已知非零向量a的直線，那么對于任意一點(diǎn)O，點(diǎn) P 在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù) t 滿足等式OP OA ta其中向量a叫做直線l的方 向向量. 三、數(shù)學(xué)運(yùn)用三、數(shù)學(xué)運(yùn)用 1、例 1

37、 如圖，在三棱柱ABC A 1B1C1 中，M 是BB 1 的中點(diǎn)， 化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量： （1）CB BA 1 ; （2）AC CB O l P B a A 1 AA 1 ; 2A1 C1 B1 （3）AA 1 AC CB 解： （1）CB BA 1 CA 1 （2）AC CB 1 AA 1 AM 2 A C B （3）AA 1 AC CB BA 1 2、如圖，在長方體OADB CA/D/B/中，OA3,OB 4,OC 2,OI OJ OK 1，點(diǎn) E,F 分別是DB,D/B/的中點(diǎn)，設(shè)OI i,OJ j,OK k,試用向量i, j,k表示OE和OF 解：OE 3 i

38、4j 2 A/ C D/ O E A D B/ F B 3 OF i 4j 2k 2 3、課堂練習(xí) A的中點(diǎn)，化簡下列各已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC,BD，設(shè)M,G分別是BC,CD 表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量： uuu ruuu ruuu r （1）AB BC CD； uuu r 1 uuu ruuu ruuu r 1 uuu ruuu r B （2）AB(BD BC)；（3）AG (AB AC) 22 M D G C 四、回顧總結(jié)四、回顧總結(jié) 空間向量的定義與運(yùn)算法則 五、布置作業(yè)五、布置作業(yè) 課題：共面向量定理 教學(xué)目標(biāo)： 1了解共面向量的含義，理解共面向量定理； 2利用共面向量定理證

39、明有關(guān)線面平行和點(diǎn)共面的簡單問題； 教學(xué)重點(diǎn)：共面向量的含義，理解共面向量定理 教學(xué)難點(diǎn)：利用共面向量定理證明有關(guān)線面平行和點(diǎn)共面的簡單問題 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情景一、創(chuàng)設(shè)情景 1、關(guān)于空間向量線性運(yùn)算的理解 M DC A C 平面向量加法的三角形法則可以推廣到空間向量， 只要圖形封閉， 其中的一個(gè)向量即可以 N B B N D A M 用其它向量線性表示。 從平面幾何到立體幾何，類比是常用的推理方法。 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1、 共面向量的定義 一般地，能平移到同一個(gè)平面內(nèi)的向量叫共面向量； 理解：若a,b為不共線且同在平面內(nèi)，則p與a,b共面的意義是p在內(nèi)或p / 2、共面向量的判定

40、 平面向量中，向量b與非零向量a共線的充要條件是b a，類比到空間向量，即有 共面向量定理如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在 有序?qū)崝?shù)組(x, y)，使得p x yb 這就是說，向量p可以由不共線的兩個(gè)向量a,b線性表示。 三、數(shù)學(xué)運(yùn)用三、數(shù)學(xué)運(yùn)用 1， 例 1 如圖， 已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直， 點(diǎn) M,N 分別在對角線 BD,AE 上，且BM 11 BD, AN AE. 33 求證：MN/平面 CDE 21 證明：MN MB BA AN=CD DE 33 B F N A E D M 又CD與DE不共線 根據(jù)共面向量定理，可知M

41、N,CD,DE共面。 C 由于 MN 不在平面 CDE 中，所以 MN/平面 CDE. 2、例 2 設(shè)空間任意一點(diǎn) O 和不共線的三點(diǎn) A、B、C，若點(diǎn) P 滿足向量關(guān)系 OP xOA yOB zOC（其中 x+y+z=1） 試問：P、A、B、C 四點(diǎn)是否共面？ 解：由OP xOA yOB zOC可以得到AP yAB zAC 由 A,B,C 三點(diǎn)不共線， 可知AB與AC不共線， 所以AP,AB,AC共面且具有公共起點(diǎn) A. 從而 P,A,B,C 四點(diǎn)共面。 解題總結(jié)：解題總結(jié)： 推論：推論： 空間一點(diǎn) P 位于平面 MAB 內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y 使得： MP xMA yMB，或?qū)?/p>

