1、第二章第二章圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程 知識(shí)體系總覽知識(shí)體系總覽 2.12.1 橢圓橢圓 圓錐曲線圓錐曲線 的軌跡定義的軌跡定義 圓錐曲線的幾何特征（圓錐曲線的幾何特征（2.1.12.1.1 閱閱 讀材料）讀材料） 圓錐曲線的截取圓錐曲線的截取 （章導(dǎo)言）（章導(dǎo)言） 坐標(biāo)法 圓錐曲線圓錐曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程 曲線的曲線的 幾何性質(zhì)幾何性質(zhì) 曲線的曲線的 模型應(yīng)用模型應(yīng)用 知識(shí)梳理知識(shí)梳理 1 1、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 （1 1）. .橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)F 1 、F2的距離的和大于的距離的和大于| |F

2、1 F 2 | |這個(gè)條件不可忽視這個(gè)條件不可忽視. . 若這個(gè)距離之和小于若這個(gè)距離之和小于| |F 1 F 2 | |，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于| |F 1 F 2 | |，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F 1 F 2 . . x2y2y2x2 （2 2）. .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 2 2 1 2 2 1（ （ab0 0） abab （3 3）. .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大小：如果橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大?。喝绻鹸項(xiàng)的分母大于項(xiàng)的分母大于y2項(xiàng)的分母，項(xiàng)的分母， 則橢圓

3、的焦點(diǎn)在則橢圓的焦點(diǎn)在 x x 軸上，反之，焦點(diǎn)在軸上，反之，焦點(diǎn)在 y y 軸上軸上. . 2 2、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（ab0 0）. . 22 （1 1） 橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程x y 1 , , 線段線段A 1 A 2 、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸. .它們的長(zhǎng)它們的長(zhǎng) 22 2 ab 分別等于分別等于 2a2a 和和 2b2b， cb2 (2).(2).離心率：離心率： e 1 2 0 0e e1.e1.e 越接近于越接近于 1 1 時(shí)，橢圓越扁；反之，時(shí)，橢圓越扁；反之， e e 越接近于越接近于 0

4、0 時(shí)，橢圓就越接近時(shí)，橢圓就越接近 aa 于圓于圓. . (3)(3)橢圓的焦半徑：橢圓的焦半徑： MF 1 a ex， ，MF 2 a ex. .a = =b+ +c 22x 0 y 0 x2y2 (4).(4).橢圓的的內(nèi)外部點(diǎn)橢圓的的內(nèi)外部點(diǎn)P(x0, y0)在橢圓在橢圓 2 2 1(a b 0)的內(nèi)部 的內(nèi)部 2 2 1 abab 222 (5).(5).焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形PF 1F2 經(jīng)常利用余弦定理經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式、三角形面積公式將有關(guān)線段將有關(guān)線段PF 1 合起來(lái)，建立合起來(lái)，建立PF 1 PF 2 2.1.12.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 典例

5、剖析 題型一橢圓的定義應(yīng)用 例 1： 、PF 2 、2c 2c，有關(guān)角，有關(guān)角F 1PF2結(jié) 結(jié) 、 PF 1 PF 2 等關(guān)系面積公式：等關(guān)系面積公式： SF 1PF2 b tan 2 2 評(píng)析：點(diǎn)P在橢圓上這個(gè)條件的轉(zhuǎn)化常有兩種方法：一是點(diǎn)P橢圓的定義，二是點(diǎn)P滿足橢圓的方程，應(yīng) 該認(rèn)真領(lǐng)會(huì)橢圓定義 題型二橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 例 2：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為（-2，0） ， （2,0）且過(guò)點(diǎn)( , )，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 5 2 3 2 x2y2 解法 1 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 2 1(a b 0)， ab 5353 2222（0）(2） （0） 2 10 由橢圓的定

6、義可知：2a (2） 2222 x2y2 222a 10又c 2,b a c 6所以所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 106 x2y253 22221，將點(diǎn)( ,)代人解得： 解法 2Q c 2,b a c a 4，所以可設(shè)所求的方程為 2 2aa 4 22 x2y2 a 10 所以所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 106 評(píng)析求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程總結(jié)有兩種方法：其一是由定義求出長(zhǎng)軸與短軸長(zhǎng)，根據(jù)條件寫(xiě)出方程；其二是先確 定標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，并將其用有關(guān)參數(shù)a,b表示出來(lái)然后結(jié)合條件建立a,b所滿足的等式，求得a,b的值，再代人 方程 備選題 uuuu ruuu u r 例 3：設(shè)點(diǎn)P 是圓x y 4上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D 的坐

7、標(biāo)為（8，0） ，若點(diǎn)M 滿足PM 2MD當(dāng)點(diǎn)P 在圓 22 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) M 的軌跡方程 uuuu ruuu u r 解設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為x, y，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為x0, y0，由PM 2MD， 得xx0, y y0 28x,y，即x0 3x16，y0 3y 因?yàn)辄c(diǎn) Px0, y0在圓x y 4上，所以x 0 2 y 0 2 4即3x163y 4，22 22 4 16 2 即x y ，這就是動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程 39 22 評(píng)析本題中的點(diǎn) M 與點(diǎn) P 相關(guān)， 我們得到x0 3x16，y0 3y是關(guān)鍵， 利用點(diǎn) P 在x y 4上的條件， 進(jìn)而便求得點(diǎn) M 的軌跡方程，此法稱為代人法 點(diǎn)擊

