1、garch模型與應(yīng)用簡(jiǎn)介目錄0. 前言 (隨機(jī)序列的條件均值與條件方差簡(jiǎn)介)21. arch與garch模型71.1. 概述71.2 arch(p)模型.91.3. garch(generalized arch) 模型:132. garch模型的參數(shù)估計(jì)162.1. 概述162.2. arch模型的參數(shù)估計(jì)162.2.1. 最小二乘法估計(jì)162.2.2. 極大似然估計(jì)212.3. garch模型的參數(shù)估計(jì)252.3.1. 極大似然估計(jì)252.3.2. 最小二乘估計(jì)273 模型檢驗(yàn)273.1. 條件異方差性檢驗(yàn)283.2. arch模型檢驗(yàn)303.3. garch模型階數(shù)檢驗(yàn)324. garch

2、模型的應(yīng)用334.1. 在(自)回歸分析中的應(yīng)用334.2. 在區(qū)間預(yù)報(bào)中的應(yīng)用354.3. 在風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用384.4. 在風(fēng)險(xiǎn)分位值中的應(yīng)用425. 實(shí)例436 某些新進(jìn)展466.1 某些改進(jìn)模型476.1.1. b-garch模型476.1.2 指數(shù)garch模型:476.1.3. 多元garch模型:486.2. garch模型的重尾概率特性496.3. 對(duì)var的改進(jìn)51參考文獻(xiàn)51附錄（sas）：510. 前言 (隨機(jī)序列的條件均值與條件方差簡(jiǎn)介)考察嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列yt, 且e|yt|. 記其均值eyt=m,協(xié)方差函數(shù)gk=e(yt-m)(yt+k-m). 其條件期望(或條件均值

3、): e(ytyt-1,yt-2,)j(yt-1,yt-2,), (0.1)依條件期望的性質(zhì)有ej(yt-1,yt-2,)=ee(ytyt-1,yt-2,)= eyt =m. (0.2)記誤差(或殘差): et yt -j(yt-1,yt-2,). (0.3)由(0.1)(0.2)式必有: eet=eyt-ej(yt-1,yt-2,) =eyt-eyt=0, (0-均值性) (0.4)及eet2=eyt -j(yt-1,yt-2,)2 =e(yt-m)-j(yt-1,yt-2,)-m2 (中心化) =e(yt-m)2+ej(yt-1,yt-2,)-m2-2e(yt-m)j(yt-1,yt-2,

4、)-m =g0+varj(yt-1,yt-2,)-2ee(yt-m)j(yt-1,yt-2,)-myt-1,yt-2,( 根據(jù) ex=eexyt-1,yt-2, ) =g0+varj(yt-1,yt-2,)-2ej(yt-1,yt-2,)-me(yt-m)yt-1,yt-2,( 再用 exy( yt-1,yt-2,)yt-1,yt-2,=y( yt-1,yt-2,) exyt-1,yt-2,;并取x= (yt-m), y( yt-1,yt-2,)=j(yt-1,yt-2,)-m;由(0.1)(0.2)可得 )=g0+varj(yt-1,yt-2,)-2ej(yt-1,yt-2,)-m2 =g0

5、-varj(yt-1,yt-2,). (0.5)即有: g0=var(yt)=var(j(yt-1,yt-2,)+var(et). (0.6)此式表明, yt的方差(=g0)可表示為: 回歸函數(shù)的方差(var(j(yt-1,yt-2,), 與殘差的方差(var(et)之和. 下邊討論et的條件均值與條件方差.為了符號(hào)簡(jiǎn)便, 以下記ft-1=yt-1,yt-2,.首先考慮et的條件均值: e(etft-1)=eyt-j( yt-1,yt-2,) ft-1=e(yt ft-1)- ej( yt-1,yt-2,) ft-1= j( yt-1,yt-2,)- j( yt-1,yt-2,)=0. (0.

