1、4-1 概述 4-2 外力虛功與虛變形功 4-3 虛功原理 4-4 虛位移原理與單位位移法 4-5 虛力原理、單位荷載法 4-6 桿件結構的位移計算公式 及荷載作用下的位移計算 4-7 圖乘法 4-8 支座移動、溫度改變時的位移計算 4-9 互等定理,第四章 靜定結構的位移計算,4-1 概 述,一、工程結構在荷載、溫度變化、支座移動等因素下，結 構的形狀一般會發(fā)生變化變形（或形變），結構 的截面位置一般會發(fā)生改變位移（線位移和角位 移）。,荷載作用,溫度變化,支座移動,相對位移,二、結構位移計算的目的 （1） 結構設計必須經過剛度校核。 （2）結構施工階段常常需要估算結構可能變更位置以便作出相

2、應的工程措施。 （3）結構位移計算是分析超靜定結構以及結構動力分析，穩(wěn)定分析等的基礎。,三、虛功原理是結構位移計算的基礎。,返回,4-2 外力虛功與虛變形功,一、功,二、實功與虛功,1.位移是作功的力引起的。 實功：,p相對于Fp而言為實位移。,2.位移不是作功的力引起的 虛功：,3.實功計算不滿足疊加原理；虛功計算滿足疊加原理。,三、結構的外力虛功,靜力狀態(tài)：結構在k處所方向受廣義力 作用處于平衡狀態(tài)。 位移狀態(tài)：結構由于其它原因而產生位移。其中k處所方向的廣義位移為km,1、集中力的虛功,靜力狀態(tài)k的集中力 在位移狀態(tài)m的位移km 上所作的虛功：,k狀態(tài)的外力在m狀態(tài)的虛位移上所作的虛功：

3、,2.力偶虛功：,靜力狀態(tài)k的力偶 在位移狀態(tài)m的角位移km 上所作的虛功：,3.均布力虛功：,靜力狀態(tài)k的均布力在位移狀態(tài)m 上所作的虛功：,4.等量反向共線的兩集中力的虛功：,靜力狀態(tài)k的力在位移狀態(tài)m 上所作的虛功：,平衡力系在剛體位移上的虛功=？,四、結構各微段外力在變形位移上的虛功和。,取微段進行分析：,微段靜力狀態(tài)k的力在位移狀態(tài)m 上所作的虛功：,第i桿件的虛功：,平面桿件結構各微段外力在變形位移上的虛功和（虛變形功）：,返回,4-3 虛功原理,靜力平衡系（靜力狀態(tài)k）：滿足結構整體和局部平衡條件以靜力邊界條件，并遵循作用和反作用定律的力系。,位移協(xié)調系（位移狀態(tài)m）：在結構的邊

4、界和內部都必須是分段光滑連續(xù)的，在邊界上滿足位移邊界條件且是微小的位移系。,虛功原理：,設有一變形體系，分布存在兩個獨立無關的靜力平衡系和位移協(xié)調系，則力系中的外力經位移系中的位移所作的虛功恒等于變形體系各微段外力在變形位移上虛功和。即：,以平面剛架為例證明虛功原理： 靜力平衡力系k：,截面內力分量：,微段外力滿足平衡條件：,位移協(xié)調系m： 各點的位移分量：,按微段計算k狀態(tài)的力在m狀態(tài)的位移所作虛功：,按結構整體計算k狀態(tài)的力在m狀態(tài)的位移所作虛功： 外力虛功：,各截面內力虛功總和為零。 顯然有：,虛功原理的討論： （1）試用線性、非線性、小變形問題。 （2）利用虛功原理解決平衡問題、幾何問

5、題。 （3）剛體虛功原理： 或,返回,4-4 虛位移原理與單位位移法,虛位移原理： 變形體系在力系作用下成平衡的必要與充分條件是，當有任意虛擬的位移協(xié)調系（即虛位移）時，力系中的外力經位移系中的位移所作的虛功恒等于變形體系各微段外力在變形位移上的虛功和。,位移協(xié)調系 （虛擬）,靜力平衡系 （真實）,單位位移法： 在應用虛位移原理時，特別的假設發(fā)生單位位移。 求解步驟： （1）解除所求約束力的約束，代之以約束力，得k狀態(tài)。 （2）沿所求約束力的方向給以一位虛位移，得m狀態(tài)。 （3）由虛位移原理建立虛功方程，求解約束力。,例 利用單位位移法求兩跨靜定梁在圖示荷載下的支座D的反力和截面E的彎矩。,解