8、雙基 1、 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在橫軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為，則橢圓方程是（C ） 2 x2y2x2y2x2y2 221 B. 1 C. y 1 D. x 1 A. 433444 2 若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0） ，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（B） x2y2x2y2x2y2x2y2 1 B 1 C 1 D 1 A 91625161625169 22 .與橢圓 9x +4y =36 有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為4 5的橢圓方程是(B ) x2y2x2y2x2y2x2y2 1B1C1D1 A 2520202520458085 22 4、橢圓5x ky 5的一個(gè)焦點(diǎn)坐

9、標(biāo)是(0,2)，那么k _ 1 5、橢圓的焦點(diǎn)為F 1(0,5),F2 (0,5)，點(diǎn)P(3,4)是橢圓上的一個(gè)點(diǎn)，則橢圓的方程為 y2x2169 1；點(diǎn)P(3,4)在橢圓上， 2 2 解：焦點(diǎn)為F 1(0,5),F2 (0,5)，可設(shè)橢圓方程為 2 2 1,a2 40， aa 25aa 25 y2x2 1 所以橢圓方程為 4015 課外作業(yè) 一、選擇題 x2y2 1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一焦點(diǎn)距離為（D ） 1已知橢圓 2516 A 2 B3C5D7 53 2若橢圓的兩焦點(diǎn)為（2，0）和（2，0） ，且橢圓過(guò)點(diǎn)(,)，則橢圓方程是 （ D） 22 22yx A 1 84

10、 22 22yx B 1 106 22yx C 1 48 22 Dx y 1 106 3若方程x+ky =2 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為（ D） A （0，+）B （0，2）C （1，+）D （0，1） 4若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為（C ） x2y2x2y2x2y2x2y2 1 B 1或1 C 1 D以上都不對(duì)A 916251625161625 5橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(1, 0), F2(1, 0)，P 為橢圓上一點(diǎn)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，則該橢圓方程 是（C） 。 y2y2y2y2x2x2x

11、2x2 A1B1C1D1 16916124334 22 6、橢圓mx ny mn 0(m n 0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（C） A、0, m nB、0, m nC、0, n mD、0, n m x2 27已知ABC 的頂點(diǎn) B、C 在橢圓 y 1 上，頂點(diǎn) A 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC 邊 3 上，則ABC 的周長(zhǎng)是(C ) （A）2 3（B）6（C）4 3（D）12 9 8設(shè)定點(diǎn) F1（0，3） 、F2（0，3） ，動(dòng)點(diǎn) P 滿足條件PF 1 PF 2 a(a 0)，則點(diǎn) P 的軌跡是（A） a A橢圓B線段 C不存在D橢圓或線段 二 、填空題 x2y2 1表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓時(shí)，

12、實(shí)數(shù)m的取值范圍是_m(1,3)U (3,1) 9 方程 |m|12 x2y2 10與橢圓 4x+ 9 y= 36 有相同的焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)(3，)的橢圓方程為_(kāi)1 1510 22 11、如果 M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式 x2(y 3)2x2(y 3)210，則 M 的軌跡方程是 x2y2 1 1625 三、解答題 12將圓x y 4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，求所得曲線的方程，并說(shuō)明它是什 么曲線 答案： x y2 1,橢圓 4 2 22 13 答案： 14 思悟小結(jié) 1. 要靈活運(yùn)用橢圓的定義來(lái)解決問(wèn)題，一般情況下涉及焦點(diǎn)問(wèn)題則應(yīng)首先考慮定義。 2. 要求橢圓的標(biāo)

13、準(zhǔn)方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)方面。 “定位”是指確定橢圓與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在 中心是原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式； “定量”是指的a與b具體數(shù) 22 x2y2 1(m 0,n 0)，也可以設(shè)方程 值，常用待定系數(shù)法.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確時(shí)， 可設(shè)方程為 mn 22 為Ax By 1(A 0,B 0)，避免討論和繁雜的計(jì)算 2.1.2 橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)（第一課時(shí)） 典例剖析 題型一求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)等 例 1 已知橢圓x (m3)y m(m 0)的離心率e 頂點(diǎn)坐標(biāo) 22 3 ，求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、 2 x2y

14、2mmm(m2) 1 ，Q m 0,m解把 橢 圓 的 方 程 寫(xiě) 成 ：， 0m m mm3m3m3 m3 m(m2) mm(m2)m3 22 m3 3 ，m 1, a2 m,b2 ，c a b m 由e ，得 m3m3m322 m 13y2 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x 1a 1,b ,c ，故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2，短軸長(zhǎng)為 1，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 1 22 4 3311 F 1( ,0), F 2 (,0)，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A 1(1,0), A2 (1,0),B 1(0, ),B1(0, ). 2222 評(píng)析： 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將所給的方程正確地化成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)

15、軸上，準(zhǔn) 確的求出 a,b，進(jìn)而求出其他有關(guān)性質(zhì) 題型二 橢圓的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)單應(yīng)用 例 2設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、 F2， 過(guò) F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P， 若F1PF2為等腰直角三角形， 則橢圓的離心率是() A 22 1 BC2 2 D 2 1 22 分析利用橢圓的幾何性質(zhì)和定義 x2y2b2a2c2 2c，即 2c，即 解一設(shè)橢圓方程為 2 2 1，依題意，顯然有PF 2 F 1F2 ，則 abaa e22e1 0，解得e 2 1選 D 解二F1PF2為等腰直角三角形，PF2 F 1F2 2c, PF 1 2 2c. PF 1 PF 2 2a，2 2c c 2a， c a 1 2

