1、第八章,特點(diǎn)：平頂.,柱體體積=？,特點(diǎn)：曲頂.,曲頂柱體,曲頂柱體的體積,一、問題的提出,播放,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,步驟如下：,用若干個(gè)小平 頂柱體體積之 和近似表示曲 頂柱體的體積，,先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，,曲頂柱體的體積,求平面薄片的質(zhì)量,將薄片分割成若干小塊，,取典型小塊，將其近似 看作均勻薄片，,所有小塊質(zhì)量之和 近似等于薄片總質(zhì)量,二、二重積分的概念,積分區(qū)域,積分和,被積函數(shù),積分變量,被積表達(dá)式,面積元素,對二重積分定義的說明：,二重積分的幾何意義,當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積,當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分

2、是柱體的體積的負(fù)值,在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，,故二重積分可寫為,則面積元素為,性質(zhì),當(dāng) 為常數(shù)時(shí)，,性質(zhì),（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）,三、二重積分的性質(zhì),性質(zhì),對區(qū)域具有可加性,性質(zhì),若 為D的面積，,性質(zhì),若在D上,特殊地,則有,性質(zhì),性質(zhì),（二重積分中值定理）,（二重積分估值不等式）,解,解,解,解,二重積分的定義,二重積分的性質(zhì),二重積分的幾何意義,（曲頂柱體的體積）,（和式的極限）,四、小結(jié),思考題,將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處.,定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的

3、積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù),思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,如果積分區(qū)域?yàn)椋?其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).

4、,一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,X型,應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得,如果積分區(qū)域?yàn)椋?Y型,X型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,若區(qū)域如圖，,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式,則必須分割.,解,積分區(qū)域如圖,解,積分區(qū)域如圖,解,原式,解,解,解,解,曲面圍成的立體如圖.,二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式,（在積分中要正確選擇積分次序）,二、小結(jié),Y型,X型,思考題,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、二重積分的換元法,例1,解,例2,解,二、小結(jié),

5、基本要求:變換后定限簡便，求積容易,思考題,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、問題的提出,把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.,若要計(jì)算的某個(gè)量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域 時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為 的形式，其中 在 內(nèi)這個(gè) 稱為所求量U的元素，記為 ，所求量的積分表達(dá)式為,二、曲面的面積,設(shè)曲面的方程為：,如圖，,曲面S的面積元素,曲面面積公式為：,設(shè)曲面的方程為：,曲面面積公式為：,設(shè)曲面的方程為：,曲面面積公式為：,同理可得,解,解,解方程組,得兩曲面

6、的交線為圓周,在 平面上的投影域?yàn)?三、平面薄片的重心,當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.,由元素法,解,四、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量,薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量,薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量,解,解,薄片對 軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力,為引力常數(shù),五、平面薄片對質(zhì)點(diǎn)的引力,解,由積分區(qū)域的對稱性知,所求引力為,幾何應(yīng)用：曲面的面積,物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、,對質(zhì)點(diǎn)的引力,（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識）,六、小結(jié),思考題,薄片關(guān)于 軸對稱,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、三重積分的定義,直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分,二、三重積分的計(jì)算,如圖，,得,注意,解,解,如圖，,解,解,原式,解,如圖,三重積分的定

7、義和計(jì)算,在直角坐標(biāo)系下的體積元素,（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）,三、小結(jié),思考題,選擇題:,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分,規(guī)定：,柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為,如圖，三坐標(biāo)面分別為,圓柱面；,半平面；,平 面,如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為,解,知交線為,解,所圍成的立體如圖，,所圍成立體的投影區(qū)域如圖，,二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分,規(guī)定：,如圖，三坐標(biāo)面分別為,圓錐面；,球 面；,半平面,球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為,如圖，,球面坐標(biāo)系中的體積元素為,如圖，,解,補(bǔ)充：利用對稱性化簡三重積分計(jì)算,使用對稱性時(shí)應(yīng)注意：,、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；,、被積函數(shù)在積

8、分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的,奇偶性,解,積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對稱，,被積函數(shù)是 的奇函數(shù),解,（1） 柱面坐標(biāo)的體積元素,（2） 球面坐標(biāo)的體積元素,（3） 對稱性簡化運(yùn)算,三重積分換元法,柱面坐標(biāo),球面坐標(biāo),三、小結(jié),思考題,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第八章習(xí)題課,定 義,幾何意義,性 質(zhì),計(jì)算法,應(yīng) 用,二重積分,定 義,幾何意義,性 質(zhì),計(jì)算法,應(yīng) 用,三重積分,一、主要內(nèi)容,1、二重積分的定義,、二重積分的幾何意義,當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積,當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值,性質(zhì),當(dāng) 為常數(shù)時(shí)，,性質(zhì),、二重積分的性質(zhì),性質(zhì),對區(qū)域具有可加性,性質(zhì),若 為

9、D的面積,性質(zhì),若在D上，,特殊地,性質(zhì),性質(zhì),（二重積分中值定理）,、二重積分的計(jì)算,X型,X-型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,（）直角坐標(biāo)系下,Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,Y型,（）極坐標(biāo)系下,5、二重積分的應(yīng)用,(1) 體積,設(shè)S曲面的方程為：,曲面S的面積為,(2) 曲面積,當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.,(3) 重心,薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量,薄片對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量,(4) 轉(zhuǎn)動慣量,薄片對 軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力,為引力常數(shù),(5) 引力,6、三重積分的定義,7、三重積分的幾何意義,8、三重積分的性質(zhì),類似于二重積分的性質(zhì),9、三重積分的計(jì)算,() 直角坐標(biāo),()