42、空間任意一點(diǎn) O 有：OP OM xMA yMB。 3 3、 課堂練習(xí)課堂練習(xí) （1）已知非零向量e 1 ，e 2 不共線，如果AB e1e2，AC 2e18e2，AD 3e13e2，求證： A、B、C、D 共面。 OF kOB，OG kOC， （2） 已知平行四邊形ABCD， 從平面AC外一點(diǎn)O引向量OE kOA， OH kOD。求證： （1）四點(diǎn) E、F、G、H 共面； （2）平面 AC/平面 EG。 （3）課本練習(xí) 四、回顧總結(jié)四、回顧總結(jié) 1、共面向量定理； 2、類比方法的運(yùn)用。 五、布置作業(yè)五、布置作業(yè) 課題：空間向量的基本定理 教學(xué)目標(biāo)： 1掌握及其推論，理解空間任意一個(gè)向量可以用

43、不共面的三個(gè)已知向量線性表示，而且 這種表示是唯一的； 2在簡單問題中，會(huì)選擇適當(dāng)?shù)幕讈肀硎救我豢臻g向量。 教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的基本定理及其推論 教學(xué)難點(diǎn)：空間向量的基本定理唯一性的理解 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情景一、創(chuàng)設(shè)情景 平面向量基本定理的內(nèi)容及其理解 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對 于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1,2， e 2 使a 1 e 1 2 e 2 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1、空間向量的基本定理 a r e 1 如果三個(gè)向量e 1 ,e 2 ,e 3 不共面，那么對空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 C r (x, y,z)，使p xe

44、 1 ye 2 ze 3 證明： （存在性）設(shè)e 1 ,e 2 ,e 3 不共面， A O CP B P B 過點(diǎn)O作OA e 1 ,OB e 2 ,OC e 3 ,OP p A 過點(diǎn)P作直線 PP 平行于OC，交平面OAB于點(diǎn) P ； 在平面OAB內(nèi)，過點(diǎn) P 作直線PA/OB,PB/OA，分別與直線OA,OB相交于點(diǎn) A,B，于是，存在三個(gè)實(shí)數(shù)x, y,z ，使 OA/OA xe 1 ,OB/OB ye 2 ,OC/OC ze 3 uuu r uuu r uuu u r uuuu ruuu ruuu ruuu r OPOAOBOCxOAyOBzOC 所以p xe 1 ye 2 ze 3 （

45、唯一性）假設(shè)還存在x, y,z使p x/e 1 y/e 2 z/e 3 xe 1 ye 2 ze 3 x/e 1 y/e 2 z/e 3 (x x/)e 1 (y y/)e 2 (z z/)e 3 0 y y/z z/ 不妨設(shè)x x即x x 0e 1 e 2 e 3 x x/x x/ e 1 ,e 2 ,e 3 共面此與已知矛盾該表達(dá)式唯一 ，綜上兩方面，原命題成立 由此定理， 若三向量e 1 ,e 2 ,e 3 不共面，那么空間的任一向量都可由e 1 ,e 2 ,e 3 線性表示， 我們把e 1 ,e 2 ,e 3 叫做空間的一個(gè)基底基底，e 1 ,e 2 ,e 3 叫做基向量?；蛄?。 空

46、間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底基底 如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量兩兩互相垂直， 那么這個(gè)基底叫做正交基底，特別地，當(dāng) 一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)， 稱這個(gè)基底為單位正交基底， 通常用i, j,k表示。 推論推論：設(shè)O, A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) uuu ruuu ruuu ruuu r x, y,z，使OP xOA yOB zOC 三、數(shù)學(xué)運(yùn)用三、數(shù)學(xué)運(yùn)用 1、例 1 如圖，在正方體OADB CA/D/B/中， ，點(diǎn) E 是 AB 與 OD 的交點(diǎn),M 是 OD/與 CE 的 交點(diǎn)，試分別用向量OA,OB,OC表示OD和O

