1、1,三角函數(shù)系的正交性,函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),小結(jié) 思考題 作業(yè),(傅氏級數(shù)Fourier series),問題的提出,第七節(jié) 傅里葉(Fourier)級數(shù),正弦級數(shù)或余弦級數(shù),2,上一節(jié)詳細研究了一種重要的函數(shù)項級數(shù):,冪級數(shù).,下面研究另一種重要的函數(shù)項級數(shù):,這種級數(shù)是由于研究周期現(xiàn)象的需要而,產(chǎn)生的.,它在電工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很,重要的應(yīng)用.,傅里葉(Fourier,1768-1830) 法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家.,法國科學(xué)院院士,英國皇家學(xué)會會員.,傅里葉,級數(shù).,3,一、問題的提出,在自然界和人類的生產(chǎn)實踐中,周而復(fù)始,的現(xiàn)象,周期運動是常見的.,如行星的飛轉(zhuǎn),飛輪的旋轉(zhuǎn),蒸氣機

2、活塞的,往復(fù)運動,物體的振動,聲、光、電的波動等.,數(shù)學(xué)上,用周期函數(shù)來描述它們.,最簡單最基本,的周期函數(shù)是,諧函數(shù),振幅,時間,角頻率,初相,簡諧波,簡諧振動,正弦型函數(shù),4,如矩形波,不同頻率正弦波,除了正弦函數(shù)外,常遇到的是非正弦周期函數(shù),較復(fù)雜的周期現(xiàn)象,逐個疊加,分解,5,6,7,8,9,10,設(shè)想,一個較復(fù)雜的周期運動(如矩形波)分解,為簡諧振動的迭加.,會給分析問題帶來方便.,是把一個復(fù)雜的周期函數(shù) f(t),反映在數(shù)學(xué)上,的迭加,表示為各類正弦函數(shù),諧波分析,或再利用三角恒等式,變形為,即,11,三角級數(shù),？,函數(shù) f (t) 滿足什么條件,系數(shù),才能展為,如何確定?,為簡便

3、計,先來討論以 為周期的函數(shù) f(x),解決上述問題起著關(guān)鍵作用的是:,三角函數(shù)系的正交性(orthogonality).,三角級數(shù)?,12,三角函數(shù)系,二、三角函數(shù)系的正交性,的正交性是指:,其中任何兩個不同的函數(shù)的乘積,在一個周期長的區(qū)間,而任,一個函數(shù)的自乘(平方)在,即有,orthogonality,13,14,1.傅里葉系數(shù) (Fourier coefficient),兩邊積分,三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),15,16,17,則,18,解,由傅里葉系數(shù)公式,偶,練習(xí),19,傅里葉系數(shù),由這些系數(shù)作成的三角級數(shù),20,稱為函數(shù) f(x)(誘導(dǎo)出)的傅里葉級數(shù),f(x) ,f(x)的傅里葉級

4、數(shù)不見得收斂；,即使收斂，,級數(shù)的和也不一定是 f(x).,不能無條件的,下面的傅里葉級數(shù)收斂定理回答了我們.,所以,把符號“”,它的傅里葉級數(shù)收斂，,記為,當(dāng) f(x)滿足什么條件時，,并收斂于f(x)本身.,換為“=”.,21,2. 狄利克雷(Dirichlet)充分條件,(收斂定理),22,當(dāng)x是f (x)的連續(xù)點時,當(dāng)x是f (x)的間斷點時,當(dāng) 時,傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f(x)的關(guān)系,由定理可知:,23,(1)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成,(2) 周期函數(shù)的三角級數(shù)展開是唯一的,就是,常說把 f (x)在 上展開成傅氏級數(shù).,(3) 要注明傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f (x)相等

