1、第三節(jié) 二項(xiàng)式定理,三年16考 高考指數(shù): 掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明 一些簡單的問題.,1.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，利用通項(xiàng)公式求特定的項(xiàng)或 特定項(xiàng)的系數(shù)，或已知某項(xiàng)，求指數(shù)n等是考查重點(diǎn)； 2.賦值法、化歸思想是解決二項(xiàng)展開式問題的基本思想和方 法，也是高考考查的熱點(diǎn)； 3.題型以選擇題和填空題為主，與其他知識(shí)點(diǎn)交匯則以解答題 為主.,1.二項(xiàng)式定理,k+1,(k=0,1,2,n),【即時(shí)應(yīng)用】 (1)(a+b)n展開式中，二項(xiàng)式系數(shù) (k=0,1,2,n)與展開式 中項(xiàng)的系數(shù)_(填“一定”或“不一定”)相同. (2) _. (3) 展開式中，x3的系數(shù)等于

2、_. 【解析】(1)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念,二 項(xiàng)式系數(shù)是指 它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，,而與a,b無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的部分，它不僅 與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，而且也與a,b所代表的項(xiàng)有密切關(guān)系. (2)原式=(1-2)11=-1. (3) 的通項(xiàng)為 令 得r2， 30，故x3的系數(shù)為 (1)215. 答案：(1)不一定 (2)-1 (3)15,2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)對(duì)稱性 在二項(xiàng)展開式中,與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù) _,即 (2)增減性 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù) ,當(dāng)k_時(shí), 是遞增的;當(dāng)k_時(shí), 是遞減的.,相等,(3)最大值 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), _的二項(xiàng)式系

3、數(shù)_取得最大值;當(dāng)n是 奇數(shù)時(shí), _的二項(xiàng)式系數(shù)_和_相等,且同時(shí) 取得最大值.,中間的一項(xiàng),中間的兩項(xiàng),【即時(shí)應(yīng)用】 (1)二項(xiàng)式(1-x)4n+1的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為第_項(xiàng). (2)若(x3+ )n展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則常數(shù)項(xiàng)等于_. 【解析】(1)因?yàn)?n+1為奇數(shù)，所以展開式有4n+2項(xiàng)，則 系數(shù)分別為 所以 系數(shù)最大的項(xiàng)為第2n+1項(xiàng). (2)由已知得，第6項(xiàng)應(yīng)為中間項(xiàng)，則n=10.,令30-5r=0，得r=6. 答案：(1)2n+1 (2)210,3.各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和 (1)(a+b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于_， 即_； (2)二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系

4、數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二 項(xiàng)式系數(shù)的和，即 =_=_.,2n,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)若(x )n的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15，則展開 式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為_. (2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則a0-a1+a2-a3+a4等于 _. (3)已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 則(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于_,【解析】(1)依題意，得 15，即 15， n(n1)30(其中n2)，由此解得n6，因此展開式中所有項(xiàng) 的系數(shù)之和為 (2)由題意可知，令x1，代入式子， 可得a0-a1+a2-a3+a43(1)4256. (3)

5、分別令x1、x1,得a0a1a2a3a4a50,a0a1 a2a3a4a532，由此解得a0a2a416，a1a3a5 16，所以(a0 a2a4)(a1a3a5)256. 答案：(1) (2)256 (3)-256,求二項(xiàng)展開式中特定的項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù) 【方法點(diǎn)睛】 1.理解二項(xiàng)式定理應(yīng)注意的問題 (1)Tr+1通項(xiàng)公式表示的是第“r+1”項(xiàng)，而不是第“r”項(xiàng)； (2)通項(xiàng)公式中a和b的位置不能顛倒； (3)展開式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 與第r+1項(xiàng)的系數(shù)在一般情 況下是不相同的，在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，一般先處理符號(hào)， 對(duì)根式和指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心,以防出差錯(cuò).,2.求特定項(xiàng)的步驟 (1)根據(jù)

6、所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式建立方程來確定指 數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n為正整 數(shù)，r為非負(fù)整數(shù)，且rn)； (2)根據(jù)所求項(xiàng)的指數(shù)特征求所要求解的項(xiàng).,【例1】(1)(2012梧州模擬)在(x+ )20的展開式中，系數(shù)為 有理數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng). (2)(2012百色模擬)(x+ -1)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_. (3)在 的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？ 【解題指南】(1)先明確系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的特征，然后由二 項(xiàng)展開式的通項(xiàng)找出符合條件的項(xiàng)的個(gè)數(shù). (2)可將括號(hào)內(nèi)的三項(xiàng)分成兩組看成兩項(xiàng)，再利用二項(xiàng)式定理 求解，也可直接展開所給式子，相應(yīng)求解.,(3)設(shè)第r

