1、Autumn 2013Instructor : Y. Huang Room 721, Shangxian Building School of Mathematics & Statistics, NUIST,Partial Differential Equations,Ch3.1 Initial Value Problems of Wave Equation (One dimension),無界弦的自由振動 波的傳播 無界弦的受迫振動和齊次化原理 半界弦的振動和延拓法 端點(diǎn)固定的有界弦的振動 解的先驗(yàn)估計,1. 一維波動方程初值問題,基本思路：,無界弦的自由振動( )：經(jīng)非奇異變換化為標(biāo)準(zhǔn)型后

2、直接積分得通解，代入初始條件得特解（達(dá)朗貝爾公式）；,無界弦的受迫振動( )：由疊加原理分解為：齊次問題+零初值的非齊次問題（由齊次化原理得解）；,半界弦的振動( )：以某種方式延拓 f 及初始函數(shù)，轉(zhuǎn)成無界弦的振動問題，求出解后限制在半界區(qū)域上。,1.1 無界弦的自由振動,在弦的微小橫振動問題中，如果弦未受到任何外力作用，而且只研究其中的一小段，那么在不太長的時間里，兩端的影響都來不及傳到，不妨認(rèn)為兩端都不存在，弦是“無限長”，則可提出如下定解問題,其中 分別表示初始位移和初始速度。,(1) 泛定方程的通解,由泛定方程可得其特征方程為,即特征線滿足方程,故特征線為,作變換,則,代入泛定方程可

3、得標(biāo)準(zhǔn)型,兩邊依次關(guān)于 積分，得通解,其中F,G為兩個可微的任意單變量函數(shù)。,代回原變量，得泛定方程通解,(2) 定解問題的特解達(dá)朗貝爾公式,利用初始條件來確定通解中的任意函數(shù)F和G：,則,其中 為任意一點(diǎn)，c 為常數(shù)。,故有,則得初值問題特解,稱為達(dá)朗貝爾公式(DAlembert),或無界弦的自由振動問題的達(dá)朗貝爾解.,例1. 求解初值問題,解. 此時 ，故由 DAlembert 公式有,注：有些例子雖然不能直接應(yīng)用由DAlembert 公式，但可利用與推導(dǎo) DAlembert 公式相同的方法求解。,例2. 求解初值問題,解. 泛定方程的特征方程為,即特征線滿足方程,故特征線為,作變換 則原

4、方程可化為,其通解為,即,故有,即,所以可得初值問題的特解為,利用初始條件可得,例3. 求解有阻尼的波動方程的初值問題,解. 泛定方程含有阻尼項(xiàng)，不能直接用DAlembert 公式，但可將阻尼作用表示為其解中帶一個隨時間成指數(shù)衰減的因子。,即令 為待定常數(shù)，于是有,代入泛定方程得,取 原定解問題化為,由DAlembert 公式可得,從而原問題的解為,注：當(dāng) 時，由DAlembert 公式 (3.3) 定義的函數(shù) u(x,t) 稱為初值問題 (3.1) 的古典解。當(dāng) 不滿足該條件時，由公式 (3.3) 定義的函數(shù) u(x,t) 常稱為初值問題 (3.1) 的廣義解。,(3) 達(dá)朗貝爾解的適定性,

5、Th 3.1 假設(shè) ，則對任意給定的 T 0，初值問題 (3.1) 的DAlembert 解在區(qū)域 上是適定的。,證. 從DAlembert 公式的推導(dǎo)可見，只要 ， DAlembert 解是滿足初值問題 (3.1) 的，即DAlembert 解是存在的。,唯一性. 若有 具有相同的初始條件，則 滿足零初始條件下的初值問題(3.1) (即取 )，進(jìn)而由DAlembert 公式可得,穩(wěn)定性. 設(shè)有兩組初始條件 且它們相差很小,事實(shí)上，由DAlembert 公式，有,只要,記 表示相應(yīng)于這兩組初始條件的解，要證：在有限的時間內(nèi)，當(dāng)初始條件有了微小改變時，其解也只有微小改變。,例4. 求解初值問題,