16、 1 2 1故選 D 2b2 評(píng)析解法一中的2 PF 2 是橢圓的通徑，它是橢圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中最短的一條題型 a 備選題 x2y2b 例3： 橢圓 2 2 1(ab0)的左焦點(diǎn)F到過(guò)頂點(diǎn)A(-a, 0), B(0,b)的直線的距離等于 ，求該橢圓的離 ab7 心率. 解本題條件不易用平面幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化，因而過(guò)A、B的方程為 xy 1，左焦點(diǎn)F(-c,0)，則 ab c0 | a b 1| b c15 22 117 或（舍），化簡(jiǎn)，得5a -14ac+8c =0 得， 2 4a2 2 ab 222222 a b c b a c x2y2 評(píng)析： 應(yīng)熟悉各方程的標(biāo)準(zhǔn)形式及各參數(shù)之間的關(guān)系和幾何意

17、義.若題面改為“雙曲線 2 2 1(ab0)” ， ab 22222 則由“ab0”這個(gè)隱含條件可知離心率e的范圍限制，即ab0, a b , a c -a 從而1 e 2. 點(diǎn)擊雙基 1 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于 6，離心率等于 3 ，則橢圓的方程是（ C） 5 x2y2x2y2x2y2x2y2 1 B.1 C.1 D.1 A. 10036100642516259 2答案： x2y2 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且AF 1F2 450，則AF 1F2 的面積（）3F 1 、F 2 是橢圓 97 77 57 A 7 B C D 242 x2y2 1上的點(diǎn) M 到焦點(diǎn) F1的距離是

18、2，N 是 MF1的中點(diǎn)，則|ON|為 44 橢圓 259 yy 5、若方程 m(a0，y0)表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，則 m 的取值范圍是m1 x ax a 課外作業(yè) 一、選擇題 1.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 12，離心率為 1 ，則橢圓的方程是(D ) 3 x2y2x2y2x2y2 A.+=1B.+=1 C.+=1 144 12836203236 2 x2y2 D.+=1 3632 答案 x2y2x2y2 3橢圓 2 2 1和 2 2 k k 0具有 （ A ） abab A相同的離心率 B相同的焦點(diǎn)C相同的頂點(diǎn) D相同的長(zhǎng)、短軸 4若橢圓短軸上的兩頂點(diǎn)與一焦點(diǎn)的

19、連線互相垂直，則離心率等于(B) 21 B.C. 2 D. 2 22 x2y2 1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F 1、 F 2 的連線互相垂直，則PF 1F2 的面積為5. 橢圓 4924 A. （D） A21B22C23D24 6橢圓 x y 1上的點(diǎn)到直線x 2y 2 0的最大距離是 164 22 （D） D10 A3B11C2 2 F 2 (4,0) ，7 橢圓兩焦點(diǎn)為 F 1(4,0) ，P 在橢圓上， 若 PF 1F2 的面積的最大值為 12， 則橢圓方程為 （B） x2y2x2y2x2y2x2y2 1 B . 1 C . 1 D . 1 A. 1692592516254 x2 k1 0

20、） 8 過(guò)點(diǎn) M （2， 0） 的直線 m 與橢圓P2， 線段 P1P2的中點(diǎn)為 P， 設(shè)直線 m 的斜率為k（， y21交于 P1， 1 2 直線 OP 的斜率為 k2，則 k1k2的值為（ D） A2 二 、填空題 B2C 1 2 D 1 2 x2y2 9已知點(diǎn)（0, 1)在橢圓+= 1 內(nèi)，則 m 的取值范圍是1, 5)(5,+). 5m x2y215 1的離心率為 ，則k的值為_(kāi)4,或10橢圓 k 8924 c2k 891c29k 815 22,k 4；當(dāng)k 8 9時(shí)，e 2 ,k 解：當(dāng)k 8 9時(shí)，e 2 ak 84a944 x2y2 11 設(shè)AB是 橢 圓 2 2 1的 不 垂

21、直 于 對(duì) 稱 軸 的 弦 ，M 為AB的 中 點(diǎn) ，O為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn)， 則 ab b2 k AB k OM _ 2 a x x 2 y 1 y 2 解：設(shè)A(x 1, y1),B(x2 , y 2 )，則中點(diǎn)M(1,)， 22 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 2 y 1 2 , k OM 得k AB ，k AB k OM 2x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 2 y 2 2 y 1 2b2 b x 1 a y 1 a b , b x 2 a y 2 a b ,得b (x 2 x ) a (y 2 y ) 0,即 2 22x 2 x 1 a 22222222222222

22、2 1 222 1 三解答題 12. 答案： 13 已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率e b 4 5 2 ，短軸長(zhǎng)為8 5，求橢圓的方程 3 解:由 c2 e a3 y2x2x2y2 ，橢圓的方程為：1或1. c 81448014480 a 12 a2b2 c2 22 14 橢圓 x 2 y 2 1 a b0 與直線x y 1交于P、Q兩點(diǎn)，且OP OQ，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1） ab 求 11 的值； （2）若橢圓的離心率e滿足 3 e 2 ，求橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍. 22ab 32 解：設(shè)P(x 1 , y 1 ),P(x 2 , y 2 )，由 OP OQ x 1 x 2 + y 1 y2

23、= 0 2x 1 x 2 (x 1 x 2 )1 0又將y 1 x代入 y 1 1 x 1 , y 2 1 x 2 ,代入上式得： a2(1b2)x2y22a2 222222 1 (a b )x 2a xa (1b ) 0， 0,x 1 x 2 2 ,x 1 x 2 2 a2b2a b2a b2 代入化簡(jiǎn)得 1 1 2. 22ab a2c2b21b211b22 2(2) e 2 1 2 1 2 2 ,又由（1）知b 2322 a32a 1aaa 1125356 ，長(zhǎng)軸 2a 5, 6. 2 a2 a 22a 134222 2 思悟小結(jié) 1.要準(zhǔn)確把握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征以及“標(biāo)準(zhǔn)”的含義，

