1、24.1.2 垂徑定理,24.1.2垂直于弦的直徑,問題 ：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋, 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？,趙州橋主橋拱的半徑是多少？,問題情境,把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？,可以發(fā)現(xiàn)： 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸,活動(dòng)一,圓的對(duì)稱性及特性,圓也是中心對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱中心就是圓心.,用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到:,一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度,都能與原

2、來的圖形重合.,這是圓特有的一個(gè)性質(zhì):圓的旋轉(zhuǎn)不變性,如圖，AB是O的一條弦，做直徑CD，使CDAB，垂足為E （1）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？,O,A,B,C,D,E,活 動(dòng) 二,（1）是軸對(duì)稱圖形直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸,（2） 線段： AE=BE,?。?把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合， ， 分別與 、 重合,O,A,B,C,D,E,AEBE， ，,即直徑CD平分弦AB， 并且平分及,（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧,推論：,（2)弦的垂直

3、平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧,（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧,垂徑定理的推論,如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所平的弧相等嗎?,老師提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況:,垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等.,挑戰(zhàn)自我,垂徑定理及逆定理,垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.,平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對(duì)的兩條弧.,平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.,弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.,垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平分弦和所對(duì)的另一條弧.,

4、平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.,平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦.,垂徑定理的應(yīng)用,例1 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OECD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.,解:連接OC.,老師提示: 注意閃爍的三角形的特點(diǎn).,解得：R279（m）,解決求趙州橋拱半徑的問題,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.,OA2=AD2+OD2,例2：如圖，用 表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為O

5、，半徑為R經(jīng)過圓心O 作弦AB 的垂線OC，D為垂足，OC與AB 相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是AB 的中點(diǎn)，C是 的中點(diǎn)，CD 就是拱高,2.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？,證明：過O作OEAB，垂足為E， 則AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD,1.在半徑為30的O中，弦AB=36，則O到AB的距離是= ，,練一練,24mm,注意：解決有關(guān)弦的問題，過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也是一種常用輔助線的添法,活 動(dòng) 三,3如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的

6、半徑,O,A,B,E,解：,答：O的半徑為5cm.,4如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形,證明：,四邊形ADOE為矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四邊形ADOE為正方形.,鞏固訓(xùn)練,判斷下列說法的正誤,平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦,平分弦的直線必垂直弦,垂直于弦的直徑平分這條弦,平分弦的直徑垂直于這條弦,弦的垂直平分線是圓的直徑,平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦,在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦， 必平分此弦所對(duì)的弧,分別過弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線，將弦所對(duì) 的兩條弧分別三等分,例3：如圖，圓O的弦AB8 ， D

7、C2，直徑CEAB于D， 求半徑OC的長。,垂徑,直徑MNAB,垂足為E,交弦CD于點(diǎn)F.,例4：如圖，已知圓O的直徑AB與 弦CD相交于G，AECD于E， BFCD于F，且圓O的半徑為 10，CD=16 ，求AE-BF的長。,練習(xí)4:如圖，CD為圓O的直徑，弦 AB交CD于E， CEB=30， DE=9，CE=3，求弦AB的長。,圖中相等的線段有 :,駛向勝利的彼岸,挑戰(zhàn)自我畫一畫,2.已知：如圖,O 中,弦ABCD,ABCD, 直徑MNAB,垂足為E,交弦CD于點(diǎn)F. 圖中相等的線段有 : . 圖中相等的劣弧有: .,弓形的弦長為6cm，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為.,船能過拱橋嗎,1 . 如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