5、,冪級數(shù)的條件低得多;,其傅里葉級數(shù),的區(qū)域.,就是函數(shù),在一個周期內(nèi)的平均值;,24,設(shè)函數(shù) f (x)以 為周期, 且,其傅氏級數(shù)在 處收斂于( ).,練習(xí),25,解,可以將f (x)展開為傅氏級數(shù).,因為,所以,其傅氏級數(shù)在 處收斂于( ).,設(shè)函數(shù)f(x)以 為周期,且,26,周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)解題程序:,并驗證是否滿足狄氏條件,(畫圖目的: 驗證狄氏條件;,由圖形寫出收斂域;,易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量);,(2) 求出傅氏系數(shù);,(3) 寫出傅氏級數(shù),并注明它在何處收斂于f (x).,(1) 畫出 f (x)的圖形,27,解,u(t)的圖象,計算傅里葉系數(shù),奇,奇,將其展開

6、為傅氏級數(shù)，,并按狄利克雷定理寫出此級數(shù)的和.,例,為周期的矩形脈沖的波形,28,偶,故u(t)的傅里葉級數(shù)為,29,由于u(t)滿足狄利克雷充分條件,所以,得,30,解,計算傅里葉系數(shù),例,將 f (x) 展開為傅里葉級數(shù).,f (x) 的圖象,31,32,故 f (x)的傅里葉級數(shù),33,由于f (x)滿足狄利克雷充分條件,由收斂定理得,34,35,上有定義;,(3) F(x)可展為傅氏級數(shù);,作 法,對于非周期函數(shù),如果 f (x)只在區(qū)間,上有定義,并且滿足狄氏充要條件,也可展開成,傅氏級數(shù).,(1) f (x) 在,(周期延拓);,級數(shù)收斂于,36,解,例 將函數(shù),展開為傅氏級數(shù).,

7、拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在,計算傅里葉系數(shù),所給函數(shù)在區(qū)間,滿足狄氏充要條件,收斂于 f (x).,37,偶函數(shù),奇函數(shù),38,所求函數(shù)的傅氏展開式為,利用傅氏展開式求級數(shù)的和,39,為周期的傅氏級數(shù)的和函數(shù)S(x)在 上的,解,S(x) =,練習(xí),表達式.,40,98 (A),填空題 (3分),已知級數(shù) 則級數(shù) 的和,等于,解,所以,練習(xí),41,由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì),系數(shù)的公式,易得下面的結(jié)論.,和傅里葉,此時稱傅里葉級數(shù)為,(sine series),正弦級數(shù),sine series and cosine series,四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為,42,此時稱傅里

8、葉級數(shù)為,將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時,先要考查函數(shù),是非常有用的.,是否有奇偶性,(cosine series),余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為,43,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,奇函數(shù),設(shè) f (x)是周期為 的周期函數(shù),它在,例,上的表達式為,將 f (x)展開成傅氏級數(shù).,f (x)的圖形,44,45,正弦級數(shù),46,47,奇延拓,偶延拓,兩種:,正弦級數(shù).,偶函數(shù),奇函數(shù),余弦級數(shù);,因而展開成,因而展開成,48,上有定義.,作法,3. F(x)可展開為傅氏級數(shù), 這個級數(shù)必定是,得到 f (x)的正弦級數(shù) 的展開式.,(偶函數(shù)),的奇函數(shù),正弦級數(shù),(余弦級數(shù)),(余弦級數(shù)),其實也

9、不必真正實施這一手續(xù).,滿足收斂定理的條件,1. f (x)在,2. 在開區(qū)間,內(nèi)補充定義,得到定義在,上的函數(shù)F(x),使它成為 在上,49,解,(1) 求正弦級數(shù).,奇延拓,正弦級數(shù),分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).,例,50,(2) 求余弦級數(shù).,又可展成余弦級數(shù),既可展成正弦級數(shù),其傅氏級數(shù)不唯一.,余弦級數(shù),偶延拓,上有定義的函數(shù),51,設(shè)函數(shù),(1) 把f (x) 展開為正弦級數(shù);,(2) 求級數(shù)的和函數(shù)S(x)在,解,練習(xí),(1),上的表達式;,52,級數(shù)的和函數(shù)S(x)的周期為,如圖所示,從圖上看更明顯,(2) 求級數(shù)的和函數(shù)S(x)在,上的表達式;,解,解,53,基本概念(三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性),函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)(傅里葉系數(shù)、 傅里葉級數(shù) 、按狄利克雷收斂定理寫出傅里葉級數(shù)的和),傅里葉級數(shù)的意義 整體逼近,五、