24、能從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程讀出幾何性質(zhì)，更要能 a2 夠利用標(biāo)準(zhǔn)方程解決問(wèn)題，在解題時(shí)要深刻理解橢圓中的幾何量a,b,c,e,等之間的關(guān)系及每個(gè)量的本質(zhì)含 c 義，并能熟練地應(yīng)用于解題。 2.要能熟練地應(yīng)用幾何性質(zhì)來(lái)分析問(wèn)題，特別是離心率作為幾何性質(zhì)之一，必須重點(diǎn)突破。 2.1.2 橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)（第二課時(shí)） 典例剖析 題型一直線與橢圓 例 1 已知橢圓 C 的焦點(diǎn) F1（2 2，0）和 F2（2 2，0） ，長(zhǎng)軸長(zhǎng)6，設(shè)直線y x 2交橢圓 C 于 A、B 兩點(diǎn)， 求線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo) 解:由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在x 軸上,其中 c=2 2,a=3,從而 b=1,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是: x 2

25、 2x y 1 22 y 1.聯(lián)立方程組 9 ,消去 y 得,10 x 36x 27 0. 9 y x 2 18x x 2 9 設(shè) A(x1, y1),B(x2, y2),AB 線段的中點(diǎn)為 M(x0, y0)那么: x 1 x 2 ,x 0 = 1 255 191 所以y 0 =x 0 +2=.也就是說(shuō)線段 AB 中點(diǎn)坐標(biāo)為(-,). 555 2 評(píng)析 直線與橢圓的公共點(diǎn)、弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程聯(lián)立的方程組的解得問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一 元二次方程的問(wèn)題 題型二求橢圓弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、垂直、最值等問(wèn)題 例 2 評(píng)析“點(diǎn)差法”的要點(diǎn)是巧代斜率，與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題有三類(lèi)： 平行弦的中點(diǎn)軌跡，過(guò)定

26、點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡， 過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦的所在的直線方程 備選題 例 3在ABC中，BC=24，AC、AB 邊上的中線長(zhǎng)之和等于39，求ABC的重心的軌跡方程。 解如圖所示，以線段 BC 所在直線為 x 軸、線段 BC 的中垂線為 y 軸建立直角 y 坐標(biāo)系。設(shè) M 為ABC的重心， BD 是 AC 邊上的中線， CE 是 AB 邊上的中線，由 A 22 重心的性質(zhì)知 | BM | BD | ， |CM |CE | ，于是 33 2222 |MB|MC| BD | |CE |=(| BD | |CE |)=39 26.根據(jù)橢圓 3333 E M O D 的 C x 定義知，點(diǎn) M 的軌跡是以

27、B、C 為焦點(diǎn)的橢圓. 2a |MB|MC|26 ，a 13， 又2c | BC | 24 ，c 12， B x2y2 1(y 0).b a c 13 12 25， 故所求的橢圓方程為 16925 22222 評(píng)析 有一定長(zhǎng)線段 BC，兩邊上的中線長(zhǎng)也均與定點(diǎn)B、C 和ABC的重心有關(guān)，因此需考慮以BC 的中點(diǎn)為坐標(biāo) 原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。但需注意點(diǎn) A 不能在 BC 的所在的直線上。 在求點(diǎn)的軌跡時(shí)，要特點(diǎn)注意所求點(diǎn)軌跡的幾 x2y2 1(y 0) 何意義，在本題中，所求的橢圓方程為169 25 點(diǎn)擊雙基 1 答案： 答案： x x2 2y y2 2 1 1上的點(diǎn)，F(xiàn) F 1 1 、F F2

28、2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則PF PF 1 1F F2 2 的周長(zhǎng)是（B ）3點(diǎn) P 是橢圓 9 95 5 （A）12（B）10（C）8（D）6 4 5 4已知橢圓的短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于，則橢圓的離心率等于_ x2y2 5已知Px, y是橢圓1上的點(diǎn)，則x y的取值范圍是_13,13 14425 課外作業(yè) 一、選擇題 答案：D 2橢圓x my 1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值為（A） A 22 11 BC 2 42 D4 3、若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（2，3） ，且焦點(diǎn)為 F1(2,0),F2(2,0)，則這個(gè)橢圓的離心率等于（C ） 2113 A.B.C.D. 23

29、22 x2y2 4已知橢圓方程為+ 2= 1 ，焦點(diǎn)在 x 軸上，則其焦距等于 （ A ） 8m （A）2 8m2（B）22 2|m|（C）2 m28（D）2|m|2 2 x2y21 5若橢圓+= 1的離心率為 , 則 m 的值等于（） 16m3 124128124128 （A）18 或（B）18 或（C）16 或（D）16 或 9999 x2y2 6已知 F 是橢圓 2 2 1(ab0)的左焦點(diǎn), P 是橢圓上的一點(diǎn), PFx 軸, OPAB(O y 為原點(diǎn)), 則該橢圓的 ab 離心率是 （ A ） （A） 1322 （B）（C）(D) o F 2224 x2y2 1上一點(diǎn),F 1、F2為