7、+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，據(jù)此可構(gòu)造含有r的不等式組，求出r的范圍后，再求項(xiàng)數(shù). 【規(guī)范解答】(1) 要求系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)，則r必須能被4整除.由0r20且rN知，當(dāng)且僅當(dāng)r=0,4,8,12,16,20時(shí)所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù). 答案：6,(2)方法一：(x+ -1)5=(x+ )-15, 它的展開式的通項(xiàng)為： 當(dāng)r=5時(shí)， 當(dāng)0r5時(shí)， 的通項(xiàng)公式為 0r5且rZ, r只能取1或3,相應(yīng)的k值分別為2或1，即,所以，其常數(shù)項(xiàng)為 方法二：由于本題只是5次展開式，也可以直接展開 (x+ )-15， 即(x+ )-15 =(x+ )5-5(x+ )4+10(x+ )3-10(x+ )2+5(x+

8、)-1.,由x+ 的對(duì)稱性知，只有在x+ 的偶次冪中，其展開式才會(huì)出 現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，且是各自的中間項(xiàng). 所以，其常數(shù)項(xiàng)為：-5 -10 -1=-51. 答案：-51 (3) 設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大， 即：5r6，故系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng).,【互動(dòng)探究】在本例(3)中，條件不變，求系數(shù)最大的項(xiàng)和最小 的項(xiàng). 【解析】由本例(3)知，展開式的第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最 大，而第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)的系數(shù)為正. 故系數(shù)最大的項(xiàng)為： 系數(shù)最小的項(xiàng)為：,【反思感悟】求二項(xiàng)式n次冪的展開式中的特定項(xiàng)，一般借助 于二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)求解；當(dāng)冪指數(shù)比較小時(shí)，可以直接寫出 展開式的全部或局部.,

9、【變式備選】已知 的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì) 值依次成等差數(shù)列. (1)求證：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)； (2)求展開式中所有的有理項(xiàng). 【解析】由題意得 即n29n80，所以n8，n1(舍去). 所以,(1)若Tr1是常數(shù)項(xiàng)，則 即163r0， 因?yàn)閞Z，這不可能，所以展開式中沒有常數(shù)項(xiàng). (2)若Tr1是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng) 為整數(shù)， 又0r8，rZ，所以 r0,4,8，即展開式中有三項(xiàng)有理 項(xiàng)，分別是T1x4，T5 ，T9,二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)的系數(shù)和 【方法點(diǎn)睛】 賦值法的應(yīng)用 (1)對(duì)形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展開式 的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令

10、x=1即可；對(duì)形如 (ax+by)n(a,bR)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=1即可. (2)若f(x)=a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系,數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+= , 偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+a5+= 【提醒】“賦值法”是求二項(xiàng)展開式系數(shù)問題常用的方法，注意 取值要有利于問題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾 組值，解題易出現(xiàn)漏項(xiàng)等情況，應(yīng)引起注意.,【例2】設(shè)(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4. (1)求a0+a1+a2+a3+a4; (2)求a0+a2+a4; (3)求a1+a3; (4)求

11、a1+a2+a3+a4; (5)求各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和. 【解題指南】本題給出二項(xiàng)式及其二項(xiàng)展開式，求各項(xiàng)系數(shù)和 或部分項(xiàng)系數(shù)和，可用賦值法，即令x取特殊值來解決.,【規(guī)范解答】(1)令x=1,得 a0+ a1+ a2+ a3+ a4=(3-1)4=16. (2)令x=-1得 a0- a1+ a2- a3+ a4=(-3-1)4=256, 而由(1)知 a0+ a1+ a2+ a3+ a4=(3-1)4=16. 兩式相加，得 a0+ a2+ a4=136. (3)由(1)、(2)得( a0+ a1+ a2+ a3+ a4)-( a0+ a2+ a4) = a1+ a3=-120.,(4)令x=0

12、得a0=1，亦得 a1+ a2+ a3+ a4= a0+ a1+ a2+ a3+ a4-a0=16-1=15. (5)各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為,【反思感悟】在求解本例第(4)題時(shí)容易忽略a0的值導(dǎo)致錯(cuò)解. 運(yùn)用賦值法求值時(shí)應(yīng)充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的結(jié)構(gòu).,【變式訓(xùn)練】1.已知(1x)(1x)2(1x)na0a1x a2x2anxn，且a1a2an129n，則n_. 【解析】易知an1，令x0得a0n，所以a0a1an30. 又令x1，有2222na0a1an30， 即2n1230，所以n4. 答案：4,2.已知(1x)na0a1xa2x2anxn，若5a12a20，

