1、8.5直線、平面垂直的判定與性質,-2-,知識梳理,雙基自測,2,3,1,自測點評,1.兩條直線互相垂直:如果兩條直線相交于一點或相交于一點,并且交角為,則稱這兩條直線互相垂直.,經(jīng)過平移后,直角,-3-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,1,2.直線與平面垂直 (1)直線與平面垂直的定義:如果一條直線和一個平面相交于點O,并且和這個平面內過交點(O)的直線都垂直,就說這條直線和這個平面互相垂直.,任何,-4-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,1,(2)直線與平面垂直的判定定理及其推論:,兩條相交直線,a,b,ab=O,la,lb,垂直于,ab,a,a,b,-5-,知識梳理,雙基自測

2、,自測點評,2,3,1,3.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義:如果兩個相交平面的與第三個平面垂直,又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線,就稱這兩個平面互相垂直.,交線,互相垂直,-6-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,1,(2)平面與平面垂直的判定定理及性質定理:,垂線,l,l,交線,l,=a,la,2,-7-,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5,自測點評,1.下列結論正確的打“”,錯誤的打“”. (1)已知直線a,b,c;若ab,bc,則ac.() (2)直線l與平面內的無數(shù)條直線都垂直,則l.() (3)設m,n是兩條不同的直線,是一個平面,若mn,m,則n. ()

3、(4)若兩平面垂直,則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.() (5)若平面內的一條直線垂直于平面內的無數(shù)條直線,則. (),答案,-8-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,2.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是() A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1,答案,解析,-9-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,3.(2017湖南岳陽一模)已知,表示兩個不同的平面,m為平面內的一條直線,則“m ”是“ ”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,

4、答案,解析,-10-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,4. P為ABC所在平面外一點,O為P在平面ABC內的射影. (1)若P到ABC三邊距離相等,且O在ABC的內部,則O是ABC的心; (2)若PABC,PBAC,則O是ABC的心; (3)若PA,PB,PC與底面所成的角相等,則O是ABC的心.,答案,解析,-11-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,5.如圖,PA垂直于O所在平面,AB是O的直徑,C是O上一點,AEPC,AFPB,給出下列結論:AEBC;EFPB;AFBC;AE平面PBC,其中真命題的序號是.,答案,解析,-12-,知識梳理,雙基自測,自測

5、點評,1.在空間中垂直于同一直線的兩條直線不一定平行,還有可能異面、相交. 2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理,不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內的無數(shù)條直線,就垂直于這個平面”. 3.判斷線面關系時最容易漏掉線在面內的情況.,-13-,考點1,考點2,考點3,例1 如圖,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求證:BF平面ACFD; (2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值. 思考證明線面垂直的常用方法有哪些?,-14-,考點1,考點2,考點3,(1)證明 延長AD,BE,CF相交于一點K,如圖所示.

6、因為平面BCFE平面ABC,且ACBC, 所以AC平面BCK,因此BFAC. 又因為EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2, 所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點,則BFCK. 所以BF平面ACFD.,-15-,考點1,考點2,考點3,-16-,考點1,考點2,考點3,解題心得1.證明線面垂直的方法:一是線面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性質定理;三是平行線法(若兩條平行線中的一條垂直于這個平面,則另一條也垂直于這個平面). 2.解題時,注意線線、線面與面面關系的相互轉化;另外,在證明線線垂直時,要注意題中隱含的垂直關系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內

7、角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度,經(jīng)計算滿足勾股定理)、直角梯形等等.,-17-,考點1,考點2,考點3,對點訓練1 (2017山東濰坊一模)在如圖所示的空間幾何體中,EC平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,CEBF,且CE=2BF,G,H,P分別為AF,DE,AE的中點.求證: (1)GH平面BCEF; (2)FP平面ACE.,-18-,考點1,考點2,考點3,證明: (1)取EC中點M,FB中點N,連接HM,GN. 則HM DC,GN AB, 由題意可知ABCD,AB=CD,HMGN, 四邊形HMNG是平行四邊形,GHMN, GH平面BCEF,MN平面

8、BCEF, GH平面BCEF. (2)連接BD,與AC交于O,連接OP,則OP EC, 又ECBF,EC=2BF,OPBF, 四邊形PFBO是平行四邊形, PFBO,BOAC,BOEC,ACEC=C,BO平面ACE, FP平面ACE.,-19-,考點1,考點2,考點3,例2如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE平面ABCD. (1)證明:平面AEC平面BED; (2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側面積. 思考證明面面垂直的常用方法有哪些?,-20-,考點1,考點2,考點3,(1)證明 因為四邊形ABCD為菱形, 所以ACBD. 因為BE平

9、面ABCD, 所以ACBE.故AC平面BED. 又AC平面AEC, 所以平面AEC平面BED.,-21-,考點1,考點2,考點3,-22-,考點1,考點2,考點3,解題心得1.兩個平面互相垂直是兩個平面相交的特殊情形. 2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要證明平面與平面垂直,可轉化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線,即證明線面垂直. 3.平面和平面垂直的判定定理的兩個條件:l,l,缺一不可.,-23-,考點1,考點2,考點3,對點訓練2 (2017河南洛陽三模)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD為平行四邊形,AA1平面ABCD,BAD=60,AB=2,BC=1,AA1= ,E為A