6、其中,解. 此時 下求廣義解。由DAlembert 公式，有,計算可得其解的具體情況如下：,(1) 當(dāng) 時，有,(2) 當(dāng) 時，有,(3) 當(dāng) 時，有,注：例4中的 因此DAlembert 解 u(x,t) 不是一個古典解，僅是形式解。,1.2 波的傳播,(1) 達(dá)朗貝爾解的物理意義,為方便起見，記,顯然 都是方程 的解，且,首先考察,給定 t 的不同值，就得到弦在各時刻的振動狀態(tài)。,當(dāng) t=0 時， 對應(yīng)的是初始狀態(tài)；,因時間段 內(nèi)波形右移了距離了 故 a 為波移動的速度。,這種形如 的解所描述的弦振動規(guī)律稱為右傳播波或右行波。,經(jīng)時間 之后， 表明在(x,u)平面上 時刻的波形相對于初始時

7、刻的波形向右平移了距離 隨著時間的推移，波形繼續(xù)向右移動，而形狀保持不變。,因此，DAlembert 解 (3.3) 表明初值問題 (3.1) 的解是由 和 確定的左、右行波 的疊加(其中 是 的一個原函數(shù) )。這就是DAlembert 解 (3.3) 的物理意義。這種構(gòu)造解的方法稱為行波法。,類似地， 保持波形 F(x)以速度a向左移動，稱為左傳播波或左行波。,注：行波法基于波動的特點(diǎn)，引入了坐標(biāo)變換簡化方程； 優(yōu)點(diǎn)：求解方式易于理解，求解波動方程十分方便； 缺點(diǎn)：通解不易求，有局限性。,由 DAlembert 公式得,例5.（初始位移引起的波動）一根無限長弦的初始位移為 從靜止開始運(yùn)動，求

8、其在任意時刻的位移。,解. 定解問題為,例6.（初始速度引起的波動）一根無限長弦的初始位移為0,以初始速度 開始振動，求其在任意時刻的位移。,解. 定解問題為,其中,由 DAlembert 公式得,其中,(2) 依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域,由 DAlembert 公式,可知，初值問題的解u在點(diǎn) 的值由函數(shù) 在點(diǎn) 和 的值以及函數(shù) 在區(qū)間 上的值唯一確定。區(qū)間 稱為點(diǎn) 的依賴區(qū)間。,在 x 軸上任取一區(qū)間c,d,過點(diǎn)(c,0)和(d,0)分別作直線x=c+at 和 x=d-at,構(gòu)成一個三角形區(qū)域K。K內(nèi)任一點(diǎn)(x,t)的依賴區(qū)間都落在c,d內(nèi)，故 u(x,t) 在 K 內(nèi)任一點(diǎn)(x,t)的值

9、都完全由初值函數(shù) 和 在區(qū)間c,d上的值來確定，而與此區(qū)間外的數(shù)據(jù)無關(guān)。,這個區(qū)域K稱為區(qū)間c,d的決定區(qū)域。即在區(qū)間c,d上給定初值 和 ，就可以確定解在決定區(qū)域K內(nèi)的值。,過點(diǎn)(c,0)和(d,0)分別作直線 x=c-at 和 x=d+at。經(jīng)過 t 時刻后，受到區(qū)間c,d上初值擾動影響的區(qū)域是,此區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)(x,t)的依賴區(qū)域都全部或有一部分落在c,d內(nèi)，故解在這種點(diǎn)的值與初始函數(shù)在區(qū)間c,d上的值有關(guān)。此區(qū)域外任一點(diǎn)的依賴區(qū)間都不會和區(qū)間c,d相交，故解在這種點(diǎn)的值與初始函數(shù)在區(qū)間c,d上的值無關(guān)。,注：兩條直線 (常數(shù))對一維波動方程的解起著重要的作用，這兩條直線稱為波動方程的特征

10、線，所以行波法又稱為特征線法。,這個區(qū)域 D 稱為區(qū)間c,d上的影響區(qū)域。簡言之，影響區(qū)域是那些使得解的值受到區(qū)間c,d上初始函數(shù)的值影響的點(diǎn)所構(gòu)成的集合。,1.3 無界弦的受迫振動和齊次化原理,當(dāng)弦受到外力 f(x,t) 作用而產(chǎn)生振動時，有如下非齊次方程的初值問題,由線性疊加原理可知，若 v(x,t), w(x,t) 分別為初值問題,的解，則 u(x,t) = v(x,t)+w(x,t) 是初值問題(3.4)的解。,初值問題(3.5)的解可由DAlembert 公式(3.3)直接給出，因此，為求解(3.4) ,只需求解(3.6)。,對問題(3.6),若能設(shè)法將非齊次項(xiàng)消除，即將方程變?yōu)辇R次

