1、功與能,利用圖象求功之方法適用于當(dāng)力對位移的關(guān)系為線性時(shí);或在表示力對位移關(guān)系的F-s示功圖中F(s)圖線與s軸圍成的圖形“面積”有公式可依時(shí);因?yàn)樵贔-s示功圖中，這種“面積”的物理意義就是功的大小,方法 A,利用圖象示功圖,x,W,錘子打木樁，錘每次從同一高度落下，每次均有80%的能量傳給木樁，且木樁所受阻力f與插入深度x成正比，試求木樁每次打入的深度比若第一次打擊使木樁插入了全長的1/3，全部插入須錘擊多少次？,例1,本題中的阻力f為一與位移x成正比的變力，即f=kx,示功圖,x1,x2,x3,l,圖中各陰影“面積” 表示第1、2、3次錘擊中，木樁克服阻力做的功，數(shù)值上等于錘傳給木樁的能

2、量，設(shè)為W0,由圖,當(dāng)xn=l時(shí)，由,某質(zhì)點(diǎn)受到F=6x2的力的作用，從x=0處移到x=2.0 m處，試求力F做了多少功？,例2,本題中的變力力F與位移x成F=6x2關(guān)系，F(xiàn)-x圖線為拋物線,示功圖,24,W,圖中 “面積” 表示F力做的功,“面積” 由阿基米德公式,由示功圖得F力做的功,如圖所示，一質(zhì)量為m，長為l的柔軟繩索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨過桌面邊緣的光滑定滑輪下垂，柔繩與桌面間的摩擦因數(shù)為柔繩能由靜止開始下滑，求下垂部分長度至少多長？由這一位置開始運(yùn)動，柔繩剛離開桌面時(shí)的速度多大？,設(shè)柔繩恰由靜止開始下滑時(shí)下垂部分長度為x0，則由,柔繩恰由靜止開始下滑至以v離開桌面，由

3、動能定理,其中，重力功等于繩重力勢能減少,摩擦力為線性變力：,示功圖,l-x0,x,一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，被固定中心排斥，斥力的大小F=mr，其中r為質(zhì)點(diǎn)離開此中心的距離在開始時(shí)，r0=a，v=0，求質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過位移a時(shí)所達(dá)到的速度大小,斥力為線性變化力！,示功圖,對示功圖求梯形陰影“面積”,對質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過位移a的過程，由動能定理,跳水運(yùn)動員從高于水面H10 m的跳臺自由落下，運(yùn)動員的質(zhì)量m60 kg，其體形可等效為長度l1.0 m、直徑d0.30 m的圓柱體，略去空氣阻力，運(yùn)動員入水后水的等效阻力F作用于圓柱體下端面，F(xiàn)量值隨入水深度y變化如圖，該曲線近似為橢圓的一部分，長軸和短軸分別與OY和OF重合，

4、為了確保運(yùn)動員絕對安全，試計(jì)算水池中水的h至少應(yīng)等于多少？,對全過程運(yùn)用動能定理:,其中阻力功根據(jù)示功圖為四分之一個(gè)橢圓“面積”:,示功圖,入水過程中，浮力隨入水深度y作線性變化,示功圖,如果在某一位移區(qū)間，力隨位移變化的關(guān)系為F=f(s) ，求該變力的功通常用微元法，即將位移區(qū)間分成n（n）個(gè)小區(qū)間s/n，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)將力視為恒定，求其元功Fi s/n ，由于功是標(biāo)量，具有“可加性”，那么總功等于每個(gè)小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和的極限，即變力在這段位移中所做的功為：,方法 B,用微元法,在數(shù)學(xué)上，確定元功相當(dāng)于給出數(shù)列通項(xiàng)式，求總功即求數(shù)列n項(xiàng)和當(dāng)n時(shí)的極限,半徑等于r的半球形水池，其中充滿了水，

5、把池內(nèi)的水完全吸盡，至少要做多少功？,例.,r,ri,沿著容器的豎直直徑，我們將水池內(nèi)的水均勻細(xì)分成n層，每一元層水的高度,r,每一層水均可看作一個(gè)薄圓柱，水面下第i層水柱底面的半徑,這層水的質(zhì)量,將這層水吸出至少應(yīng)做的元功是,將池水吸盡至少要做的功是,一個(gè)質(zhì)量為m的機(jī)動小車，以恒定速度v在半徑為R的豎直圓軌道繞“死圈”運(yùn)動已知?jiǎng)幽Σ烈驍?shù)為，問在小車從最低點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)過程中，摩擦力做了多少功？,例.,小車沿豎直圓內(nèi)軌勻速率運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中，由于軌道支持力是變力，故而摩擦力為一隨位置變化的力！,A,B,當(dāng)小車運(yùn)動在A處元圓弧段時(shí),mg,NA,摩擦力在A處元功為,當(dāng)小車運(yùn)動在與A關(guān)于x軸對稱