30、其焦點(diǎn)，則 cosF1PF2 的最小值是（ D）7若 P 是橢圓 94 A P B Ax 111 B1 C D 299 x2y29 1上三個(gè)不同的點(diǎn)，則“AF , BF , CF 成8 設(shè)A(x 1, y1),B(4, ),C(x2 , y 2 )是右焦點(diǎn)為F的橢圓 2595 等差數(shù)列”是“x 1 x 2 8”的（ A.）. A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既非充分也非必要 4449 .由焦半徑公式可得|AF|5x1，|BF|54，|CF| 5555 4449 5x2，故AF , BF , CF成等差數(shù)列（5x1）（5x2）2x 1 x 2 8， 5555 解：Qa5

31、，b3，c4，F(xiàn)（4，0） ， e 二 、填空題 x2y2 9橢圓+= 1 的焦距為 2,則 m 的值為. 5 或 3 m4 10橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上，一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)的距離之比是14, 短軸長(zhǎng)為 8, 則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 x2y2 是.+= 1 1625 11、長(zhǎng)為 3 的線段 AB 的端點(diǎn) A、B 分別在 x、y 軸上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) C（x，y）滿足AC 2CB，則動(dòng)點(diǎn) C 的軌 跡方程是. 答案：x 2 1 2y 1 4 三、解答題 12 已知橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上， 短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形， 焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為 3，求橢圓的方程。 x2y2 1(m 0,n 0

32、,m n) 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 mn 5 2 3 2()( ) 22 2 xy 2 1 ，解得m 6,n 10所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 則有 nm 610 ( 3)2 ( 5)2 1 nm uuu r uuu r x2 2 y 1交于不同兩點(diǎn) A 和 B，且OAOB 1（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 13直線y kx2與橢圓，求 k 的 3 值 x2 y21，得(13k2)x26 2kx 3 0 解：將y kx2代入 3 由直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，得 2 113k 0, 2 即k 2223 (6 2k) 12(13k ) 12(3k 1) 0. uuu r uuu r 設(shè)A(x A , y

33、 A ),B(x B , y B )，則.由OAOB 1，得x A x B y A y B 1 而x A x B y A y B x A x B (kx A 2)(kx B 2) (k21)x A x B 2k(x A x B ) 2 53k236 2k53k26 1 (k 1)2k 2 于是解得k 3k2113k213k23k213 6 故 k 的值為 3 3 14 已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)， 長(zhǎng)軸在x軸上， 離心率為， 兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F 1 和F2,橢圓G上一點(diǎn)到F 1 和F2 2 22 的距離之和為 12，圓Ck:x y 2kx 4y 21 0(k R)的圓心為點(diǎn)Ak. 2 （1）求橢

34、圓 G 的方程； （2）求AkF 1F2 的面積； （3）問(wèn)是否存在圓Ck包圍橢圓 G? 請(qǐng)說(shuō)明理由. x2y2 解（1）設(shè)橢圓 G 的方程為： 2 2 1（a b 0）半焦距為 c; ab 2a 12 22 a 6 222 xy 則 c3 , 解得c 3 3 ,b a c 3627 9所求橢圓 G 的方程為： 36 9 1. 2a 11 F 1F2 2 6 32 6 3 22 22 （3）若k 0，由6 0 12k 0211512k 0可知點(diǎn)（6，0）在圓Ck外， （2）點(diǎn)AK的坐標(biāo)為K,2，S V AKF 1F2 若k 0，由(6) 0 12k 0211512k 0可知點(diǎn)（6，0）在圓Ck

35、外； 思悟小結(jié) 1,在直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題中，要注意弦長(zhǎng)問(wèn)題，垂直問(wèn)題、中點(diǎn)弦問(wèn)題等，解決的一般思路是聯(lián)立直 線與橢圓的方程組，消去一個(gè)未知量，通過(guò)題意找到根與系數(shù)的關(guān)系，利用韋達(dá)定理列式求解。 22 x2y2 2 2 把橢圓方程 2 2 1(a b 0)與直線方程y kxb聯(lián)立消去y，整理成形如Ax BxC 0的形式，對(duì) ab 此一元二次方程有： （1） 0，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)P,Q，此時(shí)的弦長(zhǎng)的求法：求兩點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式； 由韋達(dá)定理得到弦長(zhǎng)公式PQ 1k2x p x q ，涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)。 （2） 0,直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)，相

36、切 （3） 0,直線與橢圓有無(wú)公共點(diǎn)，相離 2.22.2 雙曲線雙曲線 知識(shí)梳理 1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 （1）雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F 1 、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（小于|F 1 F 2 |）的動(dòng)點(diǎn)M的 軌跡叫做雙曲線.在這個(gè)定義中，要注意條件 2a|F 1 F 2 |，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加 以理解.若 2a=|F 1 F 2 |，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；若2a|F 1 F 2 |，則無(wú)軌跡. 若MF 1 MF2時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡僅為雙曲線的一個(gè)分支，又若MF 1 MF2時(shí)，軌跡為雙曲線的另一支. 而雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕

37、對(duì)值”. （2）.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果x項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x 軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)， 則焦點(diǎn)在 y 軸上.對(duì)于雙曲線，a 不一定大于 b，因此不能像橢圓那樣，通過(guò)比較分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一條坐 標(biāo)軸上. 2、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 2 x2y2c b （1）.雙曲線 2 2 1實(shí)軸長(zhǎng)為 2a，虛軸長(zhǎng)為 2b，離心率e 1 2 離心率 e 越大，開(kāi)口越大. aab a x2y2x2y2b （2）.雙曲線 2 2 1的漸近線方程為y x或表示為 2 2 0.若已知雙曲線的漸近線方程是 abaab m y x，即mx ny 0，那么雙曲線的方程具有以下形式：m2x2 n2

