1、 絕對(duì)值的三角不等式；不等式證明的基本方法一、教學(xué)目的1、掌握絕對(duì)值的三角不等式；2、掌握不等式證明的基本方法二、知識(shí)分析定理1 若a，b為實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立。幾何說(shuō)明：（1）當(dāng)ab0時(shí)，它們落在原點(diǎn)的同一邊，此時(shí)a與b的距離等于它們到原點(diǎn)距離之和。（2）如果ab0，則a，b分別落在原點(diǎn)兩邊，a與b的距離嚴(yán)格小于a與b到原點(diǎn)距離之和（下圖為ab0，b0的情況，ab1時(shí)，式ab，式成立。故原不等式成立。證法二：當(dāng)a=b時(shí)，原不等式顯然成立；當(dāng)ab時(shí)，原不等式成立。點(diǎn)評(píng)：此題還可以用三角代換法，復(fù)數(shù)代換法、數(shù)形結(jié)合等證明，留給讀者去思考。例2、設(shè)m等于|a|、|b|和1中最大的一

2、個(gè)，當(dāng)|x|m時(shí)，求證：。思路：本題的關(guān)鍵是對(duì)題設(shè)條件的理解和運(yùn)用，|a|、|b|和1這三個(gè)數(shù)中哪一個(gè)最大？如果兩兩比較大小，將十分復(fù)雜，但我們可以得到一個(gè)重要的信息：m|a|、m|b|、m1。證明：故原不等式成立。點(diǎn)評(píng)：將題設(shè)條件中的文字語(yǔ)言“m等于|a|、|b|、1中最大的一個(gè)”轉(zhuǎn)化為符號(hào)的語(yǔ)言“m|a|、m|b|、m1”是證明本題的關(guān)鍵。例3、函數(shù)的定義域?yàn)?，1且。當(dāng)0，1，時(shí)都有，求證：。證明：不妨設(shè)，以下分兩種情形討論。若則，若則綜上所述點(diǎn)評(píng)：對(duì)于絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的式子，采用加減某個(gè)式子后，重新組合，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)變形，是證明絕對(duì)值不等式的典型方法。例4、已知a0，b0，求證：

3、。思路：如果用差值比較法，下一步將是變形，顯然需要通分，是統(tǒng)一通分，還是局部通分？從題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)看，應(yīng)采取局部通分的方法。證明：原不等式成立。點(diǎn)評(píng)：在上面得到式后，其分子的符號(hào)可由題設(shè)條件作出判斷，但它沒有明顯，所以，變形越徹底，越有利于最后的判斷，本題還可以用比值比較法證明，留給讀者去完成。例5、設(shè)x0，y0，且xy，求證：思路：注意到x、y的對(duì)稱性，可能會(huì)想到重要不等式，但后續(xù)思路不好展開，故我們可采用分析法，從消去分?jǐn)?shù)指數(shù)冪入手。證明：x0，y0，且xy，點(diǎn)評(píng)：在不便運(yùn)用比較法或綜合法時(shí)，應(yīng)考慮用分析法。應(yīng)注意分析法表述方法，其中尋求充分條件的語(yǔ)句常用符號(hào)“”表述。本題應(yīng)用了分析法，既找

4、到了解題思路，又使問題完滿地得到了解決，可謂一舉兩得。例6、已知a、b、cr+，求證：。思路：因不等式的左邊的兩個(gè)因式都可以進(jìn)行因式分解。結(jié)合a、b、cr+的條件，運(yùn)用重要不等式，采用綜合法進(jìn)行證明。解析：即點(diǎn)評(píng)：用重要不等式證明不等式，一要注意重要不等式適用的條件，二要為運(yùn)用重要不等式創(chuàng)造條件。另外，同向不等式相加或相乘，在綜合法中常用到。例7、證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，有思路：采取分析法和比較法二者并用的方法來(lái)處理。證明：用分析法不等式顯然成立，下面證明不等式同號(hào)，即點(diǎn)評(píng)：上述證明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是比較法，兩種方法結(jié)合使用，使問題較容易解決，這一點(diǎn)應(yīng)加以注意。例8、（

5、1）用反證法證明以下不等式：已知，求證p+q2。（2）試證：（n2）。思路：運(yùn)用放縮法進(jìn)行證明。證明：（1）設(shè)p+q2，則p2q，這與=2矛盾，（2），又。將上述各式兩邊分別相加得點(diǎn)評(píng)：用放縮法證明不等式過程中，往往采用添項(xiàng)或減項(xiàng)的“添舍”放縮，拆項(xiàng)對(duì)比的分項(xiàng)放縮，函數(shù)的單調(diào)性放縮，重要不等式放縮等。放縮時(shí)要注意適度，否則不能同向傳遞?！灸M試題】 1、設(shè)a、b是滿足ab0，下面四個(gè)不等式|a+b|a|；|a+b|b|；|a+b|a|b|中，正確的是（） a、和 b、和 c、和 d、和 3、下面四個(gè)式子；中，成立的有（） a、1個(gè) b、2個(gè) c、3個(gè) d、4個(gè) 4、若a、b、cr，且，則下列不

6、等式成立的是（） a、 b、c、 d、 5、設(shè)a、b、cr，且a、b、c不全相等，則不等式成立的一個(gè)充要條件是（） a、a、b、c全為正數(shù) b、a、b、c全為非負(fù)實(shí)數(shù)c、 d、 6、已知a0，1bcb0，則的值的符號(hào)為_。 10、設(shè)a、b、cr+，若，則_。 11、已知x，yr，且，則z的取值范圍是_。 12、設(shè)，求證：。 13、已知a、b是不等正數(shù)，且，求證：。 14、已知，求證：中至少有一個(gè)不小于。 15、設(shè)a、b為正數(shù)，求證：不等式成立的充要條件是：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，有【試題答案】 1、b 2、c 3、c 4、b 5、c 6、d 7、a 8、（，3） 9、負(fù) 10、9 11、 12、證明： 13、證明：a、b是不等正數(shù)，且而一定成立，故成立。 14、證明：用反證法。假設(shè)都