6、7)再看條件方差:var(etft-1)=eet- e(etft-1)2 ft-1 = eet2 ft-1 (用(0.7)式) s2(yt-1,yt-2,). (0.8)此處s2(yt-1,yt-2,)為條件方差函數(shù). 注意, et的條件均值是零, 條件方差是非負(fù)的函數(shù)s2(yt-1,yt-2,), 它不一定是常數(shù)! 依(0.3)式, 平穩(wěn)隨機(jī)序列yt總有如下表達(dá)式:yt = j( yt-1,yt-2,)+et, (0.9) 其中j(yt-1,yt-2,)被稱為自回歸函數(shù), 不一定是線性的. et可稱為新息序列, 與線性模型的新息序列不同, 除非yt是正態(tài)序列. 順便指出, 滿足(0.4)式的

7、et為鞅差序列, 因?yàn)閷?duì)它的求和是離散的鞅序列. 由于yt是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列, 且e|yt|0. (1.2)換句話說(shuō), 考慮如下的(0.9)模型yt=et, (1.3) 它的標(biāo)準(zhǔn)化的模型(0.12)為 yt=s(yt-1,yt-2,)et. (1.4)請(qǐng)注意, 這一模型幾乎含蓋了所有的條件異方差模型. 我們不可能泛泛地討論它. 再請(qǐng)回看對(duì)鞅差序列et的限制的歷程, 以下我們要講的恰好是:“et=s(yt-1, yt-2, )et，但et為i.i.d. n(0,2)序列,而且s(yt-1, yt-2, )為有限參模型, (1982-).再新的內(nèi)容, 我們也將提到. 至此, 大家完全明白我們將要討論

8、什么樣的序列.為說(shuō)明該序列的某些特征, 先看一看序列et的自協(xié)方差函數(shù)序列: ge(k)=eet+ket= ee(et+ketet+k-1,et+k-2,) = eete(et+ket+k-1,et+k-2,) = eet0=0, k1.可見, 平穩(wěn)鞅差序列也是白噪聲. 根據(jù)自協(xié)方差序列做平穩(wěn)序列的建模和譜分析時(shí), 除了判斷j(yt-1,yt-2,)=0外, 幾乎無(wú)話可說(shuō). 換句話說(shuō), 相關(guān)性分析和譜分析不能對(duì)(1.4)式的序列作出更深刻的分析. 為了進(jìn)一步獲得它的深入的結(jié)構(gòu)特征, 必須引入新的概念和新的方法.1.2 arch(p)模型. (arch- autoregressive condi

9、tional heteroscedasticity)在金融界, 大量的數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)不可預(yù)報(bào)性, 相當(dāng)于前面的(0.9)或(0.12)式中的j(yt-1,yt-2, )=0, 于是有興趣研究(1.4)模型. engle(1982)首先提出并使用了如下的有限參數(shù)模型: yt=s(yt-1, yt-2, )et ht1/2 et, (1.5) ht=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2, (1.6)a00, ai0, i=1,2,p.其中et為i.i.d.的序列, etn(0, 1), 且et與yt-1, yt-2, 獨(dú)立, 為了簡(jiǎn)化記號(hào), 記ht=s2(yt-1, yt-2, ).

10、 此模型被稱為自回歸條件異方差模型, 簡(jiǎn)記arch(p),其中p表示模型的階數(shù). 很明顯, 此模型只是普遍適用的(1.4)式模型的子類, 因?yàn)? 在arch模型中對(duì)模型(1.4)添加了很多的人為限制. 為了增進(jìn)對(duì)arch模型的了解, 我們將作幾點(diǎn)明, 以代替嚴(yán)格的推理論述.其一, 限定et為i.i.d.序列! 這是很強(qiáng)的限制, 這是由于現(xiàn)有理論的基礎(chǔ)所限. 其二, 限定條件方差有(1.6)式的簡(jiǎn)單形式, 即ht=s2(yt-1, yt-2, )=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2,是為了統(tǒng)計(jì)分析方便. 其三, 限定et服從正態(tài)分布, 是為了求極大似然估計(jì)方便. 限制 etn(

11、0, 1), 而不用 etn(0, s2), 是因?yàn)閑t滿足標(biāo)準(zhǔn)化的模型(0.11)式.其四, 限制 a00, ai0, i=1,2,p, 是為了保證條件方差函數(shù)ht=s2(yt-1, yt-2, )0. 限制 a00, 而不是a00, 這是為了保證模型(1.5)(1.6)有平穩(wěn)解, 否則, 當(dāng)a0=0時(shí)它沒(méi)有平穩(wěn)解! 這可從以下簡(jiǎn)單例子看出. 考查如下arch(1) 模型:ht=a1 yt-12,將它代入(1.5)式得yt=ht1/2 et=(a1 yt-12)1/2 et,將它兩邊平方得 yt2=a1yt-12et2,將它兩邊取對(duì)數(shù)得log(yt2)=log(a1)+log(yt-12)+

