1、工程科學(xué)控制原理2 .數(shù)學(xué)模型和傳遞函數(shù)2.2拉普拉斯變換，發(fā)表：周曉君辦公室：機(jī)械副樓209-2室電子郵箱：辦公室電話： 56331523，2.2拉普拉斯變換系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以差分方程的形式表現(xiàn)輸出和輸入的關(guān)系。 經(jīng)典控制論的系統(tǒng)分析方法：時(shí)域法、頻率域法。 2、數(shù)學(xué)模型、傳遞函數(shù)、頻率域分析法是經(jīng)典控制論的核心，得到廣泛應(yīng)用，該方法間接使用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性對閉環(huán)響應(yīng)進(jìn)行分析。 2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)素函數(shù)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)s= j個(gè)實(shí)部和有一個(gè)虛部，和都是實(shí)數(shù)) 2個(gè)復(fù)數(shù)相等：時(shí)，僅在它們的實(shí)部和虛部分別相等的情況下。 一個(gè)復(fù)數(shù)為零：只有實(shí)部和虛部在云同步為零時(shí)。 2.2拉普拉斯變換被稱為虛數(shù)單位

2、，復(fù)數(shù)的表示相對于復(fù)數(shù)s= j復(fù)數(shù)平面，由橫軸(實(shí)軸)、縱軸(虛軸)構(gòu)成的平面被稱為復(fù)數(shù)平面或者s平面。 復(fù)s= j可由復(fù)數(shù)平面s中的點(diǎn)(，)表示：一個(gè)復(fù)對應(yīng)于復(fù)數(shù)平面上的一個(gè)點(diǎn)。 2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)素函數(shù)、復(fù)數(shù)的向量表現(xiàn)法復(fù)數(shù)s= j可以用從原點(diǎn)指向點(diǎn)(，)的向量來表示。 矢量的長度稱為復(fù)數(shù)的地震震級：2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)素函數(shù)，矢量和軸所成的角稱為復(fù)數(shù)s的復(fù)角：復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表現(xiàn)法和指數(shù)表現(xiàn)法根據(jù)復(fù)數(shù)平面的圖，=r cos，=r sin復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表現(xiàn)法： s=r (cos j sin復(fù)數(shù)的指數(shù)表現(xiàn)法：復(fù)素函數(shù)， 把以極點(diǎn)與零點(diǎn)的概念復(fù)數(shù)s= j為自變量構(gòu)成的函數(shù)G(s )稱為復(fù)素函數(shù)：

3、G(s)=u jv式中： u，v分別是復(fù)素函數(shù)的實(shí)部和虛部。 2.2.1復(fù)和復(fù)的函數(shù)，s=-zi時(shí)，G(s)=0，si=-zi稱為G(s )的零點(diǎn)。 通常，在線性控制系統(tǒng)中，復(fù)合素函數(shù)G(s )是復(fù)s的單值函數(shù)。 也就是說，與s的規(guī)定值相對應(yīng)，G(s )具有唯一決定的值。 的雙曲馀弦值。 (s=-pj時(shí)，將G(s )、sj=-pj稱為G(s )的極。 例如，在s= j時(shí)，求出復(fù)素函數(shù)G(s)=s2 1的實(shí)部u和虛部v。 2.2.1復(fù)和復(fù)素函數(shù)、復(fù)素函數(shù)的實(shí)部、復(fù)素函數(shù)的虛部、解： g(s)s2(j)21j(2)-21(2-21)j ()、2.2拉普拉斯變換、復(fù)變量、原函數(shù)、圖像函數(shù)、拉氏變換編

4、碼、拉普拉斯變換：在某個(gè)條件下，使實(shí)區(qū)域的實(shí)變量函數(shù)f(t )在復(fù)區(qū)域內(nèi)等設(shè)有時(shí)間函數(shù)f(t )，在t 0時(shí)為f(t)0； t0中定義的函數(shù)f(t )的拉普拉斯變換取決于：拉氏變換是否存在取決于所定義的積分是否收斂。 當(dāng)存在拉氏變換的條件是t0時(shí)，f(t )段是連續(xù)的，并且當(dāng)只有有限數(shù)量的間斷點(diǎn)t時(shí)，f(t )的增長速度沒有超過某指數(shù)函數(shù)，就是說，沒有超過2.2.2拉普拉斯變換的定義，并且復(fù)數(shù)平面上Res a的所有復(fù)s (Res是s的實(shí)數(shù)部分) 2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換(1)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)定義：2.2拉普拉斯變換、(2)單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)定義：2.2.3典型時(shí)間函數(shù)