6、 ： 1.求支座反力 ：,（1）解除D支座，代之一約束力 ，得 靜力狀態(tài)k；,（2）虛設單位位移 ， 得位移狀態(tài)m；,（3）虛功方程：,2.求截面E的彎矩 ：,（1）將截面E換成鉸，并加上 ， 得k狀態(tài)；,（2）沿 正向給單位虛位移 得m狀態(tài)；,（3）虛功方程,返回,4-5 虛力原理、單位荷載法,虛力原理： 變形體系在任意外來因素作用下的位移系協(xié)調的充分必要條件是，當有任意虛擬的靜力平衡系時，力系中的外力經位移系中的位移所作的虛功恒等于變形體系各微段外力在變形位移上的虛功和。,靜力平衡系 （虛擬）,位移協(xié)調系 （真實）,單位荷載法： 在應用虛力原理時，特別的假設單位荷載。,求解步驟： （1）沿

7、所求位移的方向加上對應的單位虛力，得靜力狀態(tài)k。 （2）實際位移狀態(tài)m，建立虛功方程。,例 試用單位荷載法求圖示兩跨靜定梁，由于中間支座B向下移動 ，中間鉸C的豎向位移 。,解： 1.建立靜力狀態(tài)k：,2.建立虛功方程：,返回,4-6 桿件結構的位移計算公式及荷載作用下的位移計算,一、位移公式,單位荷載法：,二、荷載作用下的位移計算公式,荷載作用下:,例 求簡支梁AB，受均布荷載q時跨度中點的撓度。已知E、I。,解：1. 建立虛力狀態(tài)：,2. 內力公式：,取 ，設矩形截面,一般地： 在梁的計算中可略去軸力、剪力的影響； 在深梁的計算中必須考慮剪力的影響。,返回,例 求圖示四分之一圓弧的曲梁的自

8、由端的角位移與線位移,解：1. 角位移,（1）虛力狀態(tài),（2）列內力方程,（3）,2. 豎向位移,（1）虛力狀態(tài),（2）列內力方程,（3）,2. 水平位移,（1）虛力狀態(tài),（2）列內力方程,（3）,例 求圖示對稱桁架在荷載作用下結點4的豎向位移，設 ，圖中括弧內的數(shù)值為桿件截面面積A（ ）。,解：（1）桁架各桿的剪力和彎矩為零，軸力為常數(shù)，建立虛力方程，位移公式簡化為,式中，l為桿件長度,（2）求,（3）列表計算,（4）計算,4-7 圖乘法,使用條件：均質、常截面直桿； 至少一個內力圖按直線變化。,位移計算公式中的積分可以用圖乘法：,（1）用一內力圖的面積A乘以該內力圖面積的形心所對應的直線內

9、力圖的縱距 ； （2）面積A與縱距 在桿軸同側，則乘積 取正號，反之取負號。,常見圖形的面積和形心位置：,常見圖形圖乘結果：,例 求圖示剛架C點的水平線 。,解：1.建立虛力狀態(tài)： 2.作 圖： 3.圖乘：,例 設有一矩陣鋼筋混凝土渡槽，如圖（a）所示，槽深的計算簡圖如圖（b）所示，試求槽內最高水位時A、B兩點的相對位移。已知 。（設結構自重不計，并略去軸力及剪力對位移的影響）。,解：,（1）建立虛力狀態(tài),（2）分別作內力圖,（3）用圖乘法計算位移,返回,一、支座移動時的位移計算 靜定結構支座移動 時， 均為零，結構上k處發(fā)生位移 ； 虛力狀態(tài)的支座反力記為：,4-8 支座移動、溫度改變時的位

10、移計算,由虛功原理：,例 圖示結構，若支座B發(fā)生水平移動，即B點向右移動一距離a，試求C鉸左右兩截面的相對轉角。,解：（1）建立虛力狀態(tài)： （2）求有移動的支座的反力： （3）,二、溫度改變的位移計算,結構由于溫度改變（設變溫沿桿長不變，沿截面高度直線變化）而變形并引起位移：,桿軸線處平均溫度變化：,線段伸長為：,線段兩端截面的相對轉角：,溫度改變不引起剪應變,為最外纖維溫度差。,圖的面積,圖的面積,符號規(guī)定：軸力以拉為正，壓力為負。 受拉邊的變溫定義為 。,例 懸臂剛架如圖所示，外邊溫度升高10度，內邊溫度升高20度，求懸臂端的豎向位移，已知h=20cm，=120E-7/度。,解：1.建立虛力狀態(tài)：,2.作 圖：,3.計算位移：,返回,4-9 互等定理,一、虛功互等,建立虛功方程：,虛功互等定理可敘述為：k狀態(tài)的力因m狀態(tài)的位移所作的虛功，等于m狀態(tài)的力因k狀態(tài)的位移所作的虛功。,二、位移互等定理,在虛功互等定理中，令,則：,位移互等定理可敘述為：沿k方向的單位力在沿m方向引起的位移，等于沿m方向的單位力在沿k方向引