12、log(et2), (1.7)記xt=log(yt2), c=log(a1), ht=log(et2)(仍為i.i.d.序列), 上式為xt = c+ xt-1+ ht,這不是熟知的一元ar(1)模型嗎? 而且不滿足平穩(wěn)性條件! 所以, 沒(méi)有平穩(wěn)解. 從而模型(1.5)也沒(méi)有平穩(wěn)解.其五, 為使arch模型有平穩(wěn)解, 對(duì)系數(shù)ai(i=1,2,p)還要加限制. 較早的限制(也是較強(qiáng))是 a1+a2+ap0, ai0, i=1,2,p.易見, (1.5)式與(1.5)式是等價(jià)的. 其七, arch模型有不同的變形形式. 仿(1.7)式的做法, 即將(1.5)式兩邊平方, 再將(1.6)式代入其中可

13、得yt2=htet2=(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2)et2 =(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2)(1+et2-1) =a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+(et2-1)(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2) =a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+ ht(et2-1) =a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+ wt , (1.9)對(duì)序列yt2而言, 此式很像線性ar(p)模型, 其中wt=ht(et2-1)是一個(gè)平穩(wěn)的鞅差序列, 因?yàn)閑wt|yt-1,yt-2, =eht(et2

14、-1)|yt-1,yt-2, = ehtet2|yt-1,yt-2, -eht|yt-1,yt-2, = hteet2|yt-1,yt-2, -eht|yt-1,yt-2, (依(1.6)= ht - ht =0. (1.10)用(1.9)式和線性ar(p)模型的求解方法, 可得yt2的平穩(wěn)解. 但是, 從原理上說(shuō), 得到了yt2的解, 還不能說(shuō)就得到了原序列yt的解. 好在當(dāng)我們只關(guān)心yt的條件方差時(shí), 有了yt2的解也足夠用了. (1.9)式的變形方式是嚴(yán)格的, 可放心地使用它. 所謂使用它, 就是將原數(shù)據(jù)平方后得到 y12 , y22 , , yt2, 對(duì)它們建立ar(p)模型, 便得到

15、參數(shù)a0,a1,ap的一種估計(jì).如果對(duì)yt2=htet2兩邊取對(duì)數(shù)可得 log(yt2)=log(ht)+log(et2) =log(a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2)+log(et2)記x(t)=log(yt2), c=elog(et2), ht=log(et2)-c, 于是上式可寫成x(t)=c+log(a0+a1ex(t-1)+a2ex(t-2)+ap ex(t-p)+ ht. 于是又得到arch模型的另一種變形. 此式是關(guān)于序列x(t)的非線性自回歸模型, 注意, 上式中的序列ht是i.i.d.的. 此外, arch模型還有別的表示方法, 不再一一介紹了.其八, 根

16、據(jù)數(shù)據(jù)y1,y2,yt, 要作自回歸條件異方差模型的統(tǒng)計(jì)分析, 包含兩項(xiàng)內(nèi)容, 首先是用假設(shè)檢驗(yàn)方法, 判別這些數(shù)據(jù)是否有條件異方差條件性, 即, s(yt-1, yt-2, )=常數(shù)? 如果是否定回答, 第二項(xiàng)內(nèi)容就是對(duì)arch模型未知參數(shù)的估計(jì). 在第2節(jié)中, 我們將介紹參數(shù)的估計(jì)方法, 在第3節(jié)中, 介紹檢驗(yàn)方法.1.3. garch(generalized arch) 模型:在engle(1982)提出arch模型后, 受到應(yīng)用者的關(guān)注, 特別是金融界. 稍后幾年, 也被時(shí)間序列分析理論研究所重視. 從前面對(duì)新息序列et限制條件的放寬過(guò)程可見, 提出arch模型, 無(wú)疑是對(duì)時(shí)間序列分析

17、理論和應(yīng)用研究有開拓性的意義. 在對(duì)arch模型的理論研究和應(yīng)用中, 人們自然會(huì)發(fā)問(wèn): 在(1.6)式中, yt的條件方差s2(yt-1, yt-2, ) ht=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2, 只依賴于p個(gè)歷史值, 能否考慮依賴全部歷史值的情況? bollerslev(1986)給出了回答, 他提出了如下的更廣的模型, 即garch模型:yt=s(yt-1, yt-2, )et ht1/2 et, (1.11)ht=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+b1ht-1+bqht-q, (1.12)a00, ai0, i=1,2,p; bj0, j=1,2,