5、的拉普拉斯變換、(3)單位速度(5)正弦信號函數(shù)正弦信號函數(shù)定義：2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換，歐拉公式，正弦函數(shù)表示：(6)佰弦信號函數(shù)佰弦信號函數(shù)定義：2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換，歐拉公式拉普拉斯變換簡表(續(xù)1 )，2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換， 拉普拉斯變換簡單表(續(xù)2 )、2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換、拉普拉斯變換簡單表(續(xù)3 )、2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換、2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)(1)線性定理可選如果證明是2.2拉普拉斯變換、(2)平移定理若：2 .則f(0)是t=0時(shí)的f(t )值，同樣，二階

6、導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：(3)微分定理擴(kuò)展到n階導(dǎo)函數(shù)的拉普拉斯變換：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，如果證明：(4)積分定理同樣， 對于n重積分的拉普拉斯變換：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，如果函數(shù)f(t )的所有多重積分的初始值為零，那么注意可以利用積分定理來計(jì)算時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換使用微分定理和積分定理來將微分積分方程改變?yōu)榇鷶?shù)方程。 (5)最終值定理：2.2.4根據(jù)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，拉普拉斯變換的微分定理，寫左式積分，(6)初始值定理：2.2 .證明存在2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，式中：2.2.5拉普拉斯逆變換(1)拉普拉斯逆變換其公式：2.2拉普拉斯變換，對拉氏反變換

7、的求方法有幾種方法，只要是簡單的像函數(shù)，就可以直接檢查拉氏變換表，對于復(fù)雜的，可以利用部分式展開法。 將f(t )的拉斯變換F(s )分為各部分之和，即2.2.5拉斯逆變換，則F1(s )、F2(s )、Fn(s )的拉斯逆變換，(2)部分式展開法在系統(tǒng)分析定問題中，F(xiàn)(s )總是2.2.5拉斯逆變換，式中并且，對于被稱為有理真分式的影像函數(shù)F(s )，分母B(s )應(yīng)該在利用部分分式展開法獲得F(s )的拉斯逆變換函數(shù)之前進(jìn)行因子分解。 分母B(s )稱為因子分解：2.2.5拉普拉斯逆變換，式中，p1，p2，pn稱為B(s )的根，或F(s )的極，只要這些個(gè)是可以是實(shí)數(shù)的多個(gè)，就必定是成對

8、共軛。 在A(s )的次數(shù)高于B(s )的情況下，首先用分母B(s )去除分子A(s )，由此得到s的多項(xiàng)式，加上具有分式形式的侗項(xiàng)，該分子s多項(xiàng)式的次數(shù)低于分母s的多項(xiàng)式次數(shù)。 (1)分母B(s )沒有重根時(shí)，F(xiàn)(s )總是可以展開為簡單的部分式之和。 即，式中，ak (k=1，2，2，n )是常數(shù)，系數(shù)AK被稱為極點(diǎn)s=-pk中的留數(shù)。可用將方程式的兩側(cè)乘以(s pk )并代入s=-pk的方法來確定2.2.5加逆變換和ak的值。 即2.2.5加逆變換可由下式獲得，因?yàn)槌嗽谒姓归_項(xiàng)中包括ak的項(xiàng)之外，其馀項(xiàng)已經(jīng)消失。 這是因?yàn)楫?dāng)f(t )時(shí)間的實(shí)函數(shù)(例如p1和p2)是共軛復(fù)數(shù)時(shí)，馀數(shù)1

9、和2也必然是共軛復(fù)數(shù)。 此時(shí)，上式也可以直接應(yīng)用。 在共軛復(fù)留數(shù)中，只要對一方的復(fù)留數(shù)1 (或者2 )進(jìn)行修正，當(dāng)然也知道另一方的復(fù)留數(shù)2 (或者1 )。 2.2.5拉斯逆變換，例題1求F(s )的拉斯逆變換，根據(jù)已知、解、馀數(shù)的校正公式，得到2.2.5拉斯逆變換，所以查爾斯變換表，得到，2 .即例題2求L-1F(s )，2.2.5拉斯逆變換我們知道2.2.5拉普拉斯，2.2.5拉普拉斯逆變換，2.2.5拉普拉斯逆變換，這樣類推，當(dāng)p1是k重根時(shí)，其系數(shù)是：例題3知道F(s )，求L-1F(s )。2.2.5拉普拉斯逆變換、上述式、2.2.5拉普拉斯逆變換、查爾斯變換表和2.2.5拉普拉斯逆變換之后的步驟： (1)通過將s作為變換的代數(shù)方程進(jìn)行整理，獲得差分方程要解決的變量的拉普拉斯式。 當(dāng)對該變量獲得拉氏逆變換時(shí)，獲得時(shí)域(時(shí)間t為殘奧儀表)中的差分方程解。 可使用拉爾斯逆變換的方法來確定線性估計(jì)常微分方程的全解(補(bǔ)