1、,例16本不同的書，按下列要求各有多少種不同 的選法：,（1）分成1本、2本、3本三組； （2）分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；,解：（1）這是“不均勻分組”問題，一共有 種方法,（2）在（1）的基礎上再進行全排列，所以一共有 種方法,（一）分組（堆）與分配問題,分堆問題,分配問題,例16本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：,（3）分成每組都是2本的三個組；,（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本.,點評：,本題是分組（堆）中的“平均分堆”問題,一般地：將mn個元素均勻分成n組（每組m個元素）,共有,種方法,完全平均分堆,部分平均分堆該怎么處理？,(1)今有1

2、0件不同獎品,從中選6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少種分法? (2) 今有10件不同獎品,從中選6件分給甲乙丙三人,每人二件有多少種分法?,練習,例16本不同的書，按下列要求各有多少種不同 的選法： （5）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本,解：（5）可以分為三類情況：,“2、2、2型” 的分配情況，有 種方法；,“1、2、3型” 的分配情況，有 種方法；,“1、1、4型”，有 種方法，,所以，一共有90+360+90540種方法,注意： 對于分配問題(排列組合的混合應用)， 一般解法是先選后排。,練習： 10名學生均分成2組，每組選出正、副組長各1人，共有多少種不同的方法？,例

3、2（1）四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共 有多少種不同的放法？ （2）四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空 盒的放法有多少種？兩個空盒呢？,解：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理：一共有 種方法；,（2）恰空一盒時：分堆方案是“1+1+2+0”型，故共 有,=144種放法。,恰空兩盒時，方案是“1+3+0+0 ”或者“2+2+0+0 ”型，故共有,例 某車間有11名工人，期中有5名鉗工，4名車工，另外2名既能當鉗工又能當車工，現(xiàn)要在這11名工人中選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，有多少種選派方法？,（二）多面手問題,解:第一類:選派的4名鉗工中無“多面手”,有選派方法 種;,第二類:選派的

4、4名鉗工中有1名“多面手”,有選派方法 種;,第三類:選派的4名鉗工中有2名“多面手”,有選派方法 種;,由分類加法計數(shù)原理，不同的選派方法共有：,某小組共有10人，期中有5人會英語，7人會俄語，其中有2人既會外語又會俄語，現(xiàn)要在這10人中選派4人，其中2人做英語翻譯，2人做俄語翻譯，有多少種選派方法？,練習,（三）元素相同問題隔板策略,例.有10個運動員名額，再分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？,解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個空隙。,在個空檔中選個位置插入隔板，可把名額分成份，對應地分給個班級，每一種插板方法對應一種分法。 共有_種分法。,將n個相同

5、的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為,練習、 （1）10個優(yōu)秀指標分配給6個班級，每個班級至少 一個，共有多少種不同的分配方法？ （2）10個優(yōu)秀指標分配到1、2、 3三個班，若名 額數(shù)不少于班級序號數(shù)，共有多少種不同的分配方法？,分析：（1）這是同種元素的“不平均分組”問題.本小題可構(gòu)造數(shù)學模型 ，用5個隔板插入10個指標中的9個空隙，即有 種方法。按照第一個隔板前的指標數(shù)為1班的指標，第一個隔板與第二個隔板之間的指標數(shù)為2班的指標，以此類推，因此共有 種分法.,（2）先拿3個指標分給二班1個，三班2個，然

6、后，問題轉(zhuǎn)化為7個優(yōu)秀指標分給三個班，每班至少一個.由（1）可知共有 種分法,練習：將7只相同的小球全部放入4個不同盒子，每盒至少1球的放法有多少種？,隔板法：待分元素相同，去處不同，每處至少一個。,變式 將7只相同的小球全部放入4個不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少種？,方程 的正整數(shù)解的組數(shù)是多少？自然數(shù)解的組數(shù)又是多少？,一般的，對于方程 ，正整數(shù)解得組數(shù)是 ； 自然數(shù)解的組數(shù)是 。,課后練習：,1. 某施工小組有男工7人，女工3人，選出3人中有女工1人，男工2人的不同選法有多少種？,3. 要從7個班級中選出10人來參加數(shù)學競賽，每班至少選1人，這10個名額有多少種分配方法?,2. 由