18、q. (1.13)其中et為i.i.d.的n(0,1)分布, 且et與 yt-1, yt-2, 獨(dú)立.對(duì)此garch模型作如下說(shuō)明:其一, 利用(1.12)式反復(fù)迭代可得知, ht= s2(yt-1, yt-2, )確實(shí)依賴序列的全部歷史值, 但是, ht僅依賴有限個(gè)參數(shù).其二, 在1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng), 被兩位研究期權(quán)定價(jià)理論的black-scholes方程的學(xué)者獲得. 從理論上人們發(fā)現(xiàn), black-scholes方程的解是連續(xù)時(shí)間變化的隨機(jī)過(guò)程, 對(duì)它進(jìn)行等間隔離散化采樣, 所得到的序列, 恰好滿足garch模型. 于是, garch模型更被認(rèn)可, 而且, 金融界特別偏愛garch模

19、型.其三, 如前所述, (1.13)式的條件 a00, 仍不能放寬為a00. 而且, (1.13)式中的條件 ai0, i=1,2,p, 還應(yīng)附加一個(gè)限制: a1+a2+ ap0, 否則如果全部 ai=0 (i=1,2,p)將導(dǎo)致(1.12)式的ht為常數(shù)(仍用迭代法可證明). 這一點(diǎn)未在文獻(xiàn)中指出, 一個(gè)潛在原因是: 應(yīng)用者默認(rèn)p 1, 且ap0. 其四, 與對(duì)arch模型的說(shuō)明中的其五很類似, 為使garch模型有平穩(wěn)解, 對(duì)系數(shù)ai(i=1,2,p)和bj0, j=1,2,q. 還要加限制. 較早的限制(也是較強(qiáng))是 a1+ap+b1+ bq p時(shí)ak=0; 當(dāng)kq時(shí)bk=0, wt=h

20、t(et2 1). 如前所述wt是平穩(wěn)鞅差序列, 所以, 以上表達(dá)式說(shuō)明, ht是由wt驅(qū)動(dòng)的平穩(wěn)arma序列. 以上模型不僅表達(dá)了garch模型的結(jié)構(gòu)特性, 而且, 依此可借助于平穩(wěn)arma序列建模方法, 得到garch模型參數(shù)的一種簡(jiǎn)單的估計(jì)方法. 關(guān)于garch模型的參數(shù)估計(jì) 和檢驗(yàn)方法, 分別在第2節(jié)和第3節(jié)中介紹.2. garch模型的參數(shù)估計(jì)2.1. 概述在實(shí)際應(yīng)用中, 人們擁有序列觀測(cè)值y1,y2,yn , 如果要為它們建立garch模型, 將面對(duì)著下列問(wèn)題: 為什么要建立garch模型? 用多少階數(shù)的模型? 怎樣獲得模型的參數(shù)值? 回答了這些問(wèn)題, 就解決了為garch模型建模

21、的問(wèn)題. 前兩個(gè)問(wèn)題將在下一節(jié)中討論, 這一節(jié)只討論模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題, 換言之, 討論在模型階數(shù)已知時(shí), 如何根據(jù)觀測(cè)值y1,y2,yn, 估計(jì)出garch(或者arch) 模型的參數(shù). 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有多種方法可以用來(lái)解決這一問(wèn)題, 這里只介紹兩種估計(jì)方法. 一種是比較簡(jiǎn)單的方法, 另一種是熟知的極大似然估計(jì)方法. 前一種估計(jì)可能不如后者精細(xì), 但是它可作為用迭代法求取后者時(shí)的初始值. 另外, 對(duì)arch和garch模型而言, 它們的參數(shù)估計(jì)方法的難易程度有明顯差異, 所以, 我們將分別予以介紹.2.2. arch模型的參數(shù)估計(jì)2.2.1. 最小二乘法估計(jì)最小二乘法是非常熟悉的方法，此方法是基

22、于最小二乘原理。我們先指出在此可以使用此原理的依據(jù)， 為此不妨以arch（1）模型為例說(shuō)明之。依(1.9)式知， 滿足arch(1)模型的序列 yt必滿足以下模型yt 2=a0+a1yt-12+ wt , (2.1)其中wt是鞅差序列，而且wt= ht(et2-1), 于是有e wt| yt-12=e ht(et2-1) | yt-12 = ht e(et2-1) | yt-12 = ht eet2 | yt-12- ht = ht eet2 - ht = ht - ht=0. (a.s.) (2.2)利用此式可得知， eyt 2-a0-a1yt-122= e a0+a1yt-12+ wt -

