1、第二章 一階微分方程的初等積分法,Integrated Method of First Order ODE,2020/7/22,1,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,2.4 一階隱式微分方程及其參數(shù)表示,/Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/,變量分離、線性、恰當(dāng)方程等,能解出,轉(zhuǎn)化,不能解出 或解出形式復(fù)雜,轉(zhuǎn)化,引進(jìn)參數(shù)變量變換,熟練掌握,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter representation,2020/7/22,3,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,一、

2、 能解出 y (或 x )的方程,這里假設(shè)函數(shù) 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。,解法：引進(jìn)參數(shù) ，則(2.4.1)變?yōu)?兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)，并把 代入，得,關(guān)于 x 和 p 顯式方程,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,4,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,若已得出(2.4.3)的通解形式為, 代入(2.4.2)得,就是(2.4.1)的通解。,(ii) 若得出(2.4.3)通解形式為 ，則原方程(2.4.1),有參數(shù)形式的通解,其中 p 是參數(shù)，c為任意常數(shù)。,(iii) 若求得(2.4.3)通解形式 ，則

3、原方程(2.4.1),其中p是參數(shù),c為任意常數(shù)。,有參數(shù)形式通解,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,5,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,解法,兩邊對 y 求導(dǎo),(2.4.6),若求得為,則(2.4.4)的通解為,若求得為,則(2.4.4)的通解為,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,6,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,解法1：,解出 y,令,得,兩邊對 x 求導(dǎo),例1,求解方程,當(dāng),時

4、，上式乘以 p，得,積分，得,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,7,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,將它代入,因此，方程參數(shù)形式通解,當(dāng) p=0 時, 由,可知，y=0也是方程的解。,解出 x，得,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,8,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,解法2：,解出 x，并把 ，得,兩邊對 y 求導(dǎo),所以，方程的通解為:,此外，還有解 y = 0,2.4 Implici

5、t First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,9,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,解,令,得,兩邊對 x 求導(dǎo)，得,例2,求解方程,將它代入,得方程的通解,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,10,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,方程的通解,再由,得,將它代入,，又得方程的一個解,此解與通解,中的每一條積分曲線均,相切這樣的解我們稱之為奇解,注意:,2.4 Implicit First-Order ODE and Par

6、ameter Representation,2020/7/22,11,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,x,y,o,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,12,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,二 、 不顯含 y ( 或 x 的方程 ),解法：,引入變換,從(2.4.7)得到,則，方程的參數(shù)形式通解為,關(guān)鍵,(or 引入變換,從(2.4.7)得到 ),2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,13,常

7、微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,令,通解為,特殊情形,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,14,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,解法：,引入變換,從(2.4.7)得到,則，方程的參數(shù)形式通解為,(or 引入變換,從(2.4.7)得到 ),若,有實根,則,也是方程的解。,關(guān)鍵,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,15,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,令,通解為,特殊情形,若,有實根,則,也

8、是方程的解。,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,16,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,解,令,則 由方程，得,從而,于是,求解方程,例4,通解為,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,17,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,例5,求解方程,解,把,代入原微分方程,令,得,由此得,且,方程的參數(shù)形式的通解為,此外,也是方程的解。,2.4 Implicit First-Order ODE and

9、 Parameter Representation,2020/7/22,18,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,練習(xí),求解方程,注意觀察方程的解的特點(diǎn),解,通解,奇解,克萊洛方程 Clairant Equation,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,19,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,三 利用變量代換的微分方程積分法,有時方程,就,都不易解出,或者雖能解出,但積分計算比較復(fù)雜，這時，除了引用,適當(dāng)?shù)膮?shù)外，還可以先進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后再,求解，這種方法稱為利用變量代換的微分方程積分法。,但是，如何選擇適當(dāng)?shù)淖兞縼泶鷵Q，沒有一定的規(guī)律,需要在做大量的練習(xí)中積累經(jīng)驗.,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/22,20,常微積分方程-重慶科技學(xué)院-李可人,解,令,則,代入原方程，得,即,克萊洛方程,通解,奇解,例6,求解方程,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,2020/7/