1、基礎(chǔ)梳理,第三節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦及正切公式,典例分析,題型一 化簡求值,分析 50、10、80都不是特殊角，但注意到它們的和60、90都是特殊角，因此可考慮用和角公式求其值；另外，正切函數(shù)化弦后出現(xiàn)分式，可通過約分去掉非特殊角.,【例1】求2sin 50+sin 10(1+ tan 10) 的值.,解 原式=(2sin 50+sin 10 =2(sin 50+2sin 10 ) cos 10 =2 sin 50cos 10+sin 10cos(60-10) =2 sin(50+10)=2 = .,學后反思 對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有： （1）化為

2、特殊角的三角函數(shù)值； （2）化為正負相消的項，消去項求值； （3）化分子、分母，使之出現(xiàn)公約數(shù)進行約分而求值.,舉一反三,1. 求sin 50(1+ tan 10)的值.,解析: 原式=sin 50(1+ ) =sin 50 =sin 50 = = =1.,題型二 知值求角,分析 （1）欲求角，應(yīng)先求其某種三角函數(shù)值. （2）從已知條件找出角+2的范圍，確定其值.,【例2】已知 3sin 2-2sin 2=0,且、都是銳角，求+2的值.,解 方法一：由 得 即cos 2=3 .又由3sin 2-2sin 2=0, 得sin 2= sin 2. cos(+2)=cos cos 2-sin sin

3、 2 =cos 3 -sin sin =3 cos -3cos =0. 又090,090,0+2270. 故+2=90.,學后反思 解決給值求角問題一般分如下三個步驟： （1）求角的某一個三角函數(shù)值； （2）確定角所在的范圍； （3）確定所求角的值.,舉一反三,方法二：由 得3 =cos 2, 又由3sin 2-2sin 2=0得 sin 2=sin 2, 得tan =cot 2.090,0290. cot(90-)=cot 2,又090-90,0290， +2=90.,2. 已知tan = ,tan = ,并且、均為銳角，求+2.,題型三 知值求值,解析：tan = 1,tan = 1,且、

4、均為銳角， 0 ,0+2 .又tan tan(+2)= +2= .,【例3】已知0 ,且cos(- )=- ,sin( -)= , 求cos(+)的值.,分析 要求的是cos(+)的值，已知條件不能直接利用，觀察知 道(- )-( -)= ，這樣就可以先求出 的正弦值或余 弦值，再通過余弦的二倍角公式將問題解決.,解0 ,- ( ,). 又cos(- )=- 0, - ( ,),sin(- )= . -(- , ),sin( -)= 0, -(0, ),cos( -)= . =(- )-( -), cos =cos(- )-( -) =cos(- )cos( -)+sin(- )sin( -)

5、 = cos(+)=,舉一反三,學后反思 三角恒等變換中經(jīng)常用到角度變換，如：=(+）-=（-)+,2=(+)+(-)=(+)-(- ),+=2 , =(- )-( -)等，通過這些角的變換實現(xiàn) 利用已知條件達到整體求解的目的.如本題中通過 =(- )- ( -)實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，考生復習該部分時要注意領(lǐng)會這種思想.,3. 已知sin sin =16,( ,),求sin 4.,解析：方法一：sin sin =sin cos = , sin( +2)= ,即cos 2= . ( ,),2(,2)， sin 2=- sin 4=2sin 2cos 2=- .,題型四 實際應(yīng)用,方法二：由條件得 (

6、cos +sin ) (cos -sin )= , 即 ,cos 2= . 由2(,2)得sin 2= ，sin 4=- .,【例4】(12分)已知在ABC中，tan A+tan B+ = tan Atan B, 且sin Acos A= ,試判斷此三角形的形狀.,分析 提取系數(shù) ，與tan(+)= 相聯(lián)系.,解 sin Acos A= sin 2A= ,0A,.2 A=30或60.4,學后反思 (1)tan +tan =tan(+)(1-tan tan )是一種常用的變化技巧，應(yīng)熟記. （2）判斷三角形的形狀可以借助三角函數(shù)值之間的關(guān)系，另對于判斷三角形是鈍角或銳角三角形時，應(yīng)利用余弦值或正

7、切值的正負來判斷,盡量不用正弦值來判斷.,舉一反三,又tan A+tan B=- (1-tan Atan B), tan(A+B)=- , A+B=120.8 當A=30時，B=90，tan B無意義;.10 當A=60時，B=60,ABC為正三角形.12,4. 如圖所示，A、B是單位圓O上的點，且B 在第二象限，C是圓與x軸正半軸的交點， A點的坐標為 ,AOB為正三角形. （1）求sinCOA; （2）求cosCOB.,解析: (1)因為A點的坐標為 ,根據(jù)三角函數(shù)的定義，sinCOA= . (2)因為AOB為正三角形，所以AOB=60. 又因為sinCOA= ,cosCOA= , 所以c

8、osCOB=cos(COA+60) =cosCOAcos 60-sinCOAsin 60 =,【例】若 ,且、為銳角，求+的值.,易錯警示,錯解 、為銳角, , 0+,+=45或135.,錯解分析 上述解法欠嚴密，僅由sin(+)=22,0+180,而得到+=45或135，但沒注意題設(shè)中 , .使得0+60,故上述結(jié)論是錯誤的. 實質(zhì)上本題是由于方法不當導致運算量加大和忽視角的范 圍限制而致錯.我們?nèi)羧?的余弦，則易求得cos(+)= , 又由于0+,故+= .這樣就避免了上述角的范圍的 探求.因此在求角時一定要結(jié)合條件選擇角的合適的三角函數(shù)， 往往能化繁為簡.,正解 由以上求得 ， cos(+)=cos cos -sin sin = . 、為銳角，0+,+= .,考點演練,10. （2009天津和平區(qū)模擬） 的值為 .,解析,答案： 1,11. 已知向量m=(cos ,sin )和n=( -sin ,cos ),(,2), 且|m+n|= ,求 的值.,解析： 方法一：,由已知|m+n|= ，得 .,方法二：,由已知,12. (創(chuàng)新題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓相交于A、