23、a0-a1yt-122 = e(a0- a0)+(a1- a1)yt-12+ wt 2= e(a0- a0)+(a1- a1)yt-122 + ewt 2 +2 e(a0- a0)+(a1- a1)yt-12wt= e(a0- a0)+(a1- a1)yt-122 + ewt 2 +2ee(a0- a0)+(a1- a1)yt-12wt| yt-12= e(a0- a0)+(a1- a1)yt-122 + ewt 2 +2ee(a0- a0)+(a1- a1)yt-12ewt| yt-12=e(a0- a0)+(a1- a1)yt-122+ewt 2 (by(2.2)= e(a0-a0)+(a

24、1-a1)yt-122 + eht(et2-1)2= e(a0-a0)+(a1-a1)yt-122 + eht2e(et2-1)2 eht2e(et2-1)2=c. (依平穩(wěn)性)易見，上式中的=號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)(a0-a0)=(a1-a1)=0. 此事實(shí)表明，mine(yt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=eyt2-a0-a1yt-122. (2.3)此式表明，用所有可能的系數(shù)擬合(2.1)模型時(shí)，只有以其真系數(shù)擬合，才使擬合參差的方差最?。≡趯?shí)際應(yīng)用時(shí)，我們沒(méi)有(2.1)式中的確切的概率分布，但是，我們有序列 yt 2的觀測(cè)數(shù)據(jù)y1,y2,yn , 根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)性原理-大數(shù)定律

25、，(2.3)式的最小化特征，用樣本平均代替之， 隨著樣本個(gè)數(shù)的增加將近似成立。換言之，求解以下最小化問(wèn)題之解， 即min(n-1)-1t=2n(yt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=(n-1)-1t=2n(yt2-a0*-a1*yt-12)2, 顯然, 此問(wèn)題等價(jià)于如下的最小化問(wèn)題mint=2n(yt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=t=2n(yt2-a0*-a1*yt-12)2. (2.4)以其解(a0*,a1*)作為真參數(shù)(a0,a1)的估計(jì)，稱它們?yōu)樽钚《斯烙?jì)。這就是使用最小二乘原理的依據(jù)。以上論述不難推廣到一般的arch(p) 模型，除了符號(hào)的繁瑣外，并無(wú)本質(zhì)差異

26、。這里只強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：對(duì)arch(1)使用最小二乘原理時(shí)，殘差項(xiàng)wt與yt-1相互獨(dú)立且ewt=0是常見的條件，至少也要滿足條件e wt| yt-12=0(a.s.)。這一點(diǎn)對(duì)一般情況也適用?，F(xiàn)在介紹arch(p)模型參數(shù)最小二乘估計(jì)方法。首先重新寫出(1.9)式y(tǒng)t2=a0+a1yt-12+a2yt-22+apyt-p2+ wt , t=p+1,p+2,n. (2.5)在此特別強(qiáng)調(diào)足標(biāo)t 的取值范圍，只是為了模型中的yt-p都落在我們的數(shù)據(jù)序列中。依前所述，未知參數(shù)a=(a0，a1，a2, , ap)t的最小二乘估計(jì)a*，就是如下的最小值問(wèn)題的解，即mint=2n(yt 2-a0-a1yt-12

27、-a2yt-22-ap yt-p2)2: a0,a1,ap=t=2n(yt 2-a0*-a1*yt-12-ap*yt-p2)2, (2.6)取最小二乘估計(jì)a*= (a0*,a1*, ap*)t 。欲給出(a0*,a1*, ap*)t的表達(dá)方式，既可用分析方法，又可用代數(shù)方法?，F(xiàn)在使用后一方法,為此將(2.5)式改寫成y=xa+w， (2.7)其中y=(yp+12,yp+22,yn2)t, w=(wp+12,wp+22,wn2)t,x=.當(dāng)以a=(a0,a1,a2,ap)t 為自由參數(shù)向量時(shí), 于是有t=p+1n(yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)2=|y-xa|

28、2= (y-xa)t (y-xa) = yty - ytxa - atxty +atxtxa =(xtxa-xty)t (xtx)-1(xtxa-xty) + yty(xty)t (xtx)-1(xty)yty(xty)t(xtx)-1(xty),其中用到了以下的矩陣性質(zhì) (xtxa-xty)t (xtx)-1(xtxa-xty)0.由前一式可知, (2.6)式的最小值解必滿足xtxa-xty=0. 現(xiàn)在求解xtxa-xty=0, 即xtxa=xty, 其解為a*=(xtx)-1xty. (2.8)注意, 上式右邊的矩陣x和向量y, 都是由已知數(shù)據(jù)量組成的, 計(jì)算(xtx)-1和(xtx)-1