6、的B處元圓弧段時(shí),mg,NB,續(xù)解,摩擦力在B處元功為,小車在關(guān)于水平直徑對稱的軌道兩元段上摩擦力元功之和為,查閱,摩擦力在半圓周軌道上的總功,計(jì)算水平直徑以下段摩擦力的功：,續(xù)解,水平直徑以上段摩擦力的功：,將板沿板長均分為n（n）等份,將木板在水平地面上繞其一端轉(zhuǎn)動角，求所需要做的功木板長度為L，質(zhì)量為M，木板與地面之間的動摩擦因數(shù)為,元摩擦力做功的位移為,摩擦力對i段做的元功為,則對木板的功,各元段摩擦力為,從一個(gè)容器里向外抽空氣，直到壓強(qiáng)為p容器上有一小孔，用塞子塞著現(xiàn)把塞子拔掉，問空氣最初以多大速率沖進(jìn)容器？設(shè)外界大氣壓強(qiáng)為p0，大氣密度為,p,p0,x,s,設(shè)小孔截面積為s，打開塞

7、子后孔外側(cè)厚度為x的一薄層空氣在內(nèi)、外壓強(qiáng)差作用下沖入容器，獲得速度v0，由動能定理:,這種求功方法依據(jù)功對能量變化的量度關(guān)系，只須了解初、未能量狀態(tài)，得到能量的增量便是相應(yīng)的功量,方法 C,從能量變化反觀功,如圖所示,一質(zhì)量分布均勻的粗繩長2a，質(zhì)量為2m，兩端懸于水平天花板上相距為a的兩點(diǎn)而懸垂靜止，其重心位于天花板下方b處.現(xiàn)施一力于繩之最低點(diǎn)C并將繩拉直至D點(diǎn)，求拉力所做的功,D,由幾何關(guān)系拉直后兩段繩的重心位置距天花,重力勢能增加了,由功能原理，拉力功為,解：,例.,由于拉力做功，使繩之重心高度變化因而重力勢能變化，重力勢能的增量即為所求拉力功量,C,h,h,一質(zhì)量為m的皮球，從高為

8、h處自由下落（不計(jì)空氣阻力），反彈起來的高度為原來的3/4，要皮球反彈回h高處，求每次拍球需對球做的功,例.,在球與地面接觸期間，地面對球的彈力對球做負(fù)功，使球的動能減少地面對球的彈力功是變力功!,牛頓碰撞定律：若兩球碰撞前速度依次為v10、v20，碰撞后速度為v1、v2，則碰撞后兩者的分離速度v2 v1與碰撞前兩者的接近速度v20 v10成正比，比值e稱恢復(fù)系數(shù)（或反彈系數(shù)），比值由兩者的質(zhì)料決定，即,從h高度自由下落再反彈的全過程,地面彈力功W1:,從h高度拍下再反彈原高的全過程,地面彈力功W2:,續(xù)解,從h高下落未速度即與地接近速度:,從地面反彈的起跳速度即與地分離速度:,同一球與同一地

9、面碰撞,恢復(fù)系數(shù)相同:,如圖所示，有兩個(gè)薄壁圓筒半徑為R的圓筒繞自己的軸以角速度轉(zhuǎn)動，而另一個(gè)圓筒靜止使兩圓筒相接觸并且它們的轉(zhuǎn)軸平行，過一會兒，由于摩擦兩圓筒開始做無滑動的轉(zhuǎn)動問有多少機(jī)械能轉(zhuǎn)換成內(nèi)能？（兩圓筒的質(zhì)量分別為m1、m2）,m1,R,m2,1,根據(jù)題意，一段時(shí)間內(nèi)m1線速度從R 1R,而m2線速度從0 2r= 1R,這種變化是因?yàn)閮烧唛g有大小相等的一對力作用，這對力做功使系統(tǒng)機(jī)械能(動能)轉(zhuǎn)換成內(nèi)能 !,對系統(tǒng),由動能定理:,又,由牛頓第二、三定律,一對力大小相等:,功能關(guān)系面面觀,功是力的空間積累作用，能是對物體運(yùn)動的一種量度.功的作用效應(yīng)是使物體的能量狀態(tài)發(fā)生變化，做功的過程

