1、11.3幾何概型,基礎知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎知識自主學習,1.幾何概型,知識梳理,2.幾何概型中的g也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應的概率是 之比或 之比.,向平面上有限區(qū)域(集合)g內(nèi)隨機地投擲點m，若點m落在子區(qū)域g1g的概率與g1的面積成正比，而與g的形狀、位置無關，即p(點m落在g1), ，則稱這種模型為幾何概型.,體積,長度,3.借助 可以估計隨機事件發(fā)生的概率.,模擬方法,判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零.() (2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該

2、區(qū)域中的每一點被取到的機會相等.() (3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.(),(4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.() (5)與面積有關的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關.(),考點自測,1.(教材改編)在線段0,3上任投一點，則此點坐標小于1的概率為,答案,解析,坐標小于1的區(qū)間為0,1，,長度為1，0,3區(qū)間長度為3，,2.(2015山東)在區(qū)間0,2上隨機地取一個數(shù)x，則事件“1 1”發(fā)生的概率為,答案,解析,由幾何概型的概率計算公式得所求概率,3.(教材改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要

3、想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是,答案,解析,p(a)p(c)p(d)p(b).,4.(2017濟南月考)一個長方體空屋子，長，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個角上各裝有一個捕蠅器(大小忽略不計)，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率是,答案,解析,屋子的體積為54360(立方米)，,5.若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形abcd中，其中ab2，bc1，則質(zhì)點落在以ab為直徑的半圓內(nèi)的概率是_.,答案,解析,設質(zhì)點落在以ab為直徑的半圓內(nèi)為事件a，,題型分類深度剖析,題型一與長度、角度有關的幾何概型,例1(1)(2016全

4、國甲卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為,答案,解析,答案,解析,解答,因為b60，c45，所以bac75.,引申探究,解答,2.本例(3)中，若將“在bac內(nèi)作射線am交bc于點m”改為“在線段bc上找一點m”，求bm1的概率.,解答,求解與長度、角度有關的幾何概型的方法 求與長度(角度)有關的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉化為長度(角度)，然后求解.要特別注意“長度型”與“角度型”的不同.解題的關鍵是構建事件的區(qū)域(長度或角度).,思維升華,跟蹤訓練1(1)(2016全國乙

5、卷)某公司的班車在7：00，8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是,答案,解析,如圖所示，畫出時間軸.,答案,解析,命題點1與平面圖形面積有關的問題 例2(2016全國甲卷)從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為,答案,解析,題型二與面積有關的幾何概型,由題意得(xi，yi)(i1,2，n)在如圖所示方格中， 而平方和小于1的點均在如圖所

6、示的陰影中，,命題點2與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題,答案,解析,如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域oab，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域oacd，,跟蹤訓練2(1)(2016昌平模擬)設不等式組 表示的平面區(qū)域為d.在區(qū)域d內(nèi)隨機取一個點，則此點到直線y20的距離大于2的概率是,答案,解析,作出平面區(qū)域d，可知平面區(qū)域d是以a(4,3)，b(4，2)，c(6，2)為頂點的三角形區(qū)域.當點在aef區(qū)域內(nèi)時，點到直線y20的距離大于2.,pbc內(nèi)的概率是_.,答案,解析,連接de，ef，fd.,即p是def的重心，此時，pde，pef，pdf的面積相等， 則pde的面積是pbc的面積的20倍

7、，pef的面積是pac的面積的15倍，pdf的面積是pab的面積的12倍，,題型三與體積有關的幾何概型,例4(1)(2016貴州黔東南州凱里一中期末)一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，則稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為,答案,解析,當p在三棱錐的三條側棱的中點所在的平面及下底面構成的正三棱臺內(nèi)時符合要求，,答案,解析,求解與體積有關的幾何概型的注意點 對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的問題也可利用其對立事件去求.,思維升華,跟蹤訓練3(2016

8、哈爾濱模擬)在體積為v的三棱錐sabc的棱ab上任取一點p，則三棱錐sapc的體積大于 的概率是_.,答案,解析,幾何概型中的“測度”,現(xiàn)場糾錯系列12,(1)在線段上取點，則點在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線，則射線在角內(nèi)的分布等可能. (2)兩個變量在某個范圍內(nèi)取值，對應的“測度”是面積.,典例(1)在等腰rtabc中，c90，在直角邊bc上任取一點m，則cam30的概率是_.,錯解展示,現(xiàn)場糾錯,糾錯心得,解析(1)因為c90，cam30，,答案,返回,解析(1)因為點m在直角邊bc上是等可能出現(xiàn)的，所以“測度”是長度.設直角邊長為a，,(2)設任取兩點所表示的數(shù)分別為x，y， 則0 x

9、1，且0y1.,答案,返回,課時作業(yè),1.(2016佛山模擬)如圖，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此實驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計出橢圓的面積約為 a.16.32 b.15.32c.8.68 d.7.68,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,故s16.32.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016南平模擬)設p在0,5上隨機地取值，則關于x的方程x2px10有實數(shù)根的概率為,答案,解析,方程有實數(shù)根，則p240，解得p2或p2(舍去)，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8

10、,9,10,11,12,13,4.已知abc中，abc60，ab2，bc6，在bc上任取一點d，則使abd為鈍角三角形的概率為,答案,解析,如圖，當be1時，aeb為直角， 則點d在線段be(不包含b、e點)上時， abd為鈍角三角形；當bf4時，baf為直角，則點d在線段cf(不包含c、f點)上時，abd為鈍角三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.如圖，在圓心角為直角的扇形oab中，分別以oa，ob為直徑作兩個半圓.在扇形oab內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,

11、5,6,7,8,9,10,11,12,13,設分別以oa，ob為直徑的兩個半圓交于點c，oa的中點為d，如圖，連接oc，dc. 不妨令oaob2， 則oddadc1.,所以整體圖形中空白部分面積s22.,所以陰影部分面積為s32.,6.歐陽修的賣油翁中寫到：“(翁)乃取一葫蘆，置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為3 cm的圓，中間有邊長為1 cm的正方形孔，若隨機向銅錢上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計)，則正好,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,落入孔中的概率是_.,7.有一個

12、底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點o為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點p，則點p到點o的距離大于1的概率,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,為_.,答案,解析,如圖，由題意知，在矩形abcd內(nèi)任取一點q(m，n)，點q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,半圓區(qū)域如圖所示.設a表示事件,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.(2016湖南衡陽八中月考)隨機向邊長為5,5,6的三角形中投一點p，則點p到三個頂點的距離都不小

13、于1的概率是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,11.已知向量a(2,1)，b(x，y). (1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次，第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足ab1的概率；,解答,將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6636，,由ab1，得2xy1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab0的概率.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,若x，y在連續(xù)區(qū)間1,

14、6上取值，則全部基本事件的結果為(x，y)|1x6,1y6，,滿足ab0的基本事件的結果為,畫出圖形如圖，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a(x，y)|1x6,1y6且2xy0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,依條件可知事件的全部結果所構成的區(qū)域為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1 h，乙船停泊時間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設甲、乙兩艘船到達碼頭的時刻分