29、xty, 有許多軟件可供使用. 當(dāng)然,也可以自行編程序計(jì)算之. 自回歸模型(1.9)的系數(shù)的最小二乘估計(jì), 被(2.8)式明顯的表達(dá)出, 而且便于計(jì)算. 這一優(yōu)越性是自回歸模型所特有的, 因此, 自回歸模型在時(shí)間序列分析中問(wèn)世最早. 類似地, engel(1982)最先引入的條件異方差模型, 又是自回歸型的條件異方差模型-arch模型, 也是基于這一便于使用的優(yōu)點(diǎn). 稍后幾年才由bollerslev(1986)提出更一般的garch模型.在時(shí)間序列分析中, 自回歸模型系數(shù)的最小二乘估計(jì), 有很多優(yōu)良性質(zhì), 這已經(jīng)被研究得很完美了. 但是, 將它用于arch模型系數(shù)估計(jì), 這些優(yōu)良性質(zhì)不一定具有

30、了. 在此, 我們僅指它的優(yōu)缺點(diǎn). 其優(yōu)點(diǎn)是: 易理解, 易計(jì)算; 缺點(diǎn)是: 欠精細(xì), 缺少某些優(yōu)良性質(zhì). 欠精細(xì)是相對(duì)極大似然估計(jì)而言的, 詳見后文. 缺少某些優(yōu)良性質(zhì), 是指在使用最小二乘估計(jì)方法時(shí), 還需要條件e(yt2)20,a10,ap0; (yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)0=t=2n(yt 2-a0+-a1+yt-12-ap+yt-p2)2, (2.9)取估計(jì)a*= (a0+, a1+, ap+)t 。這里敘述此方法的目的有三點(diǎn)可言, 其一, 這是最有效的保證估計(jì)的分量都是非負(fù)的;其二,有多種方法可獲得arch模型系數(shù)的估計(jì);其三,除了最小二乘估

31、計(jì),都不易計(jì)算, 比如(2.9)式的求解問(wèn)題, 就是典型的優(yōu)化求解問(wèn)題, 其計(jì)算的復(fù)雜性可想而知.2.2.2. 極大似然估計(jì)對(duì)于序列y1,y2,yn , 如果它們的聯(lián)合分布的形式已知, 其中只有有限個(gè)參數(shù)未知, 那么, 尋求合適的參數(shù)值, 使得其分布在這些觀測(cè)值y1,y2,yn處達(dá)到最大值, 稱其為極大概率估計(jì)方法. 其合理性是不言而喻的. 相對(duì)其它方法, 可算是精細(xì)些. 當(dāng)然, 其前提是聯(lián)合分布的形式已知的. 簡(jiǎn)而言之, 如果已知聯(lián)合分布密度函數(shù)時(shí), 使用上述的極大概率估計(jì)方法, 應(yīng)改為尋求合適的參數(shù)值, 使得其分布密度函數(shù)在這些觀測(cè)值y1,y2,yn處達(dá)到最大值, 稱其為極大概率密度估計(jì)方

32、法. 此情況有更廣的應(yīng)用背景, arch模型數(shù)估計(jì)就屬于此情況. 再進(jìn)一步, 如果已知聯(lián)合分布密度函數(shù)呈現(xiàn)指數(shù)形式, 改為尋求合適的參數(shù)值, 使得其分布密度函數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)(此函數(shù)被稱為似然函數(shù)), 在這些觀測(cè)值y1,y2,yn處達(dá)到極大值, 稱其為極大似然估計(jì)方法. 用極大化似然函數(shù)代替分布密度函數(shù), 只是討論和應(yīng)用時(shí)有方便之處, 并無(wú)本質(zhì)區(qū)別. 極大化似然方法是統(tǒng)計(jì)學(xué)中熟知的, 重要的方法.依上所述, 使用極大似然估計(jì)方法, 有兩個(gè)關(guān)鍵步驟: 一是, 找出y1,y2,yn的聯(lián)合分布密度函數(shù), 它僅依賴有限個(gè)未知參數(shù), 由此易得其似然函數(shù); 二是, 尋找使似然函數(shù)達(dá)到極大值的參數(shù), 即參數(shù)的極