10、就是物體能量轉(zhuǎn)化的過程，轉(zhuǎn)化了的能量都可以由做功的多少來量度，這是我們對功與能之間關(guān)系的基本認(rèn)識，是我們從能量角度解決運(yùn)動問題的依據(jù),功能關(guān)系基本認(rèn)識,功能關(guān)系的具體認(rèn)識,功能對應(yīng)規(guī)律,借助功與能的具體對應(yīng)關(guān)系，對運(yùn)動的功的量度問題作出正確的操作.,確定有哪些力對研究對象做了正功或負(fù)功，以代數(shù)和的形式完成定理中等號左邊對合外力的功的表述；,分析所研究過程的初、未兩狀態(tài)的動能，完成等號右邊對動能變化的表述 ；,動能定理的應(yīng)用,選定研究的對象與過程;,示例,一定的能量變化由相應(yīng)的功來量度,重力功量度重力勢能的變化：,外力（可以是重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其它力）做的總功量度動能的變化：,

11、彈力功量度彈性勢能的變化：,動能定理,引力功量度引力勢能的變化：,非重力彈力功量度機(jī)械能的變化：,勢能定理,功能原理,電場力功量度電勢能的變化：,（W非可以是摩擦力功、電場力功、安培力功或其它非重力、彈簧彈力的功）,返回,如圖示，一水塔的蓄水箱底離地面的高度H0=20 m，其橫斷面是半徑R=2 m的圓儲水深h=1 m，如果用裝在高H1=5 m處、截面積為2 cm2的水龍頭放水，問需要多久才能將水放完？,根據(jù)題意，水箱中的水從底部截面積為s的小孔流出，若流速為vi，則時(shí)間ti內(nèi)的水流量Qi= vi ti S；總儲水全部流盡的時(shí)間應(yīng)為,每層水放出時(shí)間的通項(xiàng)式為,全部水箱儲水放盡的總需時(shí)為,小孔流速

12、,續(xù)解,示例,P0+P水,P0,設(shè)小孔處一小片厚x、面積S的液片,在內(nèi)外壓力之合力作用下獲得速度v而離開小孔，由動能定理:,小孔流速模型,P0,返回,P,P+P水,質(zhì)量為m的小球以某一初速度豎直上拋，若運(yùn)動中所受阻力Ff=kv2，最大阻力為重力的0.44倍，試求小球上升的最大高度H及落回拋出點(diǎn)時(shí)的速度vt,本題通過元過程的動能定理,用微元法求得終解!,本題研究過程中有重力功與阻力功,其中阻力功為耗散功,且為一按指數(shù)規(guī)律變化的力!,取上升過程中的某一元過程:該過程小球上升了高度H/n(n )，速度從vi減少為vi+1,各元過程中的阻力可視為不變?yōu)?合外力,根據(jù)動能定理，對該元過程有,即,對該式變

13、形有,續(xù)解,在各相同的上升高度H/n微元中，合外力大小成等比數(shù)列遞減、因而動能的增量是成等比數(shù)列遞減的，其公比為,對上式兩邊取極限:,同理,對下落過程由,對此式兩邊取n次方當(dāng)n極限:,續(xù)解,由題給條件,小球落回拋出點(diǎn)時(shí)的速度是拋出時(shí)速度的六分之五,查閱,一質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意點(diǎn)P，在重力作用下由靜止開始往下滑,從Q點(diǎn)離開球面，求PQ兩點(diǎn)的高度差h,本題除重力外無非保守力的功,機(jī)械能守恒!,設(shè)球半徑為R,Q,mg,由機(jī)械能守恒:,Q點(diǎn)動力學(xué)方程為:,由幾何關(guān)系:,若質(zhì)點(diǎn)從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下R/3的高度，釋放高度H越小，沿球面滑下的高度越短這是一個(gè)有趣又有用的

14、模型,如圖甲所示，把質(zhì)量均為m的兩個(gè)小鋼球用長為2L的線連接，放在光滑的水平面上在線的中央O作用一個(gè)恒定的拉力，其大小為F，其方向沿水平方向且與開始時(shí)連線的方向垂直，連線是非常柔軟且不會伸縮的，質(zhì)量可忽略不計(jì)試求：當(dāng)兩連線的張角為2時(shí)，如圖乙所示，在與力垂直的方向上鋼球所受的作用力是多少？鋼球第一次碰撞時(shí)，在與力垂直的方向上，鋼球的對地速度為多少？經(jīng)過若干次碰撞，最后兩個(gè)鋼球一直處于接觸狀態(tài)下運(yùn)動，試求由于碰撞而失去的總能量為多少？,O,在如示坐標(biāo)中分解力F,在與F垂直方向上線對鋼球的力大小為,設(shè)鋼球第一次碰撞時(shí)沿F方向速度為vx，垂直于F方向速度為vy，設(shè)力F的位移為x，由動能定理,在x方向

