1、有限元基礎(chǔ)第四章,劉艷芳 Email: Add: 工程訓(xùn)練中心西配樓406 Tel： 8233 8121,第四章 桿系結(jié)構(gòu)的有限元法,章節(jié)目錄 4.1 概述 4.2 拉壓直桿的有限元分析 4.3 梁的有限元分析 4.4 剛架的有限元分析,4.1 概述,4.1.1 桿系結(jié)構(gòu) 定義 由有限根桿件在它們的端點(diǎn)處相互連接而成的結(jié)構(gòu) 分類 平面桿系：各桿軸線和外力作用線在一個(gè)平面內(nèi) 空間桿系：各桿軸線和外力作用線不在一個(gè)平面內(nèi) 工程中常見類型 拉壓直桿，桁架（平面和空間），梁（簡(jiǎn)支懸臂梁等），剛架（平面和空間）,4.1 概述,4.1.2 桿系單元 定義 桿系結(jié)構(gòu)中的桿件、梁、柱等稱為桿系單元。連接的點(diǎn)稱

2、為節(jié)點(diǎn)。 桿系單元為一維單元。 結(jié)構(gòu)離散 一般原則： 桿系的交叉點(diǎn)、邊界點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、桿件截面尺寸突變處等都應(yīng)該設(shè)置節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)之間的桿件即構(gòu)成單元。,4.1 概述,4.1.2 桿系單元 分類 桁架單元：桁架中的桿件 剛架單元：剛架中的桿件 區(qū)別： 桁架節(jié)點(diǎn)：鉸節(jié)點(diǎn) 傳遞力！ 剛架節(jié)點(diǎn)：剛節(jié)點(diǎn) 傳遞力和力矩！,4.1 概述,4.1.3 桿系單元的有限元分析 與平面問題和空間問題比較， 基本流程完全相同； 具體計(jì)算細(xì)節(jié)需要按照桿系單元的特性來進(jìn)行。,4.2 拉壓直桿的有限元分析,4.2.1 拉壓直桿 （單元描述） 幾何形狀：等截面A,長度為l 載荷：沿軸線分布 節(jié)點(diǎn)：2個(gè) 局部坐標(biāo)系：沿軸線定

3、義的一維坐標(biāo)系 ox 因此， 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 在x軸的坐標(biāo)： xi , xj 節(jié)點(diǎn)位移（自由度） 沿x軸的位移： ui , uj 單元節(jié)點(diǎn)位移列陣,4.2 拉壓直桿的有限元分析,4.2.2 位移模式 單元位移模式的推導(dǎo) 位移模式 形函數(shù),4.2 拉壓直桿的有限元分析,4.2.3 應(yīng)變 應(yīng)變分量 拉壓直桿只有軸向應(yīng)變： 幾何方程的推導(dǎo),4.2 拉壓直桿的有限元分析,4.2.4 應(yīng)力 應(yīng)力分量 拉壓直桿只有軸向應(yīng)力： 物理方程的推導(dǎo),4.2 拉壓直桿的有限元分析,4.2.5 單元?jiǎng)偠染仃?4.2 拉壓直桿的有限元分析,4.2.5 單元節(jié)點(diǎn)等效載荷 （軸向載荷） 集中力 根據(jù)離散的要求，集中力直接施加在所

4、處節(jié)點(diǎn)上 體力 軸向分布載荷q(x) 推導(dǎo)依據(jù)： 面力 按照集中載荷施加在面所在的節(jié)點(diǎn)上,4.2 拉壓直桿的有限元分析,4.2.6 平面桁架的有限元分析 網(wǎng)格離散 單元分析 整體分析,1,2,3,4,4.2 拉壓直桿的有限元分析,4.2.6 平面桁架的有限元分析 網(wǎng)格離散 單元分析：在局部坐標(biāo)系下建立單元平衡方程 整體分析：在整體坐標(biāo)系下組裝整體平衡方程 因此，組裝過程中需要兩個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換： 整體坐標(biāo)系:OXY 局部坐標(biāo)系: Oxy,O,4.2.6 平面桁架的有限元分析 整體坐標(biāo)系OXY ：節(jié)點(diǎn)位移為Ui ,Vi (i , j) 局部坐標(biāo)系 Oxy： 節(jié)點(diǎn)位移為ui ,uj 則有：,4.