33、大似然估計(jì). 一般說(shuō)來(lái), 第一步僅是細(xì)心的推理, 第二步是精心的計(jì)算, 而且常常要使用近似的迭代算法. 以下介紹arch模型參數(shù)的極大似然估計(jì), 就要對(duì)此兩步作具體敘述.第一步: 根據(jù)arch模型的假定, 再使用條件概率密度的公式可得知, y1,y2,yn的聯(lián)合分布密度函數(shù)f(y1,y2,yn)= f(y), y=(y1,y2,yn)t,有以下表達(dá)式 f(y)=f(y1,y2,yn)=f(yn|y1,y2,yn-1)f(y1,y2,yn-1) (依條件密度公式)= (2phn)-1/2exp- yn2/2hn f(y1,y2,yn-1) (依(1.5)式和etn(0, 1), 且en與yn-1

34、, yn-2, 獨(dú)立)=(2p (a0+a1yn-12+apyn-p2)-1/2exp-yn2/2(a0+a1yn-12+apyn-p2) f(y1,y2,yn-1) (依(1.6)式)=t=p+1n(a0+a1yt-12+apyt-p2)-1/2exp-yt2/2(a0+a1yt-12+apyt-p2)f(y1,y2,yp)(2p)-(n-p)/2. (依反復(fù)遞推) (2.10)記其對(duì)數(shù)函數(shù)為l(a)=log f(y1,y2,yn)=-(1/2) t=p+1nlog(a0+a1yt-12+apyt-p2)+ yt2/(a0+a1yt-12+apyt-p2)+logf(y1,y2,yp)+lo

35、g(2p)-(n-p)/2.(2.11)忽略上式中的常數(shù)項(xiàng)和常數(shù)因子-(1/2), 再記 l(a)= t=p+1n lt(a)-log f(y1,y2,yp), (2.12)其中l(wèi)t(a)=log(a0+a1yt-12+apyt-p2)+ yt2/(a0+a1yt-12+apyt-p2).顯然, l(a)與l(a)只相差常數(shù)加項(xiàng), 所以, 求解l(a)的最大值解, 等價(jià)于求解l(a)的最小值解. 以后我們總是考慮后者. 在上述諸式中, f(y1,y2,yp)是y1,y2,yp的聯(lián)合分布密度函數(shù), 為了使用極大似然估計(jì)方法, 也應(yīng)當(dāng)將它表達(dá)成依賴于y1,y2,yp和a0,a1,ap的明確形式.

36、這不是一件容易的事情! 僅以p=1為例, 即可說(shuō)明其難點(diǎn)所在. 此時(shí)只須求出y0和y1所滿足的共同的分布密度數(shù), 并使得它們滿足關(guān)系式 y1=(a0+a1y02)1/2e1, etn(0, 1), 且et與y0獨(dú)立.此問(wèn)題看似簡(jiǎn)單, 但是很難解答. 舉此例的目的, 還在于提請(qǐng)注意, 當(dāng)etn(0, 1)時(shí), 由它驅(qū)動(dòng)生成的平穩(wěn)ar序列也是正態(tài)分布的, 但是, 由它驅(qū)動(dòng)生成的平穩(wěn)arch序列不是正態(tài)分布的. 因?yàn)? 在ar模型中, et以加項(xiàng)形式出現(xiàn), 在arch模型中, et以乘積因子形式出現(xiàn)(見(1.5)式). 然而, 在(2.10)式中, 人們?nèi)菀渍`以為f(y1,y2,yn)是正態(tài)分布的連

37、乘積形式, 所以它是多元正態(tài)密度. 其實(shí), 因子f(y1,y2,yp)不是正態(tài)的密度函數(shù)(這一點(diǎn)容易被忽視), 所以 f(y1,y2,yn)也不是正態(tài)的.第二步: 尋求極大似然估計(jì), 就是尋求使(2.11)式中l(wèi)(a)取最大值的a, 等價(jià)于尋求使(2.12)式中l(wèi)(a)取最小值的a. 很明顯, 此極大似然估計(jì)沒(méi)有如同(2.8)式的顯示表達(dá)式, 于是只能尋找近似的數(shù)值解法. 由于l(a)有很好的解性質(zhì), 求(2.12)式中l(wèi)(a)的最小值, 可求 l(a)/a=0的解. 即使如此, 也還很難求解. 進(jìn)一步還要使用其它近似手段, 即將未知項(xiàng)log f(y1,y2,yp)從(2.12)式中忽略掉,

38、尋求 t=p+1n lt(a)/a=0 (2.13)的解, 其中l(wèi)t(a)/a=log(a0+a1yt-12+apyt-p2)/a +yt2/(a0+a1yt-12+apyt-p2)/a. (2.14)請(qǐng)注意, lt(a)/a是向量, 所以(2.13)式是(p+1)元代數(shù)方程組, 利用(2.14)式很容易求得lt(a)/a的表達(dá)式, 而且 lt(a)/a有很簡(jiǎn)單的形式, 但是, 它是非線性的, 所以(2.13)式是(p+1)元非線性代數(shù)方程組. 求(2.13)式的數(shù)值解法, 是計(jì)算數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單問(wèn)題, 即可使用已有的軟件, 亦可自行編程計(jì)算, 這里從略.2.3. garch模型的參數(shù)估計(jì)2.3.