10、1B1的中點. (1)求證:平面A1BD平面A1AD; (2)求多面體A1E-ABCD的體積.,-24-,考點1,考點2,考點3,(1)證明: AB=2,AD=BC=1,BAD=60, BD2+AD2=AB2,BDAD, AA1平面ABCD,BD平面ABCD, BDAA1,又AA1AD=A,AA1平面A1AD,AD平面A1AD,BD平面A1AD,又BD平面A1BD, 平面A1BD平面A1AD.,-25-,考點1,考點2,考點3,-26-,考點1,考點2,考點3,考向一平行與垂直關系的證明 例3如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點,點F在側棱B1B上,且B1DA1

11、F,A1C1A1B1. 求證:(1)直線DE平面A1C1F; (2)平面B1DE平面A1C1F. 思考處理平行與垂直關系的綜合問題的主要數(shù)學思想是什么?,-27-,考點1,考點2,考點3,證明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC. 在ABC中,因為D,E分別為AB,BC的中點,所以DEAC,于是DEA1C1. 又因為DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F, 所以直線DE平面A1C1F.,-28-,考點1,考點2,考點3,(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1. 因為A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1. 又因為A1C1A1B1,A1A平面A

12、BB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1, 所以A1C1平面ABB1A1. 因為B1D平面ABB1A1, 所以A1C1B1D. 又因為B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1, 所以B1D平面A1C1F. 因為直線B1D平面B1DE, 所以平面B1DE平面A1C1F.,-29-,考點1,考點2,考點3,考向二探索性問題中的平行與垂直關系 例4如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,DAB=45,PD平面ABCD,PD=AD=1,點E為AB上一點,且 點F為PD中點. (1)若k= ,求證:直線AF平面PEC; (2)是否存在一

13、個常數(shù)k,使得平面PED平面PAB?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由. 思考探索性問題的一般處理方法是什么?,-30-,考點1,考點2,考點3,-31-,考點1,考點2,考點3,-32-,考點1,考點2,考點3,考向三折疊問題中的平行與垂直關系 例5如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置. (1)證明:ACHD; 思考折疊問題的處理關鍵是什么?,-33-,考點1,考點2,考點3,-34-,考點1,考點2,考點3,-35-,考點1,考點2,考點3,解題心得平行與垂直的綜合應用問題的主要數(shù)學思想

14、和處理策略: (1)處理平行與垂直的綜合問題的主要數(shù)學思想是轉化,要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉化. (2)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明,探索點的存在問題,點多為中點或三等分點中的某一個,也可以根據(jù)相似的知識找點. (3)折疊問題中的平行與垂直關系的處理關鍵是結合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關系,尤其是隱含著的垂直關系.,-36-,考點1,考點2,考點3,對點訓練3(2017北京房山區(qū)一模)如圖1,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置,連接A1B,A1C,M,N分別為A1C,BE的中點,如圖2

15、. (1)求證:DEA1B. (2)求證:MN平面A1ED. (3)在棱A1B上是否存在一點G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出,圖1,圖2,-37-,考點1,考點2,考點3,(1)證明: 在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置, DEA1E,DEBE,A1EBE=E,DE平面A1BE, A1B平面A1BE,DEA1B. (2)證明: 取CD中點F,連接NF,MF, M,N分別為A1C,BE的中點,MFA1D,NFDE, 又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF,平面A

16、1DE平面MNF. MN平面A1ED.,-38-,考點1,考點2,考點3,(3)解: 取A1B的中點G,連接EG, A1E=BE,EGA1B, 由(1)知DE平面A1BE, DEBC,BC平面A1BE, EGBC,又A1BBC=B, EG平面A1BC.,-39-,考點1,考點2,考點3,1.轉化思想:垂直關系的轉化 2.在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決.如有平面垂直時,一般要用性質定理,在一個平面內作交線的垂線,使之轉化為線面垂直,然后進一步轉化為線線垂直.故熟練掌握“線線垂直”“面面垂直”間的轉化條件是解決這類問題的關鍵.,

17、-40-,考點1,考點2,考點3,1.在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉化. 2.面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可.,-41-,審題答題指導立體幾何問題的審題技巧 與解題規(guī)范 在高考數(shù)學試題中,問題的條件以圖形的形式或將條件隱含在圖形之中給出的題目較多,因此在審題時,要善于觀察圖形,洞悉圖形所隱含的特殊的關系、數(shù)值的特點、變化的趨勢,抓住圖形的特征,利用圖形所提供信息來解決問題.,-42-,典例 (12

18、分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點,求證: (1)直線BC1平面EFPQ; (2)直線AC1平面PQMN.,-43-,-44-,解題步驟第一步:由圖形特征(正方體、中位線)推證AD1BC1,FPAD1,從而證FPBC1,可得結論. 第二步:利用圖形特征ACBD及CC1平面ABCD推證BD平面ACC1,從而得AC1BD. 第三步:利用平行性證明MNAC1,PNAC1,可證AC1平面PQMN. 證明(1)連接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知AD1BC1,因為F,P分別是AD,DD1的中點,所以FPAD1.從而BC1FP.(3分) 而FP平面EFPQ,且BC1平面EF