1、12.2古典概型,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.基本事件的特點(diǎn),知識(shí)梳理,(1)任何兩個(gè)基本事件是 的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和. 2.古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典的概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型. (1)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果 ，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果； (2)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性 .,互斥,基本事件,只有有限個(gè),相同,3.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是 ；如果某個(gè)事件a包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件a的概率p(a) .,4.古典概型的概率公

2、式,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.() (2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.() (3)從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為5005 g的袋裝食鹽中任取一袋，測(cè)其重量，屬于古典概型.(),(4)有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為 .() (5)從1,2,3,4,5中任取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是0.2.() (6)在古典概型中，如果事件a中基本事件構(gòu)成集

3、合a，且集合a中的元素個(gè)數(shù)為n，所有的基本事件構(gòu)成集合i，且集合i中元素個(gè)數(shù)為m，則事件a的概率為 .(),考點(diǎn)自測(cè),1.從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是,答案,解析,基本事件的總數(shù)為6，,2.(2016北京)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為,答案,解析,3.(2015課標(biāo)全國(guó))如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為,答案,解析,4.從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為_(kāi).

4、,答案,解析,取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為10種， 所有距離不小于正方形邊長(zhǎng)的情況有6種，,5.(教材改編)同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為_(kāi).,答案,解析,題型分類深度剖析,題型一基本事件與古典概型的判斷,例1(1)有兩顆正四面體的玩具，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗(yàn)：用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).試寫(xiě)出： 試驗(yàn)的基本事件；,解答,這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)

5、，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).,事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含的基本事件；,解答,事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含的基本事件為 (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).,事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含的基本事件.,事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含的基本事件為 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).,解答,(2)袋中有大小相同的5個(gè)白球，3個(gè)黑球和3個(gè)紅球，每球有一個(gè)區(qū)別于其他球的編號(hào)，從中摸出一個(gè)球. 有多少種不同的摸法？如果把每個(gè)球的編號(hào)看作一個(gè)基

6、本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？,解答,由于共有11個(gè)球，且每個(gè)球有不同的編號(hào)，故共有11種不同的摸法. 又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，因此每個(gè)球被摸中的可能性相等，故以球的編號(hào)為基本事件的概率模型為古典概型.,若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個(gè)基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？,解答,由于11個(gè)球共有3種顏色，因此共有3個(gè)基本事件，分別記為a：“摸到白球”，b：“摸到黑球”，c：“摸到紅球”，,顯然這三個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性不相等， 所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型.,一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)有限性

7、和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1下列試驗(yàn)中，古典概型的個(gè)數(shù)為 向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率； 向正方形abcd內(nèi)，任意拋擲一點(diǎn)p，點(diǎn)p恰與點(diǎn)c重合； 從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率； 在線段0,5上任取一點(diǎn)，求此點(diǎn)小于2的概率. a.0 b.1 c.2 d.3,答案,解析,中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件， 所以不是古典概型； 的基本事件都不是有限個(gè)，不是古典概型； 符合古典概型的特點(diǎn)，是古典概型.,題型二古典概型的求法,例2(1)(2015廣東)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白

8、球，5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球，則所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為,答案,解析,(2)(2015江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概 率為_(kāi).,答案,解析,(3)我國(guó)古代“五行”學(xué)說(shuō)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”將這五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，設(shè)事件a表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事件a發(fā)生的概率為_(kāi).,答案,解析,引申探究 1.本例(2)中，若將4個(gè)球改為顏色相同，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)小球，從中一次取兩球，求標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)

9、的概率.,解答,基本事件數(shù)仍為6.設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件a， 則a包含的基本事件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種，,2.本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率.,解答,求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件a包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹(shù)狀圖法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2(1)(2016全國(guó)乙卷)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是,答案,解析,從

10、4種顏色的花中任選2種種在一個(gè)花壇中，余下2種種在另一個(gè)花壇，有(紅黃)，(白紫)，(白紫)，(紅黃)，(紅白)，(黃紫)，(黃紫)，(紅白)，(紅紫)，(黃白)，(黃白)，(紅紫)，共6種種法，其中紅色和紫色不在一個(gè)花壇的種法有(紅黃)，(白紫)，(白紫)，(紅黃)，(紅白)，(黃紫)，(黃紫)，(紅白)，共4種，,(2)一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c. 求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率；kk,解答,由題意知，(a，b，c)所有的可能為,(1,1,1)，(1

11、,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種.,設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”為事件a，,則事件a包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種.,求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.,解答,

12、題型三古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用,例3(2015安徽)某企業(yè)為了解下屬某部門(mén)對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問(wèn)50名職工.根據(jù)這50名職工對(duì)該部門(mén)的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：40,50)，50,60)，80,90)，90,100.,解答,(1)求頻率分布直方圖中a的值；,因?yàn)?0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.,(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分不低于80的概率；,解答,由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為(0.0220.018)100.4， 所以該企業(yè)職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4