38、y2 k，其中k 是一個(gè)不為零的常數(shù). n a2a2 （3）焦半徑公式PF 1 |e(x)|，PF 2 |e(x)|. cc 2 （4）雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 x2y2x2y2 b 若 雙 曲 線 方 程 為 2 2 1 漸 近 線 方 程 ： 2 2 0 y x； 若 漸 近 線 方 程 為 ababa x2y2x2y2xy b y x 0雙曲線可設(shè)為 2 2 ；若雙曲線與 2 2 1有公共漸近線，可設(shè)為 abababa x2y2x2y2 2 （ 0，焦點(diǎn)在x 軸上， 0，焦點(diǎn)在y 軸上）.雙曲線 2 2 1(a,b 0)焦點(diǎn)三角形面積： 2ab ab SF 1PF2 b cot 2

39、 2 ，高h(yuǎn) b2cot c 2。 2.2.1 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 典例剖析 題型一雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的判斷 題型二求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 例 2已知雙曲線過(guò)M(1,1),N(2,5)兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 x2y2 解法 1 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為： 2 2 1(a 0,b 0)，因?yàn)镸(1,1),N(2,5)在 ab 1 8 1 1 1 222 8x2y2 a a b7 1 雙曲線上，所以,解得：；所求的雙曲線方程為： 77 1 1 4 25 1 b27 a2b2 y2x2 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在 Y 軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為： 2 2 1(a 0,b 0)，因?yàn)镸(1,1),

40、N(2,5)在雙曲線 ab 1 1 1 1 1 8x2y2 a 2 a 2b27 1 上，所以,解得：； （不合舍去）綜上：所求的雙曲線方程為： 77 1 8 25 4 1 7b2a2b2 221 mn 0) 解法 2因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)位置不定，所以設(shè)雙曲線的方程為：mx ny （ 8m mn 1 8x2y2 7 1 因?yàn)辄c(diǎn)M(1,1),N(2,5)在雙曲線上，解得所求的雙曲線方程為： 7714m25n 1 n 7 評(píng)析解法 1 采用了通法，因?yàn)闊o(wú)法判斷焦點(diǎn)所在的位置，分兩種情況討論。解法2 將雙曲線的方程設(shè)為 mx2ny2（1 mn 0)，運(yùn)算比較簡(jiǎn)便。 備選題 例 3： 評(píng)析確定一個(gè)雙曲線的

41、標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件a,b，兩個(gè)定形條件，一個(gè)定位條件：焦點(diǎn)坐標(biāo)。 點(diǎn)擊雙基 1、命題甲：動(dòng)點(diǎn)P 到兩定點(diǎn) A、B 的距離之差的絕對(duì)值等于2a(a0)；命題乙： 點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線。則命題甲是 命題乙的(B) (A) 充要條件(B) 必要不充分條件(C) 充分不必要條件(D) 不充分也不必要條件 x x2 2y y2 2 2、圓C C過(guò)雙曲線 1 1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在該雙曲線上，則圓心到該雙曲線的中心的距離是 9 91616 （D） AB 4 4 3 3 4 41616 1010C5 5D 3 33 3 3、設(shè)x, yR，且2y是1 x和1 x的等比中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)x, y的軌跡為

42、除去x軸上點(diǎn)的（D ） A一條直線B一個(gè)圓C雙曲線的一支D一個(gè)橢圓 x2y2 1表示雙曲線，則k的取值范圍是(,4)U (1,) 4若曲線 4k1k 5、設(shè)ABC的頂點(diǎn)A(4,0)，B(4,0)，且sin Asin B 1 sinC，則第三個(gè)頂點(diǎn) C 的軌跡方程是_. 2 x2y2 1(x 2) 答案： 412 課外作業(yè) 一、選擇題 1 動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M(1,0)及點(diǎn)N(3,0)的距離之差為2，則點(diǎn)P的軌跡是（D） A雙曲線B雙曲線的一支C兩條射線D一條射線 x2y2 2方程（ D）1表示雙曲線，則k的取值范圍是 1 k1k A1 k 1Bk 0Ck 0Dk 1或k 1 x2y2 3 雙曲線 2

43、（ C）1的焦距是 m 124m2 A4B2 2C8D與m有關(guān) x2 4 如果雙曲線y2=1 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2，A 是雙曲線上一點(diǎn)，且AF1=5，那么AF2 9 等于(D) A.5+10B.5+210C.8D.11 x2y2 1左焦點(diǎn) F 1 的弦 AB 長(zhǎng)為 6，則ABF2（F2為右焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)是（ A）5過(guò)雙曲線 169 A28 B22C14D12 x2y2 已知ABP的頂點(diǎn) A、B分別為雙曲線 C：1的左右焦點(diǎn)，頂點(diǎn) P在雙 169 6、 sin A-sin B 曲線C上，則的值等于 sin P 74 745 A.B.CD. 4454 答案 A uuu r uuu u r y2

44、1的左右焦點(diǎn)若點(diǎn)P 在雙曲線上，且PF 1 PF 2 0 7、設(shè)F 1 ,F 2 分別是雙曲線x 9 uuu ruuu u r 則PF 1 PF 2 =（B） 2 A 10 B 2 10 C 5 D 2 5 8 已知F 1 ,F 2 是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，Q 是雙曲線上任一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)） ，從某一焦點(diǎn)引F 1QF2 的平分線的垂線， 垂足為 P，則點(diǎn) P 的軌跡是（B） A 直線B 圓C 橢圓D 雙曲線 二、填空題 y2x2 9 過(guò)點(diǎn) A(23，4 2)、B(3，25)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .=1 416 2yx2 2210. 與雙曲線 16x 9y =144 有共同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(0，2)的雙曲