7、10人組成的課外文娛小組，有4人只會跳舞，有4人只會唱歌，2人均能。若從中選出3個會跳舞和3個會唱歌的人的排演節(jié)目，共有多少種不同的選法？,（四）順序固定問題,例（1）7人排成一列，甲必須在乙的右面（可以不相鄰），有多少種不同的排法？,解：（1）解法一: 7人排隊，2人順序固定，共有,解法二：先從7個位置中選5個位置，排上其余5人，剩下2人直接插入。共有,（2）有5個節(jié)目的節(jié)目單中要插入2個新節(jié)目，保證原有節(jié)目順序不變的排法有多少種？,解：（1）解法一: 相當于7個節(jié)目全排列且要求5個順序固定， 因而有,解法二：兩個節(jié)目一個一個地插入，先插第一個，有6種插法，再插第二個節(jié)目，有7種插法。因此總

8、共有,練習1馬路上有編號為1，2，3，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？,解：（插空法）本題等價于在7只亮著的路燈之間的6個空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數(shù)為 種方法,練習2 一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（ ） A24種 B36種 C48 D72種,B,練習3甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加

9、某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（ ） A. 20種 B. 30種 C. 40種 D. 60種,A,練習4某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如題（16）圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有 種（用數(shù)字作答）.,216,15個人分4張同樣的足球票，每人至多分一張，而且 票必須分完，那么不同的分法種數(shù)是 ,2某學生要邀請10位同學中的6位參加一項活動，其中 有2位同學要么都請，要么都不請，共有 種邀請方法.,3.一個集合有

10、5個元素，則該集合的非空真子集共有 個.,4.平面內(nèi)有兩組平行線，一組有m條，另一組有n條，這 兩組平行線相交，可以構(gòu)成 個平行四邊形 .,5空間有三組平行平面，第一組有m個，第二組有n個， 第三組有t個，不同兩組的平面都相交，且交線不都平行， 可構(gòu)成 個平行六面體.,98,30,課堂練習：,6.高二某班第一小組共有12位同學，現(xiàn)在要調(diào)換座位， 使其中有3個人都不坐自己原來的座位，其他9人的座位 不變，共有 種不同的調(diào)換方法.,7.某興趣小組有4名男生，5名女生： （1）從中選派5名學生參加一次活動，要求必須有2名男 生，3名女生，且女生甲必須在內(nèi)，有 種選派方法； （2）從中選派5名學生參加

11、一次活動， 要求有女生但人 數(shù)必須少于男生，有_種選派方法； （3）分成三組，每組3人，有_種不同分法.,36,45,280,課堂練習：,8.九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，8，從中取出三 張排成一排組成一個三位數(shù)，如果6可以當作9使用，問 可以組成多少個三位數(shù)？,解：可以分為兩類情況： 若取出6，則有 種方法； 若不取6，則有 種方法，,根據(jù)分類計數(shù)原理，一共有 + 602 種方法,課堂練習：,9. 某餐廳供應盒飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種.現(xiàn)在餐廳準備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需準備不同的素菜_種.(結(jié)果用數(shù)值

12、表示),7,【解題回顧】由于化為一元二次不等式n2n400求解較繁，考慮到n為正整數(shù)，故解有關(guān)排列、組合的不等式時，常用估算法.,10. 某電視臺邀請了6位同學的父母共12人，請這12位家長中的4位介紹對子女的教育情況，如果這4位中恰有一對是夫妻，那么不同選擇方法的種數(shù)是( ) (A)60 (B)120 (C)240 (D)270,C,11. 某次數(shù)學測驗中，學號是i (i=1、2、3、4)的四位同學的考試成績 f(i)86,87,88,89,90，且滿足f(1)f(2)f(3)f(4)，則四位同學的成績可能情況有( ) (A)5種 (B)12種 (C)15種 (D)10種,C,B,12.表達式 可以作為下列哪一問題的答案 ( ) (A)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有一個盒子放兩個球的方法數(shù) (B)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有一個盒子空著的方法數(shù) (C)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有兩個盒子放兩個球的方法數(shù) (D)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有兩個盒子空著的方法數(shù),1按元素的性質(zhì)進行分類、按事件發(fā)生的連續(xù)過