47、M C B/ A/ D/ 解：OD OA OB OC M / B111 DOM OAOB OC E 333 OA 2、例 2 如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線OB, AC，M,N分別是對邊OA,BC的中 uuu ruuu r uuu r uuu r 點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG 2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG O M C uuu ruuuu ruuuu r 解：OG OM MG uuuu r 2 uuuu r OM MN 3 r 2 uuu ruuuu r 1 uuu OA(ON OM) 23 r 2 1 uuu ruuu r 1 uuu r 1 uuu OA (OBOC

48、)OA 23 22 r 1 uuu ruuu r 1 uuu r 1 uuu OA(OBOC)OA 233 r 1 uuu r 1 uuu r 1 uuu OAOBOC 633 OG 3 3、課堂練習(xí)、課堂練習(xí) 四、回顧總結(jié)四、回顧總結(jié) 五、布置作業(yè)五、布置作業(yè) 111 OAOB OC 633 課題：空間向量的坐標(biāo)表示 教學(xué)目標(biāo)： 1能用坐標(biāo)表示空間向量，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算； 2會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)空間向量平行。 教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教學(xué)難點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情景一、創(chuàng)設(shè)情景 1、平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基

49、底任作一個(gè)向量a，由平面向 量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得a xi yj 把(x, y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a (x, y) 其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的 坐標(biāo)， 特別地，i (1,0)，j (0,1)，0 (0,0) 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1、空間直角坐標(biāo)系： （1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為 1， r r r 這個(gè)基底叫單位正交基底，用i, j,k表示； r r r （2）在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底i, j,k， r r r 以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i, j,k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l 數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫坐標(biāo)軸我

50、們稱建 立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O xyz，點(diǎn)O叫原點(diǎn)，向量 r r r i, j,k都叫坐標(biāo)向量通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo) 平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面。 （3）作空間直角坐標(biāo)系O xyz時(shí)，一般使xOy 135 （或45） ，yOz 90； （4）在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中 指指向z軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系 規(guī)定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角 o oo 坐標(biāo)系 2、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)： rr r r 如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量 a，設(shè)i, j,k為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 rrrrr (a 1

51、,a2 ,a 3 )，使a a 1ia2 ja 3 k，有序?qū)崝?shù)組(a 1,a2 ,a 3 )叫作向量a在空間直角坐標(biāo)系 r O xyz中的坐標(biāo)，記作a (a 1,a2 ,a 3 ) 在空間直角坐標(biāo)系O xyz中，對空間任一點(diǎn)A，存在唯z uuu rrr 一的有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)，使OA xi yj zk，有序?qū)崝?shù)組 A(x,y,z) (x, y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系O xyz中的坐標(biāo)，記 作A(x, y,z)，x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo) 3、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律 k i zx O j y rr （1）若a (a 1,a2 ,a 3 )，b (b 1,b2 ,b 3

52、 )， rr 則ab (a 1 b 1,a2 b 2 ,a 3 b 3 )， rr ab (a 1 b 1,a2 b 2 ,a 3 b 3 )， x A(a1,a2,a3) k i O j B(b1,b2,b3) y r a (a 1, a 2 ,a 3 )(R)， rr a/b a 1 b 1,a2 b 2 ,a 3 b 3 (R)， uuu r （2）若A(x 1, y1,z1) ，B(x2, y2,z2)，則AB (x2 x 1, y2 y 1,z2 z 1) 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的 坐標(biāo)。 三、數(shù)學(xué)運(yùn)用三、數(shù)學(xué)運(yùn)用 1、例 1 已知

53、a (1,3,8),b (3,10,4)，求a b, a b,3a 解：a b (4,7,4)a b (2,13,12) 3a (3,9,24) 2、已知空間四點(diǎn)A(2,3,1),B(2,5,3),C(10,0,10)和D(8,4,9)，求證：四邊形ABCD是矩形 解：AB OB OA (4,8,2)，DC (2,4,1)AB 2DC 所以AB/ DC，AB DC， 所以四邊形ABCD是矩形。 3、課堂練習(xí) 三、回顧總結(jié)三、回顧總結(jié) 空間向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算 四、布置作業(yè)四、布置作業(yè) 課題：空間向量的數(shù)量積 教學(xué)目標(biāo)： 1掌握空間向量的夾角的概念，掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律，了