13、則a0a1a2a3(1)nan_. 【解析】由二項(xiàng)式定理得， a1 n，a2 代入已知得5nn(n1)0，所以n6， 令x1得(11)6a0a1a2a3a4a5a6， 即a0a1a2a3a4a5a664. 答案：64,【變式備選】 設(shè)(x2-x-1)50=a100 x100+a99x99+a98x98+a0. (1)求a100+a99+a98+a1的值； (2)求a100+a98+a96+a2+a0的值.,【解析】(1)令x=0,得a0=1; 令x=1,得a100+a99+a98+a1+a0=1, 所以a100+a99+a98+a1=0. (2)令x=-1,得a100-a99+a98+-a1+

14、a0=1, 而a100+a99+a98+a1+a0=1, +整理可得a100+a98+a96+a2+a0=1.,二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】 二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用 (1)利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時(shí)， (1+x)n1+nx. (2)利用二項(xiàng)式定理證明整除問題或求余數(shù)問題:在證明整除問 題或求余數(shù)問題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開后的 每一項(xiàng)都有除式的因式，要注意變形的技巧.,(3)利用二項(xiàng)式定理證明不等式:由于(a+b)n的展開式共有n+1項(xiàng)，故可以對(duì)某些項(xiàng)進(jìn)行取舍來放縮，從而達(dá)到證明不等式的目的.,【例3】(1)求證：46n5n19能被20整除. (2

15、)根據(jù)所要求的精確度，求1.025的近似值.(精確到0.01). 【解題指南】(1)將6拆成“5+1”，將5拆成“4+1”,進(jìn)而利用 二項(xiàng)式定理求解. (2)把1.025轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，適當(dāng)展開，根據(jù)精確度的要求取必 要的幾項(xiàng)即可.,【規(guī)范解答】(1)46n5n194(6n1)5(5n1) 4(51)n15(41)n1 20(5n1 5n2 )(4n1 4n2 )， 是20的倍數(shù)，所以46n5n19能被20整除. (2)1.025=(1+0.02)5 =1+ 0.02+ 0.022+ 0.023+ 0.024+ 0.025 0.022=0.004, 0.023=810-5 當(dāng)精確到0.01時(shí)，只

16、要展開式的前三項(xiàng)和， 1+0.10+0.004=1.104，近似值為1.10.,【互動(dòng)探究】 將本例(2)中精確到0.01改為精確到0.001如何求解? 【解析】由本例(2)知，當(dāng)精確到0.001時(shí)，只要取展開式的前 四項(xiàng)和, 1+0.10+0.004+0.000 08=1.104 08. 近似值為1.104.,【反思感悟】利用二項(xiàng)式定理證明整除問題時(shí)，首先需注意 (ab)n中，a，b中有一個(gè)是除數(shù)的倍數(shù)；其次展開式有什么規(guī) 律，余項(xiàng)是什么，必須清楚.,【變式備選】1. 7n+ 7n-1+ 7n-2+ 7除以9， 得余數(shù)是多少？ 【解析】 7n+ 7n-1+ 7n-2+ 7 =(7+1)n1=

17、8n1=(9-1)n1=9n- 9n-1+ 9n-2+ (1)n-1 9+(1)n -1 (i)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 原式=9n- 9n-1+ 9n-2+(1)n-1 92 除以9所得余數(shù)為7.,(ii)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 原式=9n- 9n-1+ 9n-2+(1)n-1 9 除以9所得余數(shù)為0，即被9整除.,2.求0.9986的近似值，使誤差小于0.001. 【解析】0.9986(10.002)6 16(0.002)115(0.002)2(0.002)6. 因?yàn)門3 (0.002)215(0.002)20.000 060.001， 且第3項(xiàng)以后的絕對(duì)值都小于0.001，所以從第3項(xiàng)起,以后的項(xiàng) 都可以忽略

18、不計(jì). 所以0.9986=(1-0.002)61+6(-0.002)=1-0.012=0.988.,【易錯(cuò)誤區(qū)】對(duì)展開式中的項(xiàng)考慮不全面致誤 【典例】(2011新課標(biāo)全國卷)(x+ )(2x- )5的展開式中各 項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為( ) (A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40 【解題指南】用賦值法求各項(xiàng)系數(shù)和，確定a的值，然后再求常 數(shù)項(xiàng).,【規(guī)范解答】選D.令x=1，可得(x+ )(2x- )5的展開式 中各項(xiàng)系數(shù)和為1+a， 1+a=2，即a=1. (2x- )5的通項(xiàng)公式 (x+ )(2x- )5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為,【閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：,1.(2011陜西高考)(4x-2-x)6(xR)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是( ) (A)-20 (B)-15 (C)15 (D)20 【解析】選C.Tr+1= (4x)6-r(-2-x)r = 22x(6-r)(-1)r2-xr = (-1)r212x-3xr 令12x-3xr=0，則r=4，所以T5= (-1)4=15，故選C.,2.(2012柳州模擬)若(