1、張量分析,Tensor,第 2 課,能源與動力工程學(xué)院,2,指標(biāo)一致性法則, 表達(dá)式中各項（指標(biāo)項）的自由標(biāo)個數(shù)(為表達(dá)式展開的個數(shù))、指標(biāo)符號必須一致，各項指標(biāo)的符號可同時替換。,各項中啞標(biāo)必須成對出現(xiàn)（不能有兩個以上相同的啞標(biāo)符號），符號可任換，各項的展開項數(shù)由啞標(biāo)數(shù)決定。,在指標(biāo)符號不變的情況下指標(biāo)式的代數(shù)運算規(guī)則與常規(guī)代數(shù)式運算規(guī)則 相同(這是由代數(shù)運算的交換律、結(jié)合律、分配律等代數(shù)運算規(guī)則所保證的。).,3,伴隨標(biāo)隨其余指標(biāo)變化，但不參加求和運算,指標(biāo)一致性法則,問題2？,4,例1,已知，自然基下,另有任意標(biāo)準(zhǔn)正交基,有,試證,1.2 點積與歐氏空間,e1,e2,e3,x3,x2,x

2、1,i1,i3,i2,5,證：,又,1.2 點積與歐氏空間,6,1.2 點積與歐氏空間,7,第一章 向量與坐標(biāo),1.1 向量與向量空間,1.2 點積與歐氏空間,1.3 叉積與軸向量,1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向,1.5 并積與向量誘導(dǎo)空間,1.6 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,1.3 叉積與軸向量,8,叉積與軸向量,r,o,P,f,l,m,n,標(biāo)準(zhǔn)正交基（右手系）,軸向量：方向與向量組轉(zhuǎn)向有關(guān)（力矩、角轉(zhuǎn)速,等）,極向量：方向直接由物理意義確定（力、速度等）,由向量代數(shù)知，叉積有如下運算法則成立(下一頁),1.3 叉積與軸向量,9,由此,任意基向量,為標(biāo)準(zhǔn)正交基時( )可引入 置換符號 簡化,適用右手系,適

3、用直角系,1.3 叉積與軸向量,10,置換符號,ijk 的偶排列 123 ,231, 312 正循環(huán)排列,ijk 的奇排列 132 ,321, 213 逆循環(huán)排列,ijk 的重復(fù)排列,不重復(fù)排列逆序數(shù),等價于,對于右手系,1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向,11,混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向,右手系,利用置換特性得,混合積可用來表示行列式以及判斷坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向,1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向,12,坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向,右手系,左手系,右手系,左手系,1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向,13,直角坐標(biāo)系（左右手）,1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向,14,與 的關(guān)系,由,右手系,設(shè),由矩陣乘法的行列式性質(zhì),1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向,15,3,按第三列展開,16,例2,證明,證：,問題4？,17,例3,展開,18,練習(xí)一,1.1 將指標(biāo)式展開為分量式,1.2 將分量式寫為指標(biāo)式,19,20,1.3 利用 特性簡化下式,21,1.5利用點積基本特性（見公理化定義）證明：,1.4利用指標(biāo)法證明,22,1.6利用向量基本特性（見公理化定義）及叉積基本運算特性:,證明：,1.1 向量與向量空間,23,問題,1,e1,e2,e3,x3,x2,i1,i3,i2,若基向量為非自然基，向量能