1、求數(shù)列的,通項(xiàng)公式： 如果數(shù)列an的前n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,即 注意： 1.通項(xiàng)公式通常不是唯一的，一般取其最簡(jiǎn)單的形式； 2.通項(xiàng)公式以數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n為唯一變量； 3.并非每個(gè)數(shù)列都存在通項(xiàng)公式.,例1、寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)。,已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察數(shù)列特征，通常先將各項(xiàng)分解成幾部分（如符號(hào)、分子、分母、底數(shù)、指數(shù)等），然后觀察各部分與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，寫出通項(xiàng)。,一、觀察法,1、寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式: (1) 9, 99, 999, 9999, ,解：an=10n1,(2) 1, 11, 111, 1111, ,分析：注意觀察各項(xiàng)與它的

2、序號(hào)的關(guān)系 有 101，1021，1031，1041,解：an= (10n1),這是特殊到一般的思想，也是數(shù)學(xué)上重要的思想方法，但欠嚴(yán)謹(jǐn)！,分析:注意與熟悉數(shù)列9,99,999,9999,聯(lián)系,練習(xí)：,二、 公式法： (1)等差數(shù)列通項(xiàng)公式： (2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式： 例如： (1) (2),三、 定義法：,運(yùn)用,例2.an的前項(xiàng)和sn=2n21，求通項(xiàng)an,解：當(dāng)n2時(shí)，an=snsn1 =(2n21) 2(n1)21 =4n2,當(dāng)n=1時(shí), a1=1,不滿足上式,變式.已知an中，a1+2a2+3a3+ +nan=3n+1,求通項(xiàng)an,解: a1+2a2+3a3+nan=3n+1 (n1)

3、, a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n（n2）,nan=3n+13n=23n,而n=1時(shí),a1=9,（n2）,兩式相減得：,例3.,例4.,例5.已知an中, an+1=an+ n (nn*),a1=1,求通項(xiàng)an,解:由an+1=an+ n (nn*) 得,an=( anan1)+(an1an2)+ + (a2 a1)+ a1 =(n 1)+(n 2)+ +2+1+1,四、累加法,(遞推公式形如an+1=an+ f(n)型的數(shù)列),n個(gè)等式 相加得,an+1 an= n (nn*),（1）注意討 論首項(xiàng);,(2)適用于an+1=an+f(n)型遞推公式,求法：累加法,練習(xí)：,五、累乘

4、法 (形如an+1 =f(n)an型),例6.已知an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)an+12 +an+1annan2=0, 求an的通項(xiàng)公式,解: (n+1)an+12 +an+1annan2=0,( an+1+ an)(n+1) an+1 nan=0, an+1+ an0, (n1), an= ., (n+1) an+1 = nan,練習(xí)1：,五、累乘法 (形如an+1 =f(n)an型),練習(xí)2,五、累乘法 (形如an+1 =f(n)an型),六、構(gòu)造法,題型1. 已知數(shù)列an的首項(xiàng),以及滿足條件an+1=pan+q （p、q為常數(shù)）時(shí)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.,例7. 已知 ，根據(jù)條件

5、 ,確定數(shù)列 的通項(xiàng)公式.,方法：猜想證明：由 及 , 計(jì)算出 , , , ,歸納猜想： ;,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確(略).,六、構(gòu)造法,題型1. 已知數(shù)列an的首項(xiàng),以及滿足條件an+1=pan+q （p、q為常數(shù)）時(shí)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.,例7. 已知 ，根據(jù)條件 ,確定數(shù)列 的通項(xiàng)公式.,方法迭代法： 。,六、構(gòu)造法,題型1. 已知數(shù)列an的首項(xiàng),以及滿足條件an+1=pan+q （p、q為常數(shù)）時(shí)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.,例7. 已知 ，根據(jù)條件 ,確定數(shù)列 的通項(xiàng)公式.,方法構(gòu)造法：根據(jù) 構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列 設(shè) ，則 ， ， ，即 ， 為等比數(shù)列，首項(xiàng)為 ，公比為 3. ， .,六、

6、構(gòu)造法,題型1. 已知數(shù)列an的首項(xiàng),以及滿足條件an+1=pan+q （p、q為常數(shù)）時(shí)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.,方法總結(jié)：利用待定系數(shù)法令 an+=p (an-1+), 得到,從而構(gòu)造出等比數(shù)列 ,輔助求出an的通項(xiàng)公式,六、 構(gòu)造法,例8. 已知數(shù)列 中，,3,4，,六、 構(gòu)造法,例8. 已知數(shù)列 中，,3,4，,六、 構(gòu)造法,【變式遷移】,已知數(shù)列an中，a15且an2an12n1（n2且nn*）. （1）求證數(shù)列為等差數(shù)列； （2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,解：（1）方法1：（構(gòu)造法） 因?yàn)閍15且an2an12n1， 所以當(dāng)n2時(shí)，an12（an11）2n， 所以， 所以，,所以是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列. （2）由（1）知,所以an（n1）2n1.,已知數(shù)列an中，a15且an2an12n1（n2且nn*）. （1）求證數(shù)列為等差數(shù)列； （2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,【變式遷移】,例10