45、線方程為=1 214 x2y2 11.方程+=1 表示的曲線為 C，給出下列四個(gè)命題: 4kk 1 曲線 C 不可能是圓；若 1k4,則曲線 C 為橢圓；若曲線C 為雙曲線，則 k4；若曲線 C 表 5 示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，則 1k.其中正確的命題是_. 2 55 解析:當(dāng) 4k=k1,即 k=時(shí)表示圓，否定命題,顯然 k=(1,4), 22 否定命題；若曲線C 為雙曲線，則有(4k)(k1)0,即 4k 或 kk10,解得 1k0 時(shí)，設(shè) A（x1,y1） ，B（x2,y2） 則l 12 k=1，滿足0 直線 AB：y=x+1 222k 2 y 1 2 x 1 1 12 法二：設(shè) A（

46、x1,y1） ，B（x2,y2）則兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 22 x 2 y 21 2 2 y2y 1 y 2 2(x 1 x 2) 21 21得：0 x1x2k AB 1 AB：y=x+1 代入x x 1 x 2 y 1 y 2 22 評(píng)注：法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點(diǎn)差法，當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，常用這兩種途徑處理。在利用點(diǎn)差法時(shí)，必須 檢驗(yàn)條件0 是否成立。 （2）設(shè)A、B、C、D 共圓于OM，因AB 為弦，故M 在 AB 垂直平分線即 CD 上；又CD 為弦，故圓心M 為 CD 中點(diǎn)。因此只需證 CD 中點(diǎn) M 滿足|MA|=|MB|=|MC|

47、=|MD| y x1 由得：A（-1，0） ，B（3，4）又 CD 方程：y=-x+3 y2 21 x 2 y x3 2由得：x2+6x-11=0設(shè) C（x3,y3） ，D（x4,y4） ，CD 中點(diǎn) M（x0,y0）y 21 x 2 x x 4 3, y 0 x 0 3 6 M（-3，6） 則x0 3 2 1 |CD|=2 10又|MA|=|MB|=2 10 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 2 A、B、C、D 在以 CD 中點(diǎn)，M（-3，6）為圓心，2 10為半徑的圓上 評(píng)析：此類(lèi)探索性命題通?？隙M足條件的結(jié)論存在， 然后求出該結(jié)論，并檢驗(yàn)是否滿足所有條件.本題應(yīng)著重分析 圓的幾何

48、性質(zhì)，以定圓心和定半徑這兩定為中心，充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰，在學(xué)習(xí)中 必須引起足夠重視. 點(diǎn)擊雙基 |MC|=|MD|= 1、若雙曲線x ky 1的離心率是2，則實(shí)數(shù)k的值是（B） A.3B.C.3 22 1 3 D. 1 3 x2y2 2、若雙曲線 2 2 1(a 0,b 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)三等分焦距，則該雙曲線的漸近線方程是（ D） ab 2 x By 2xCy 3xDy 2 2xAy 2 x2y2 1表示雙曲線的（ A）3、若k R，則k 3是方程 k 3k 3 A充分不必要條件B必要不充分條件 C充要條件D既充分也不必要條件 uuu r uuu u r x2y2 1

49、 的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 1 、F 2 ，點(diǎn)P在該雙曲線上，若PF 1 PF 2 0，則點(diǎn)P到x軸的距離為 4、雙曲線 916 16 . 5 y2x2 22 5、若雙曲線 2 2 =1 的漸近線與方程為(x 2) y 3的圓相切，則此雙曲線的離心率 ab 為2 課外作業(yè) 一、選擇題 22 1.方程 mx ny mn=0(mn0)所表示的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ B） A (0, m n) B (0,n m) C (m n,0) D (n m,0) x2 2焦點(diǎn)為0,6，且與雙曲線 y21有相同的漸近線的雙曲線方程是（B） 2 x2y2y2x2y2x2x2y2 ABCD1111 122412242412241

50、2 x2y2x2y2 3若0 k a，雙曲線 2 （ D）1與雙曲線 2 2 1有 a kb2 kab A相同的虛軸B相同的實(shí)軸C相同的漸近線D 相同的焦點(diǎn) x2y2x 4、若雙曲線 2 2 1的一條漸近線方程為 y 0則此雙曲線的離心率為（B ） ab3 3 1010 ABC2 2D 10 103 x2 y21有相同漸近線的雙曲線的方程是(D ) 5、過(guò)點(diǎn)(2，-2)且與雙曲線 2 x2y2y2x2x2y2y2x2 1 (B)1 (C)1 (D)1 (A) 42422424 y2x2x2y2 6、雙曲線 2 2 1(a,b 0)的一條漸近線與橢圓 2 2 1(a b 0)交于點(diǎn)M 、 baa

51、b N，則MN =（） A. a+b B. 2a C.2(a2b2)D.2(a2b2) x2 y21(n 1)的兩焦點(diǎn)為F 1,F2 ,P在雙曲線上,且滿足PF 1 PF 2 2 n2, 7、雙曲線 n 則 PF 1F2 的面積為(A ) 1 (A)1(B)(C)2(D)4 2 解：假設(shè)PF, 1 PF 2 2 n且 PF 1 PF 2 ,由雙曲線定義PF 1 PF 2 2 n2 V 解得PF 1 n2 n, PF 2 n2 n而F 1F2 2 n1由勾股定理得SV PFF 1PF 1 PF 2 1 1 2 2 x2x2 222 8、給出下列曲線：4x+2y1=0; x+y =3; y1 y2

52、1，其中與直線 22 y=2x3 有交點(diǎn)的所有曲線是（ D） ABCD 二填空題 x2y2 1a 0的一條漸近線方程為3x 2y 0，則 a_.2 9 若雙曲線 2 9a x2y2455 1的一條漸近線方程為y x，則該雙曲線的離心率e為 或10 已知雙曲線 mn334 x2y2 11直線y x 1與雙曲線1相交于A,B兩點(diǎn)，則AB=_4 6 23 三解答題 12.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 53 ； （）頂點(diǎn)間的距離為6，漸近線方程為y x 42 2b 12, x2y2 （） 解： 焦點(diǎn)在 x 軸上， 設(shè)所求雙曲線的方程為 2 2 =1 由題意， 得c5解得a 8，c 10 ab.