54、解空 間向量數(shù)量積的幾何意義； 2掌握空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式，會(huì)用向量的方法解決有關(guān)垂直、夾角和距離問題。 教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的夾角的概念，掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律 教學(xué)難點(diǎn)：用向量的方法解決有關(guān)垂直、夾角和距離 教學(xué)過程 一、創(chuàng)設(shè)情景一、創(chuàng)設(shè)情景 1、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)； 2、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律； 3、平面向量的數(shù)量積、夾角、模等概念。 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1、夾角 定義：a,b是空間兩個(gè)非零向量，過空間任意一點(diǎn)O，作OA a,OB b，則AOB叫做 向量a與向量b的夾角，記作 a,b 規(guī)定：0 a,b 特別地，如果 a,b 0，那么a與b同向；如果 a,b

55、 ，那么a與b反向；如果 a,b 900，那么a與b垂直，記作a b。 2、數(shù)量積 （1）設(shè)a,b是空間兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量|a|b|cos a,b 叫作向量a,b的數(shù)量積，記作 a b，即a b|a|b|cos a,b r r r r a 1b1 a 2b2 a 3b3 ab r （2）夾角：cos ab r 222222|a|b| a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 （3）運(yùn)算律 ab ba；(a)b (ba)；a (b c) a b a c rr （4）模長公式：若a (a 1,a2 ,a 3 )，b (b 1,b2 ,b 3 )， rr rrr r 222222 則|a

56、| aa a 1 a 2 a 3 ，|b| bb b 1 b 2 b 3 （5）兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x 1, y1,z1) ，B(x2, y2,z2)， 則 uuu ruuu r 2 | AB |AB(x 2 x 1) 2(y 2 y 1) 2(z 2 z 1) 2，或 d A,B (x 2 x 1) 2(y 2 y 1) 2(z 2 z 1) 2 （6）a b a b 0 x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 0 三、數(shù)學(xué)運(yùn)用三、數(shù)學(xué)運(yùn)用 1、例 1 已知A(3,1,3)，B(1,0,5)，求： （1）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度； （2）到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x, y,z

57、)的坐標(biāo)x, y,z滿足的條件 解： （1）設(shè)M是線段AB的中點(diǎn)，則OM 13 (OA OB) (2,3,) 22 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,3,)，AB (2,4,3) 3 2 | AB|(2)2 42 (3)229 （2） 點(diǎn)P(x, y,z)到A,B兩點(diǎn)的距離相等， 則(x 3)2 (y 1)2 (z 3)2(x 1)2 (y 5)2 (z 0)2, 化簡得：4x 8y 6z 7 0, 所 以 ， 到A,B兩 點(diǎn) 的 距 離 相 等 的 點(diǎn)P(x, y,z)的 坐 標(biāo)x, y,z滿 足 的 條 件 是 4x 8y 6z 7 0 點(diǎn)評：點(diǎn)評：到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x, y,z)構(gòu)成的集

58、合就是線段AB 的中垂面，若將點(diǎn) P的坐標(biāo)x, y,z滿足的條件4x 8y 6z 7 0的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)向量a (4,8,6)，發(fā)現(xiàn)與 AB (2,4,3)共線。 2、例 2 已知三角形的頂點(diǎn)是A(1,1,1)，B(2,1,1)，C(1,1,2)，試求這個(gè)三角形的面積。 ruuu r 1 uuu 分析：可用公式S | AB | AC |sin A來求面積 2 uuu ruuu r 解：AB (1,2,2)，AC (2,0, 3)， | AB|1222(2)2 3，| AC |(2)20(3)213， uuu ruuu r uuu r uuu r AB AC (1,2,2)(2,0, 3) 26 4， uuu r uuu r uuu r uuu r AB AC44 13 ，cos A cos AB, AC uuu r uuu r 39| AB| AC |3 13 uuu r uuu ruuu r uuu r 13 101 sin A sin AB, AC 1cos2 AB, AC 39 所以，S ABC 四、回顧總結(jié)四