39、1. 極大似然估計(jì)在這一小節(jié), 先介紹極大似然估計(jì), 因?yàn)檫@與前面聯(lián)系緊密. 如前所述, garch模型的參數(shù)估計(jì), 要比arch模型復(fù)雜. 其復(fù)雜性表現(xiàn)在: garch模型的參數(shù)估計(jì)不僅沒(méi)有顯示的表達(dá)式, 而且, 其似然函數(shù)也沒(méi)有顯示的表達(dá)式, 只有迭代計(jì)算公式. 這一特點(diǎn), 對(duì)求解極大似然估計(jì)的算法, 不帶來(lái)實(shí)質(zhì)困難, 但是在敘述它時(shí), 會(huì)繁瑣些. 現(xiàn)在敘述garch模型似然函數(shù). 仿照(2.10)式可得f(y)=f(y1,y2,yn) =f(yn|yn-1,.,yn-p; hn, hn-q+1)f(yn-1,.,yn-p; hn, hn-q+1) = (2phn)-1/2exp- yn2

40、/2hn f(yn-1,.,yn-p; hn, hn-q+1) =t=1n(2pht)-1/2exp-yt2/2ht f(y0,.,y-p+1; h1, h-q+2). (2.15)仿照(2.12)式又有l(wèi)(q)= t=p+1n lt(q)+log f(y0,.,y-p+1; h1, h-q+2), (2.16)其中l(wèi)t(q)=log ht + yt2/ht , q=(a0,a1,ap;b1,bq)t.再仿照(2.13)式和(2.14)式, 在求解garch模型參數(shù)的極大似然估計(jì)時(shí), 近似為求解如下的方程組之解, 即 t=p+1n lt(q)/q=0 (2.17)的解, 其中l(wèi)t(q)/q=l

41、og ht/q +(yt2/ht )/q = ht-1(ht/q)(1- yt2/ht). (2.18)在以上各式中, 雖然都是明確的表達(dá)式, 但是, (ht/q)尚未被表達(dá)出來(lái), 實(shí)際上無(wú)法用顯式表達(dá)它. 幸運(yùn)的是, 它有遞推關(guān)系式可利用. 在設(shè)計(jì)求解方程(2.17)式時(shí), 有遞推關(guān)系式也足夠了. 記zt=(1,yt-12, yt-22, yt-p2; ht-1, ht-2, ht-q)t,于是可得出(ht/q)的遞推關(guān)系式如下ht/q=zt+k=1qbk(ht-k/q). (2.19)雖然有(2.19)式可用, 但是, 此迭代公式的初始值 h1/q, h0/q, , h-q+2/q仍然未有

42、明顯表達(dá)式. 在實(shí)際應(yīng)用時(shí), 常用零值作為它們的近似值使用, 于是可求得近似的極大似然估計(jì)值. 當(dāng)然, 求解過(guò)程又常用迭代算法, 這里從略.2.3.2. 最小二乘估計(jì)對(duì)garch模型參數(shù)使用最小二乘估計(jì)方法, 也同樣遇到像極大似然估計(jì)類似的麻煩. 在此, 我們推薦使用平穩(wěn)的arma模型參數(shù)的矩估計(jì)方法. 細(xì)節(jié)可參看有關(guān)著作. 盡管如此, 當(dāng)q值較大時(shí), 其算法也不比極大似然估計(jì)更方便. 所以, 最多使用的仍是極大似然估計(jì)方法.3 模型檢驗(yàn)根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)y1,y2,yn , 判斷所要擬合的模型是否適用, 稱為模型檢驗(yàn). 在為數(shù)據(jù)y1,y2,yn建立模型時(shí), 一般都應(yīng)當(dāng)進(jìn)行模型檢驗(yàn). 對(duì)于garch模型也不例外. 所謂模型檢驗(yàn), 有在建立模型前進(jìn)行的, 有在之后進(jìn)行的. 對(duì)于garch模型來(lái)說(shuō), 在為數(shù)據(jù)y1,y2,yn建立garch模型前, 首先應(yīng)