1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:,形式1:,形式2:,復(fù)習(xí)回顧,前100個(gè)自然數(shù)的和：1+2+3+100= ； 前n個(gè)奇數(shù)的和：1+3+5+(2n-1)= ； 前n個(gè)偶數(shù)的和：2+4+6+2n= .,思考題：如何求下列和？,n2,n(n+1),1.將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 看作是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù) 有什么特點(diǎn)？,當(dāng)d0時(shí),Sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù),則 Sn=An2+Bn,令,【說明】,推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法叫 ；,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式類同于 ；,an為等差數(shù)列 ，這是一個(gè)關(guān)于 的沒有 的“ ”,倒序相加法,梯形的面積公式,Sn=an2+bn,n,常

2、數(shù)項(xiàng),二次函數(shù),（ 注意 a 還可以是 0）,例1 已知數(shù)列an中Sn=2n2+3n， 求證：an是等差數(shù)列.,例1、若等差數(shù)列an前4項(xiàng)和是2，前9項(xiàng)和是6，求其前n 項(xiàng)和的公式。,解：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，則有：,設(shè) Sn= an2 + bn，依題意得：S4=2, S9= 6,即,解之得：,另解：,等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題,例1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得, d=2,當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.,等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題,例1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.,解法2

3、,由S3=S11得,d=20,當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.,則Sn的圖象如圖所示,又S3=S11,所以圖象的對稱軸為,等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題,例1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49., an=13+(n-1) (-2)=2n+15,由,得,a7+a8=0,等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題,例1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a

4、6+a9=a7+a8,又d=20,a70,a80,例1的變式題二：等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1 0, 前n項(xiàng)和為Sn，Sm= Sl ,問: n為何值時(shí)，Sn最大？,例1的變式題一：等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a1，S3 = S11，問：這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)的和最大？,例2：已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1= 21，公差d=2，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大值。,求等差數(shù)列前n項(xiàng)的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函數(shù)的對稱軸求得最值及取得最值時(shí)的n的值.,方法2:利用an的符號(hào)當(dāng)a10,d0時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù),此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,練習(xí):已知數(shù)列an的通

5、項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大,則n的值為( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14,C,2.等差數(shù)列an前n項(xiàng)和的性質(zhì),性質(zhì)1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也成等差數(shù)列,公差為,在等差數(shù)列an中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有,性質(zhì)2:若Sm=p,Sp=m(mp),則Sm+p=,性質(zhì)3:若Sm=Sp (mp),則 Sp+m=,n2d,0,- (m+p),性質(zhì)4: 為等差數(shù)列.,兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系,性質(zhì)6:若數(shù)列an與bn都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則,例1.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=( )

6、 A.63 B.45 C.36 D.27,例2.在等差數(shù)列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,3.等差數(shù)列an前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用,例3.一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和為100,前100項(xiàng)的和為10,則它的前110項(xiàng)的和為 .,110,等差數(shù)列an前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用,例5.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)的和之比為32:27,則公差為 .,例6.(09寧夏)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,

7、則m= .,例7.設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .,5,10,153,等差數(shù)列an前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用,例8.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S120,S130. (1)求公差d的取值范圍; (2)指出數(shù)列Sn中數(shù)值最大的項(xiàng),并說明理由.,解:(1)由已知得,等差數(shù)列an前n項(xiàng)和的性質(zhì),(2) ,Sn圖象的對稱軸為,由(1)知,由上得,即,由于n為正整數(shù),所以當(dāng)n=6時(shí)Sn有最大值.,Sn有最大值.,練習(xí)1 已知等差數(shù)列25,21,19, 的前n項(xiàng)和為Sn,求使得Sn最大的序號(hào)n的值.,練習(xí)2: 求集合 的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和.,練習(xí)3：已知在等差數(shù)列an中,a10=23, a25=-22 ,Sn為其前n項(xiàng)和.,（1）問該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始為負(fù)？ （2）求S10 （3）求使 Sn0的最小的正整數(shù)n. (4) 求|a1|+|a2|+|a3|+|a20|的值,課堂小結(jié),1.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式.,2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求 的最值.,3、設(shè)等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn，已知a3=12, S120, S130。 (1)求公差d的取值范圍; (2)指出S1 , S2, , S