5、2 拉壓直桿的有限元分析,i,j,x,y,O,從整體坐標(biāo)到局部坐標(biāo)的 坐標(biāo)變換矩陣T ,4.2 拉壓直桿的有限元分析,4.2.6 平面桁架的有限元分析 推導(dǎo)：,注意：局部坐標(biāo)系下的應(yīng)力和應(yīng)變,4.2 拉壓直桿的有限元分析,4.2.6 平面桁架的有限元分析 因此，單元?jiǎng)偠染仃囋诰植孔鴺?biāo)系和整體坐標(biāo)系下的變換式：,4.2 拉壓直桿的有限元分析,4.2.6 平面桁架的有限元分析 在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?4.3 梁的有限元分析,4.3.1 純彎梁?jiǎn)卧?(單元描述) 幾何形狀：長度l，橫截面為A。 材料屬性：彈性模量E，橫截面的慣性矩為I。 節(jié)點(diǎn)：i , j 共2個(gè) 局部坐標(biāo)系：oxy,4.3

6、 梁的有限元分析,材料力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),4.3 梁的有限元分析,4.3.1 純彎梁?jiǎn)卧?(單元描述) 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值：xi=0, xj=l 節(jié)點(diǎn)位移值：撓度vi和轉(zhuǎn)角i 節(jié)點(diǎn)力：彎距 Mi 和剪力 Qi 因此， 單元位移列陣： 單元載荷列陣：,4.3 梁的有限元分析,4.3.2 位移模式 代入單元兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和位移條件，即可求解四個(gè)待定常數(shù)a1-a4：,4.3 梁的有限元分析,4.3.3 應(yīng)變,4.3 梁的有限元分析,4.3.4 應(yīng)力 4.3.5 單元?jiǎng)偠染仃?單元平衡方程：,4.3 梁的有限元分析,4.3.6 等效節(jié)點(diǎn)載荷 若存在集中力或者集中力矩，將作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn) 若存在分布載荷，按照虛功等效的

7、原則進(jìn)行計(jì)算 適用情況：截面高度小于長度的1/5的桿系結(jié)構(gòu)。 原因：?jiǎn)卧奈灰颇Ｊ?，決定了沒有考慮剪切撓度。,4.3 梁的有限元分析,4.3.7 應(yīng)用實(shí)例,4.4 剛架的有限元分析,4.4.1 平面剛架 相互獨(dú)立的兩種變形形式 軸向拉壓 面內(nèi)彎曲 因此： 剛架單元桿單元梁?jiǎn)卧?局部坐標(biāo)系: oxyz,4.4 剛架的有限元分析,4.4.1 平面剛架,兩個(gè)坐標(biāo)系： 局部坐標(biāo)系 整體坐標(biāo)系,4.4.2 平面剛架單元（單元描述：局部坐標(biāo)系下） 節(jié)點(diǎn)位移 軸向位移 橫向位移 繞z軸的轉(zhuǎn)角 節(jié)點(diǎn)載荷 軸向力 剪力 彎矩,4.4 剛架的有限元分析,剛架的有限元分析,因此，局部坐標(biāo)系下：,單元節(jié)點(diǎn)位移列陣：,

8、單元節(jié)點(diǎn)載荷列陣：,4.4.2 平面剛架單元（單元描述：局部坐標(biāo)系下）,4.4 剛架的有限元分析,4.4.3 單元?jiǎng)偠染仃?(局部坐標(biāo)系下),3,單元分析：局部坐標(biāo)系 整體分析：整體坐標(biāo)系 因此，需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。,4.4 剛架的有限元分析,4.4.4 坐標(biāo)變換（推導(dǎo)過程省略）,4.4 剛架的有限元分析,4.4 剛架的有限元分析,4.4.5 空間剛架結(jié)構(gòu) 分析辦法：將平面剛架結(jié)構(gòu)擴(kuò)充到空間剛架結(jié)構(gòu)。 節(jié)點(diǎn)位移（自由度）：6個(gè)（3個(gè)平動(dòng)位移和3個(gè)旋轉(zhuǎn)位移）,第四章 桿系結(jié)構(gòu)的有限元法,學(xué)習(xí)要求： 掌握拉壓直桿單元和梁?jiǎn)卧膯卧匦?，了解剛架單元的單元特性?掌握拉壓直桿單元和梁?jiǎn)卧膯卧治龇椒?，了解剛架單元的單元?jiǎng)偠染仃嚨臉?gòu)成； 掌握平面桿系結(jié)構(gòu)的有限元分析中局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系之間