1、例1,已知隨機(jī)相位正弦波 X (t) = a cos(t + )，其中 a 0， 為常數(shù)，為在（0, 2）內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。求隨機(jī)過程 X (t), t (0, ) 的均值函數(shù) mX (t) 和相關(guān)函數(shù) RX (s, t) 。,2隨機(jī)過程的基本概念,例2,設(shè) X (t) 為信號過程，Y (t) 為噪聲過程，令W (t) = X (t) + Y (t)，,則 W (t) 的均值函數(shù)為,其相關(guān)函數(shù)為,2隨機(jī)過程的基本概念,例 求在0, 1區(qū)間均勻分布的獨立隨機(jī)序列的均值向量、自相關(guān)陣和協(xié)方差陣，設(shè)N=3。,解：,Xi 的一維概率密度函數(shù)為：,Xi 的均值：,Xi 的自相關(guān)函數(shù)：,均值向量,自相

2、關(guān)陣,協(xié)方差陣,2隨機(jī)過程的基本概念,例3,設(shè)復(fù)隨機(jī)過程 ，其中A1, A2, , An 是相互獨立且服從 N(0, )的隨機(jī)變量，1, 2, , n 為常數(shù)，求 Zt , t 0 的均值函數(shù) mZ (t) 和相關(guān)函數(shù) RZ (s, t) 。,2隨機(jī)過程的基本概念,例1,設(shè)有隨機(jī)相位過程 X (t) = a sin(t+)，a, 為常數(shù)， 為(0, 2)上服從均勻分布的隨機(jī)變量，試討論隨機(jī)過程 X (t) 的平穩(wěn)性。,解,因此 X (t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。,3平穩(wěn)過程,例2（白噪聲序列）,設(shè) Xn , n = 0, 1, 2, 是實的互不相關(guān)隨機(jī)變量序列，且 EXn = 0，DXn = 2 ，試

3、討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性 。,解,因為: (1) EXn = 0,故 隨機(jī)序列的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，因此它是平穩(wěn)隨機(jī)序列。,3平穩(wěn)過程,例3,設(shè)有隨機(jī)相位過程 X (t) = a cos(t+)，a, 為常數(shù)， 為(0, 2)上服從均勻分布的隨機(jī)變量，試問 X (t) 是否為各態(tài)歷經(jīng)過程。,故 X (t) 是為各態(tài)歷經(jīng)過程。,3平穩(wěn)過程,例4 設(shè)有兩個隨機(jī)過程X (t) = a cos(t+) 和Y (t) = b sin(t+)，其中a, b, 為常數(shù)， 為(0, 2)上服從均勻分布的隨機(jī)變量，分析X (t)和Y (t)是否聯(lián)合平穩(wěn)。,解,故 X (t)和 Y (t)均是平穩(wěn)過程。,所

4、以 X (t)和 Y (t) 是聯(lián)合平穩(wěn)的。,3平穩(wěn)過程,解,例1 設(shè)有隨機(jī)過程 X (t) = a cos(0t + )， 其中 a, 0 為常數(shù)， 在下列情況下，求 X (t) 的平均功率：(1) 是在( 0, 2 ) 上服從均勻分布的隨機(jī)變量；(2) 是在( 0, /2 ) 上服從均勻分布的隨機(jī)變量。,(1) 隨機(jī)過程 X (t) 是平穩(wěn)過程，,相關(guān)函數(shù)：,平均功率：,(2),平均功率：,X (t) 是非平穩(wěn)過程,4譜分析,例2,解,已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為 ，其中 a 0, 0 為常數(shù)，求譜密度 GX () .,4譜分析,解,例3 設(shè)隨機(jī)序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中

5、W(n)是高斯隨機(jī)序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相關(guān)函數(shù)和譜密度 GX () .,4譜分析,例4 如圖所示X (t) 是平穩(wěn)過程，過程Y (t)= X (t)+ X (tT)也是平穩(wěn)的，求Y (t) 的功率譜。,解,4譜分析,例1 （h(t) 的估計）,設(shè)線性系統(tǒng)輸入一個白噪聲過程 X (t)，其自相關(guān)函數(shù)為 RX ( ) = N0 ( ) ，則,通過測量互相關(guān)函數(shù)，可以估計線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。,假定過程 X (t) 和 Y (t) 是各態(tài)歷經(jīng)的，,5隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析,例2 如圖RC電路，若輸入白噪聲電壓 X (t) ，其相關(guān)函數(shù)為 RX ( ) =