53、a4 x2y2 2221b c a 10064 36所以焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線的方程為 6436 x2y2 （2）解：當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線的方程為 2 2 =1 ab 2a 12, x2y29 1 由題意，得b3解得a 3，b 所以焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線的方程為 81 92. a2 4 y2x2 1 同理可求當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上雙曲線的方程為 94 x2y23 ( 0) 解：設(shè)以y x為漸近線的雙曲線的方程為 492 x2y29 1 當(dāng)時(shí)，2 4 6，解得， 此時(shí)，所要求的雙曲線的方程為 81 94 4 y2x2 1 當(dāng)時(shí)，2 9 6，解得，此時(shí)，所要求的雙曲線的方程為 94

54、（）焦點(diǎn)在 x 軸上,虛軸長(zhǎng)為 12，離心率為 13 14 思悟小結(jié) 1.由已知雙曲線方程求基本量，注意首先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再計(jì)算，并要特別注意焦點(diǎn)位置。 x2y2xy 2 漸近線是刻劃雙曲線的一個(gè)重要概念。漸近線為 0的雙曲線方程可設(shè)為 2 2 ( 0)，若與 abab x2y2x2y2 2 1有共同的漸近線也可以設(shè)出雙曲線系 2 2 ( 0) 2abab 2.2.2 雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)（第二課時(shí)） 典例剖析 題型一應(yīng)用雙曲線的定義及性質(zhì)解題 例 1求證：等軸雙曲線上任一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng) 證明：設(shè)等軸雙曲線的方程為x y a，雙曲線上任一點(diǎn) P 的坐標(biāo)為x

55、1, y1 222 則 P 到中心的距離為 x 1 2 y 1 2 ，等軸雙曲線的離心率是 2 ，所以點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)的距離分別為 |2x 1 a|,|2x 1 a|，所以| PF 1 |g | PF 2 |2x 1 a|g |2x 1 a|2x 1 2a2| x 1 2 y 1 2| PO|2 評(píng)析：涉及雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，常常要雙曲線的定義，P 到兩焦點(diǎn)的距離分別為 |2x 1 a|,|2x 1 a|即為焦半徑公式，請(qǐng)同學(xué)們自行推導(dǎo) 題型二直線與雙曲線的位置關(guān)系 2 例 已知不論 b 取何實(shí)數(shù)，直線 y=kx+b 與雙曲線 x 2y2=1 總有公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)k 的取值范圍.

56、 分析 聯(lián)立方程組，結(jié)合數(shù)形討論 y kxb 解 聯(lián)立方程組 2 消去 y 得(2k21)x2+4kbx+2b2+1=0, 2 x 2y 1 當(dāng)2k 1 0 k 2 2 時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行， 2 （1）當(dāng)b 0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)； （2）當(dāng)b 0時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)，所以不合題意 2 時(shí)，依題意有=(4kb)24(2k21)(2b2+1)=4(2k22b21)0，對(duì)所有實(shí)數(shù) b 恒成 2 2222 k k 立，2k210，得所以 2222 當(dāng)2k 1 0 k 2 評(píng)析利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達(dá)定理來(lái)求解或證 明注意：與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有

57、兩種一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線另一種 是與雙曲線相切的直線也有兩條 備選題 例 3：k代表實(shí)數(shù)，討論方程kx 2y 8 0所表示的曲線. 22 y2x2 1為焦點(diǎn)在y軸的雙曲線； 解：當(dāng)k 0時(shí)，曲線 4 8 k 2 當(dāng)k 0時(shí)，曲線2y 8 0為兩條平行于x軸的直線y 2或y 2； x2y2 1為焦點(diǎn)在x軸的橢圓； 當(dāng)0 k 2時(shí)，曲線 8 4 k 22 當(dāng)k 2時(shí)，曲線x y 4為一個(gè)圓； y2x2 1為焦點(diǎn)在y軸的橢圓 當(dāng)k 2時(shí)，曲線 4 8 k 評(píng)析：針對(duì)k的各種情形進(jìn)行分類(lèi)討論. 點(diǎn)擊雙基 x2y2 1的焦距為（.D ）1雙曲線 102 A3 2B4 2C3 3D4 3 x2y21 2 若雙曲線 2 2 1(a 0,b 0)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的 ，則該雙曲線的漸近線方程是 ab4 （C） A、x2y 0B、2x y 0C、x 3y 0 D、 3x y 0 x2y2b1 ，解:對(duì)于雙曲線 2 2 1(a 0,b 0)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離因?yàn)閎，而 ab2c4 b313 22c, 因此b c,a c b ，因此其漸近線方程為x 3y 0. a322 2 3已知雙曲線方程為x2 y 1，過(guò) P（1，0）的直線 L 與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則L 的條數(shù)共有（