1、3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點,問題：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象有什么關(guān)系？,我們知道，令一個二次函數(shù),的函數(shù)值y0，就得到一元二次方程,問題引入,方程,函數(shù),函 數(shù) 的 圖像,方程的實數(shù)根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,無實數(shù)根,(1,0)、(3,0),(1,0),無交點,1.方程根的個數(shù)就是函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)。,結(jié) 論:,2.方程的實數(shù)根就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。,若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)及相應(yīng)的二次函數(shù)y= ax2+bx+c(a0)的圖象與x軸交點的關(guān)系

2、，上述結(jié)論是否仍然成立？,問題2,有兩個不等的 實數(shù)根x1，x2,有兩個相等實數(shù)根x1=x2,沒有實數(shù)根,一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0）的根與二次函數(shù) y= ax2+bx+c (a0）的圖像有如下關(guān)系：,(x1,0)， (x2,0),(x1,0),沒有交點,二次函數(shù)的圖像與 軸的交點與對應(yīng)的一元二次方程的根的關(guān)系是否可以推廣到一般情形？,結(jié)論：,1.方程根的個數(shù)就是函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù).。,2.方程的實數(shù)根就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。,對于函數(shù)y=f(x) 我們把使f(x)=0的 實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。,方程f(x)=0有實數(shù)根,函數(shù)零點的定義：,等價關(guān)系

3、,注意：函數(shù)的零點不是點！它是數(shù)，它是方程f(x)=0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo).,函數(shù)的零點不是點，它是數(shù),練習(xí)：求下列函數(shù)的零點： （1） ;（2） .,思考：函數(shù) 有幾個零點？能用解方程的辦法解決嗎？,問題6：如果將定義域改為區(qū)間a,b觀察圖象 說一說零點的情況，有什么發(fā)現(xiàn)？有零點的 區(qū)間有何特征？,函數(shù) 的圖象在閉區(qū)間a,b上 連續(xù)不斷,才能保證有零點。,問題8：滿足上述兩個條件，能否確定零點 個數(shù)呢？,有零點，至少有一個，但不確定個數(shù)， 即存在零點。,問題9：不滿足上述條件，是否就沒有零點 呢？,不滿足條件時不能判斷有沒有零點,零點存在定理,注意:,3

4、、不能判斷零點個數(shù)，條件不滿足時不能判斷有沒有零點！,由表和圖可知,f(2)0，,即f(2)f(3)0，,說明這個函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi) 有零點。,由于函數(shù)f(x)在定義域 (0,+)內(nèi)是增函數(shù)，所以 它僅有一個零點。,解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應(yīng)值表 和圖象,4,1.3069,1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,例題1 求函數(shù)f(x)=lnx+2x6的零點個數(shù)。,零點存在定理結(jié)合單調(diào)性就可以判斷零點個數(shù)！,思考：例1能否不用計算器解決呢？,法二：,零點存在定理結(jié)合單調(diào)性就可以判斷零點個數(shù)！,思考：例1能否不用計算

5、器解決呢？,法三：,練習(xí)：P88,1.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：,（1）x23x50；,（2）2x(x2)3；,（3） x2 4x4；,（4）5 x2 2x3 x2 5.,2.利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：,（1）f(x)= x33x+5；,（2）f(x)=2x ln(x2)3；,（3）f(x)=ex1+4x4;,（4）f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x.,(1)解：令f(x)=x23x5, 作出函數(shù)f(x)的圖象，如下：,它與x軸有兩個交點，所以方程x23x50有兩個不相等的實數(shù)根。,1、(1) x23x50,(2)解：2x(x2)3可化為 2x

6、24x30，令f(x)= 2x24x 3 , 作出函數(shù)f(x)的圖象,如下：,它與x軸沒有交點，所以方程2x(x2)3無實數(shù)根。,(2) 2x(x2)3,(3)解：x2 4x4可化為x24x 40，令f(x)= x24x4，作出 函數(shù)f(x)的圖象，如下：,它與x軸只有一個交點，所以方程x2 4x4有兩個相等的實數(shù)根。,(3) x2 4x4,(4)解：5x2 +2x3x2 +5可化為 2x2 2x50，令f(x)=2x2 2x5 , 作出函數(shù)f(x)的圖象， 如下：,它與x軸有兩個交點，所以 方程5x2 +2x3x2 +5有兩個不 相等的實數(shù)根。,(4) 5 x2 2x3 x2 5,(1)解：

7、作出函數(shù)的圖象，如下：,因為f(1)=10,f(1.5)=2.8750, 所以f(x)= x33x+5在區(qū)間(1, 1.5) 上有零點。又因為f(x)是(,） 上的減函數(shù)，所以在區(qū)間(1, 1.5)上有 且只有一個零點。,2、(1) f(x)= x33x+5,利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：,(2)解：作出函數(shù)的圖象，如下：,因為f(3)30,所以f(x)= 2x ln(x2)3在區(qū)間(3,4)上有零點。又因為 f(x) =2x ln(x2)3是(2，）上的增函數(shù)， 所以在區(qū)間(3,4)上有且只有一個零點。,(2) f(x)=2x ln(x2)3,利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：,(3)解：作出函數(shù)的圖象，如下：,因為f(0)3.630,所以f(x)= ex1+4x4 在區(qū)間(0,1)上有零點。又因 為f(x) = ex1+4x4是( ， ）上的增函數(shù)，所以在 區(qū)間(0,1)上有且只有一個零 點。,(3) f(x)=ex1+4x4,利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：,(4)解：作出函數(shù)的圖象，如下：,因為f(4)40, f(2)20, 所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在區(qū)間 (4,3 )、 (3，2,)、 (2,3 )上各有 一個零點。,(4) f(x)=3(