13、.,(3)從評(píng)分在40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評(píng)分都在40,50)的概率.,解答,受訪職工中評(píng)分在50,60)的有500.006103(人)，記為a1，a2，a3；,受訪職工中評(píng)分在40,50)的有500.004102(人)，記為b1，b2，,有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn).概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無(wú)論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問(wèn)題即可解決.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3海關(guān)對(duì)同時(shí)從a，b，c三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位

14、：件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).,解答,(1)求這6件樣品中來(lái)自a，b，c各地區(qū)商品的數(shù)量；,因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是,所以a，b，c三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.,所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是,(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率.,解答,設(shè)6件來(lái)自a，b，c三個(gè)地區(qū)的樣品分別為,則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為a，b1，a，b2，a，b3，a，c1，a，c2，b1，b2，b1，b3，b1，c1，b1，c2，b2，b3，b2，c1，b2，c2

15、，b3，c1，b3，c2，c1，c2，共15個(gè).,每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.,a；b1，b2，b3；c1，c2.,典例(12分)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4. (1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率； (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求nm2的概率.,審細(xì)節(jié)更完善,審題路線圖系列六,審題路線圖,規(guī)范解答,(1)基本事件為取兩個(gè)球 (兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取兩個(gè)球的所有結(jié)果列舉出來(lái) 1,2，1,3，1,4，2,

16、3，2,4，3,4 兩球編號(hào)之和不大于4 (注意：和不大于4，應(yīng)為小于4或等于4) 1,2，1,3 利用古典概型概率公式求解,(2)兩球分兩次取，且有放回 (兩球的編號(hào)記錄是有次序的，用坐標(biāo)的形式表示) 基本事件的總數(shù)可用列舉法表示 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4),(注意細(xì)節(jié)，m是第一個(gè)球的編號(hào)，n是第2個(gè)球的編號(hào)) nm2的情況較多，計(jì)算復(fù)雜 (將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題) 計(jì)算nm2的概率 nm2的所有情況為(1,3)，(1,4)，(

17、2,4) ,(注意細(xì)節(jié)，p1 是nm2的概率，需轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件的 概率),返回,解 (1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6個(gè).從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件有1,2，1,3，共2個(gè).,(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè). 6分,又滿足條件nm2的事

18、件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個(gè)，,故滿足條件nm2的事件的概率為,返回,課時(shí)作業(yè),1.(2016全國(guó)丙卷)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是m，i，n中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,第一位是m，i，n中的一個(gè)字母， 第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字， 所以總的基本事件的個(gè)數(shù)為15，,2.(2016威海模擬)從集合2,3,4,5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合1,3,5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m(a，b)與向量n(1，1)垂

19、直的概率為,答案,解析,由mn，得mn0，即ab，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,則滿足mn的m有(3,3)，(5,5)，共2個(gè)，,3.(2015廣東)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為 a.0.4 b.0.6 c.0.8 d.1,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016哈爾濱模擬)設(shè)a1,2,3,4，b2,4,8,12，則函數(shù)f(x)x3axb在區(qū)間1,2上有零點(diǎn)的概率為,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由已知f(x)3x2a

20、0，,所以f(x)在r上遞增，若f(x)在1,2上有零點(diǎn)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，則取出球的編號(hào)互不相同的概率為,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.如圖，三行三列的方陣中有九個(gè)數(shù)aij(i1,2,3；j1,2,3)，從中任取三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，

21、則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如圖所示，從正六邊形abcdef的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選4個(gè)頂點(diǎn)，可以看作隨機(jī)選2個(gè)頂點(diǎn)，剩下的4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，,有a、b，a、c，a、d，a、e，a、f，b、c，b、d，b、e，b、f，c、d，c、e，c、f，d、e，d、f，e、f，共15種.若要構(gòu)成矩形，只要選相對(duì)頂點(diǎn)即可，有a、d，b、e，c、f，共3種，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.若a、b為互斥事件，p(a)0.4，p(ab)0.7，則p(b)_.,答案,解析,0.3,因?yàn)閍、b為互斥事

22、件，,所以p(ab)p(a)p(b)，,故p(b)p(ab)p(a)0.70.40.3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2016成都模擬)如右圖的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測(cè)試中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為_(kāi).,依題意，記題中的被污損數(shù)字為x， 若甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)，則有(8921)(53x5)0，x7，即此時(shí)x的可能取值是7,8,9，,答案,解析,0.3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件 次品的概率是_.,答

23、案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3). (1)求事件“ab”發(fā)生的概率；,解答,由題意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6， 故(m，n)所有可能的取法共36種. 因?yàn)閍b，所以m3n0，即m3n，有(3,1)，(6,2)，共2種，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)求事件“|a|b|”發(fā)生的概率.,解答,由|a|b|，得m2n210，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為 ，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的. (1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,則n(n1)6，解