1、第5講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì),最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.,知 識 梳 理,1.直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 如果一條直線l與平面內(nèi)的_直線都垂直，就說直線l與平面互相垂直.,任意,(2)判定定理與性質(zhì)定理,兩條相交直線,la,lb,a,b,平行,a,b,2.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是_，就說這兩個平面互相垂直.,直二面角,(2)判定定理與性質(zhì)定理,垂線,交線,l,l,a,la,l,

2、診 斷 自 測,1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”) 精彩ppt展示,(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.() (2)垂直于同一個平面的兩平面平行.() (3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.() (4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.(),解析(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)或l與斜交或l或l，故(1)錯誤. (2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故(2)錯誤. (3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯誤. (4)若平面

3、內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，則，故(4)錯誤.,答案(1)(2)(3)(4),a.如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面 b.如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 c.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面 d.如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面,2.(必修2p56a組7t改編)下列命題中錯誤的是(),解析對于d，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其他選項易知均是正確的. 答案d,3.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足m，n，則() a.ml b.mn c.nl

4、d.mn 解析因為l，所以l，又n，所以nl，故選c. 答案c,4.(2017湖南六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的是() a.且m b.且m c.mn且n d.mn且 解析由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知c正確. 答案c,5.(必修2p67練習(xí)2改編)在三棱錐pabc中，點p在平面abc中的射影為點o， (1)若papbpc，則點o是abc的_心. (2)若papb，pbpc，pcpa，則點o是abc的_心.,解析(1)如圖1，連接oa，ob，oc，op， 在rtpoa、rtpob和rtpoc中，papcpb， 所以oa

5、oboc，即o為abc的外心.,圖2,圖1,(2)如圖2，pcpa，pbpc，papbp， pc平面pab，ab平面pab， pcab，又abpo，popcp， ab平面pgc，又cg平面pgc，abcg，,即cg為abc邊ab的高.同理可證bd，ah分別為abc邊ac，bc上的高，即o為abc的垂心. 答案(1)外(2)垂,考點一線面垂直的判定與性質(zhì),【例1】 如圖，在四棱錐pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中點.證明： (1)cdae； (2)pd平面abe.,證明(1)在四棱錐pabcd中， pa底面abcd，cd平面abcd， pa

6、cd，又accd，且paaca， cd平面pac. 又ae平面pac，cdae. (2)由paabbc，abc60，可得acpa. e是pc的中點，aepc. 由(1)知aecd，且pccdc， ae平面pcd.而pd平面pcd，aepd.,pa底面abcd，ab平面abcd， paab. 又abad，且paada， ab平面pad，而pd平面pad， abpd. 又abaea，pd平面abe.,規(guī)律方法(1)證明直線和平面垂直的常用方法有： 判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì)(，a，la，ll). (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明

7、線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.,考點二面面垂直的判定與性質(zhì),【例2】 (2015山東卷)如圖，三棱臺defabc中，ab2de，g，h分別為ac，bc的中點. (1)求證：bd平面fgh； (2)若cfbc，abbc，求證：平面bcd平面egh.,證明(1)連接dg，cd，設(shè)cdgfm，連接mh.,在三棱臺defabc中， ab2de，g為ac中點， 可得dfgc，且dfgc， 則四邊形dfcg為平行四邊形. 從而m為cd的中點， 又h為bc的中點， 所以hmbd，又hm平面fgh，bd平面fgh， 故bd平面fgh.,(2)連接h

8、e，因為g，h分別為ac，bc的中點， 所以ghab. 由abbc，得ghbc.又h為bc的中點， 所以efhc，efhc， 因此四邊形efch是平行四邊形， 所以cfhe.又cfbc，所以hebc. 又he，gh平面egh，heghh， 所以bc平面egh. 又bc平面bcd，所以平面bcd平面egh.,規(guī)律方法(1)證明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理. (2)已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.,【訓(xùn)練2】 如圖，在三棱錐pabc中，平面pab平面abc，papb，m，n分別為ab，pa的

9、中點. (1)求證：pb平面mnc； (2)若acbc，求證：pa平面mnc.,證明(1)因為m，n分別為ab，pa的中點，所以mnpb. 又因為mn平面mnc，pb平面mnc，所以pb平面mnc.,(2)因為papb，mnpb，所以pamn. 因為acbc，ambm，所以cmab. 因為平面pab平面abc， cm平面abc，平面pab平面abcab. 所以cm平面pab. 因為pa平面pab，所以cmpa. 又mncmm，所以pa平面mnc.,考點三平行與垂直的綜合問題(多維探究) 命題角度一多面體中平行與垂直關(guān)系的證明,【例31】 (2016江蘇卷)如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，

10、d，e分別為ab，bc的中點，點f在側(cè)棱b1b上，且b1da1f，a1c1a1b1.求證： (1)直線de平面a1c1f； (2)平面b1de平面a1c1f.,證明(1)在直三棱柱abca1b1c1中，a1c1ac. 在abc中，因為d，e分別為ab，bc的中點， 所以deac，于是dea1c1. 又因為de平面a1c1f，a1c1平面a1c1f， 所以直線de平面a1c1f.,(2)在直三棱柱abca1b1c1中，a1a平面a1b1c1. 因為a1c1平面a1b1c1，所以a1aa1c1. 又因為a1c1a1b1，a1a平面abb1a1，a1b1平面abb1a1，a1aa1b1a1，所以a1

11、c1平面abb1a1.,因為b1d平面abb1a1，所以a1c1b1d. 又因為b1da1f，a1c1平面a1c1f，a1f平面a1c1f，a1c1a1fa1，所以b1d平面a1c1f. 因為直線b1d平面b1de，所以平面b1de平面a1c1f.,規(guī)律方法(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化. (2)垂直與平行的結(jié)合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.,命題角度二平行垂直中探索性問題,【例32】 如圖所示，平面abcd平面bce，四邊形abcd為矩形，bcce，點f為ce的中點. (1)證明：ae平面bdf. (2)點m為cd上任意一點，

12、在線段ae上是否存在點p，使得pmbe？若存在，確定點p的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.,(1)證明連接ac交bd于o，連接of，如圖. 四邊形abcd是矩形， o為ac的中點，又f為ec的中點， of為ace的中位線， ofae，又of平面bdf，ae平面bdf， ae平面bdf.,(2)解當(dāng)p為ae中點時，有pmbe， 證明如下：取be中點h，連接dp，ph，ch，p為ae的中點，h為be的中點，phab，又abcd，phcd，p，h，c，d四點共面.平面abcd平面bce， 平面abcd平面bcebc，cd平面abcd，cdbc.,cd平面bce，又be平面bce， cdbe，

13、bcce，h為be的中點，chbe， 又cdchc， be平面dphc，又pm平面dphc， bepm，即pmbe.,規(guī)律方法(1)求條件探索性問題的主要途徑：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性. (2)涉及點的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點.,(1)求證：ac平面fbc. (2)求四面體fbcd的體積. (3)線段ac上是否存在點m，使ea平面fdm？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.,(3)解線段ac上存在點m，且點m為ac中點時，有ea平面fdm.證明如下：,連接ce，與df交于點n，取ac的中點m，連接mn. 因為四邊形cdef是正方形，所以點n為ce的中點. 所以eamn.因為mn平面fdm，ea平面fdm， 所以ea平面fdm.所以線段ac上存在點m，且m為ac的中點，使得ea平面fdm成立.,2.證明面面垂直的方法 (1)利用定義：兩個平面