6、 N0 ( ) ，求輸出電壓 Y (t) 的相關(guān)函數(shù)和平均功率。,解,5隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析,例3 如圖有兩個LTI系統(tǒng)H1()和H2()，若輸入同一個均值為零的平穩(wěn)過程 X(t) ，它們的輸出分別為 Y1(t) 和Y2(t)。如何設(shè)計H1()和H2()才能使Y1(t) 和Y2(t)互不相關(guān)？,解,互不相關(guān) 協(xié)方差為零,當(dāng)兩個LTI系統(tǒng)的幅頻特性互不重疊時，則它們的輸出Y1(t) 和Y2(t) 互不相關(guān)。,5隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析,例1 已知儀器在 0 , t 內(nèi)發(fā)生振動的次數(shù) X(t) 是具有參數(shù)的泊松過程。若儀器振動k (k 1)次就會出現(xiàn)故障，求儀器在時刻 t0 正常工作的概率

7、。,解,故儀器在時刻 t0 正常工作的概率為:,故障時刻就是儀器發(fā)生第k振動的時刻Wk ，服從 分布:,6泊松過程,參數(shù)為 n 和 s/t 的二項分布,例2 設(shè)在 0 , t 內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生 n 次，且0 s t，對于0 k n ，求在 0 , s 內(nèi)事件A發(fā)生 k 次的概率。,6泊松過程,例3 設(shè)在 0 , t 內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生 n 次，求第k次(k n) 事件A發(fā)生的時間Wk 的條件概率密度函數(shù)。,Beta分布,6泊松過程,例4 某電話交換臺在 0, t 時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)X(t)是一個泊松過程，平均每分鐘2次。 (1) 求 3分鐘內(nèi)接到5次呼叫概率；(2) 若3分鐘內(nèi)已接到5次，求前

8、2分鐘收到4次呼叫的概率，以及第2次呼叫發(fā)生在第1分鐘內(nèi)的概率。,6泊松過程,馬爾可夫鏈的幾個簡單例子,例1 二進(jìn)制對稱信道模型是常用于表征通信系統(tǒng)的錯誤產(chǎn)生機(jī)制的離散無記憶信道模型。假設(shè)某級信道輸入0, 1數(shù)字信號后，其輸出正確的概率為p，產(chǎn)生錯誤的概率為q，則該級信道輸入狀態(tài)和輸出狀態(tài)構(gòu)成一個兩狀態(tài)的齊次馬爾可夫鏈。,一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：,二步轉(zhuǎn)移概率矩陣：,7馬爾可夫鏈,例2 具有吸收壁和反射壁的隨機(jī)游動,設(shè)質(zhì)點在線段1,4上作隨機(jī)游動。假設(shè)它只能在時刻 nT 發(fā)生移動，且只能停留在1,2,3,4點上。當(dāng)質(zhì)點轉(zhuǎn)移到2,3點時，它以1/3的概率向左或向右移動一格，或停留在原處。當(dāng)質(zhì)點移動到點

9、1時，它以概率1停留在原處。當(dāng)質(zhì)點移動到點4時，它以概率1移動到點3。若以Xn 表示質(zhì)點在時刻 n 所處的位置，則 Xn , n T 是一個齊次馬爾可夫鏈。,7馬爾可夫鏈,7馬爾可夫鏈,解：,二步轉(zhuǎn)移概率矩陣：,7馬爾可夫鏈,例4 設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間 I = 0, 1, 2, ，其轉(zhuǎn)移概率為,分析各狀態(tài)的類型。,解：,先考查狀態(tài)0，,可見狀態(tài)0是非周期的，因而狀態(tài)0也是遍歷的。,由歸納法可知，,(根據(jù)pij(n)來判斷), 狀態(tài)0為常返態(tài), 狀態(tài)0為正常返態(tài),因為 其它i 0 ，故所有 i 也是遍歷的。,7馬爾可夫鏈,例5 設(shè)馬氏鏈 Xn 的狀態(tài)空間 I = 1, 2, 3, 4, 5 ，轉(zhuǎn)移矩陣為 試分析其閉集及不可約性。, 3 , 1, 4 , 1, 4, 3, 1, 4, 2, 3 都是閉集；其中 3 和 1, 4 是不可約閉集；,7馬爾可夫鏈,例6 設(shè)狀態(tài)空間 I = 1, 2, ,