11、方程，便可同樣由DAlembert 公式(3.3)得到解。,1.3.1 沖量原理(齊次化原理),對問題(3.6)中的 是單位質(zhì)量的弦上所受的外力，這是從初始時刻 t =0 一直延續(xù)到時刻 t 的持續(xù)作用力。,由線性疊加原理，可將持續(xù)作用力 f(x,t) 所引起的振動(即初值問題(3.6)的解)，視為一系列前后相繼的瞬時作用力 所引起的振動 的疊加，即,我們先來分析瞬時作用力 所引起的振動。,從物理的角度考慮，力對系統(tǒng)的作用對于時間的累積是給系統(tǒng)一定的沖量。所以在短時間間隔 內(nèi) 對系統(tǒng)的作用可表示為沖量 ，這個沖量使得系統(tǒng)的動量有一改變量(因 是單位質(zhì)量弦所受外力，故動量改變量在數(shù)值上等于速度改

12、變量)。,若將 時間內(nèi)得到的速度改變量看成是在 時刻的一瞬間集中得到的，而在 的其余時間則認(rèn)為沒有沖量的作用(即沒有外力的作用)，則在 時間內(nèi)，瞬時力 所引起的振動的定解問題可表示為,為便于求解，設(shè) 則有,由上述分析可看出，欲求解問題(3.6),只需求解(3.7)，而,即,這種用瞬時沖量的疊加代替持續(xù)作用力來解決定解問題(3.6)的方法，稱為沖量原理，可歸結(jié)為如下定理。,定理1. (齊次化原理)設(shè) 若 是初值問題(3.7)的解，則由積分(3.8)所定義的函數(shù) w(x,t) 是初值問題 (3.6) 的解，其中 是參數(shù)。,證. 由(3.8)和含參變量積分的求導(dǎo)公式，有,代入(3.6)中的泛定方程和

13、定解條件均滿足。,注：變限積分求導(dǎo)公式,若 f (x,y)及其偏導(dǎo)數(shù) 都在 上連續(xù)， 為定義在a,b上其值域含于c,d中的可微函數(shù)，則函數(shù),在a,b上可微，且,1.3.2 純受迫振動的解,對于問題(3.7),令 則有,由DAlembert 公式(3.3)有,注:(3.10)的被積函數(shù)區(qū)域?yàn)?平面上過點(diǎn)(x,t)向下兩特征線與 s 軸所圍三角形區(qū)域。,代入(3.8)有,純受迫振動(3.6)的解,例1. 求解初值問題,解. 此處 a =2,f(x,t)=2x, 由(3.10)有,1.3.3 一般受迫振動的解,定理2. 假設(shè)函數(shù) 則初值問題(3.4)存在唯一解,一維非齊次波動方程初值問題解的Kirc

14、hhoff 公式,進(jìn)一步地，對于任意 T0,(3.4)的解在區(qū)域 上是穩(wěn)定的。,例2. 求解初值問題,解.,命題1. 假設(shè)函數(shù) 且關(guān)于變量 x 是偶/奇/周期為 T 的函數(shù)，則初值問題(3.4)的解 u(x,t)關(guān)于 x 也是偶/奇/周期為 T 的函數(shù)。,證. 只對奇函數(shù)給出證明，其他情形類似可證。,設(shè)u(x,t)是初值問題(3.4)的解，定義w(x,t)= -u(-x,t),則有,從而有,即w(x,t)滿足初值問題(3.4)中的泛定方程。又,即w(x,t)滿足初值問題(3.4)中的初始條件。,再由定理2關(guān)于解的唯一性，得w(x,t)= u(x,t)，,即 -u(-x,t)=u(x,t)， u(x,t)為奇函數(shù)。,例3. 求解初值問題,解. 由Kirchhoff 公式得,1.4 半界弦的振動和延拓法,1.4.1 端點(diǎn)固定的情況,(1) 齊次端點(diǎn)條件,考慮定解問題