15、上:,達(dá)到終態(tài)時(shí)，兩球vy=0，F(xiàn)總位移X，有,軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士距墻S0以速度v0起跳，如圖所示，再用腳蹬墻面一次使身體變?yōu)樨Q直向上的運(yùn)動以繼續(xù)升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為求能使人體重心有最大總升高Hmax的起跳角,S0,v0,設(shè)抵達(dá)墻時(shí)戰(zhàn)士速度為v，蹬墻后速度為v,各矢量間關(guān)系如示，,矢量圖示,v,gt,v0,v,從起跳至上升至最高H處，由機(jī)械能守恒:,由矢量圖所示關(guān)系:,質(zhì)量為M、長為l的板放在冰面上，在板的一端坐著質(zhì)量為m的小貓它要跳到板的另一端，問小貓對冰面的最小速度v0min應(yīng)為多少？小貓為使跳到板的另一端所消耗的能量最少， 問它的初速度v0應(yīng)該與水平面成多大角？,貓消耗能量E，使

16、貓及木板獲得初動能：,起跳時(shí)間t內(nèi)m與M間水平方向相互作用力大小相等，故有,貓從跳離板一端到落至板另一端歷時(shí)由豎直方向分運(yùn)動得,這段時(shí)間內(nèi)貓對板的位移應(yīng)滿足,利用基本不等式性質(zhì) ：,如圖所示，厚度不計(jì)的圓環(huán)套在粗細(xì)均勻、長度為L的棒的上端，兩者質(zhì)量均為m，圓環(huán)與棒間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為一常數(shù)，為kmg（k1）棒能沿光滑的豎直細(xì)桿AB上下滑動，棒與地碰撞時(shí)觸地時(shí)間極短，且無動能損失設(shè)棒從其下端距地高度為H處由靜止自由下落，與地經(jīng)n次碰撞后圓環(huán)從棒上脫落分析棒第二次碰地以前的過程中，環(huán)與棒的運(yùn)動情況，求出棒與環(huán)剛達(dá)到相對靜止時(shí)，棒下端距地高度h；求出n、k、L、H四個(gè)量應(yīng)滿足的關(guān)系

17、,由機(jī)械能守恒，棒第一次碰地以前速度,A,B,L,H,棒與地相碰后瞬時(shí)速度大小不變、方向向上，,加速度為,環(huán)速度,環(huán)加速度,棒與環(huán)相對初速度,相對加速度,棒與環(huán)相對靜止時(shí),環(huán)與棒的共同速度,從棒從地面向上到與環(huán)相對靜止的過程中，一對摩擦力做負(fù)功，重力分別對環(huán)、棒做負(fù)功，由動能定理：,續(xù)解,棒與環(huán)一起以V1自由下落h至第二次落地時(shí)速度仍由機(jī)械能守恒,此后棒與環(huán)相對滑動,則若在碰n次后環(huán)脫離棒，n、k、L、H四個(gè)量應(yīng)滿足的關(guān)系：,查閱,鋼球沿著光滑的長梯彈跳，在每一級臺階上僅跳一次，如圖所示每次與臺階碰撞時(shí)，球要損失50的機(jī)械能試求小球拋出時(shí)的初速度v及其與豎直線的夾角（梯子臺階的高度h10cm，

18、寬l20cm）,l,h,根據(jù)題意，第一次與平臺碰撞前后有,每次跳起到落到下一臺階的過程中,有,由水平方向的勻速運(yùn)動得鋼球每一次飛行時(shí)間,代入數(shù)據(jù)整理后得,說明起跳速度變?yōu)樗?，除鋼球落在拐點(diǎn)情況外，應(yīng)舍去此解,元功法,取元功作微元，以功能原理為基本依據(jù)求得一類物理問題解答的方法，我們稱之為“元功法”.這種解法所循基本原理是分析力學(xué)中的“虛功原理”，由伯努利首先提出的用元功法可以處理某些平衡問題，且頗為簡單,元功法,元功法處理平衡問題基本思路,取與原平衡狀態(tài)逼近的另一平衡狀態(tài)，從而虛設(shè)一個(gè)元過程，此過程中所有元功之和為零，以此為基本關(guān)系列出方程，通過極限處理，求得終解,如圖所示，質(zhì)量為m、長度為l的均勻柔軟粗繩，穿過半徑R的滑輪，繩的兩端吊在天花板上的兩個(gè)釘子上，兩鉤間距離為2R，滑輪軸上掛一重物，重物與滑輪總質(zhì)量為M，且相互間無摩擦，求繩上最低點(diǎn)C處的張力,本題用元功法求解!,分析粗繩、滑輪和重物構(gòu)成的系統(tǒng)的受力情況,C,TA,(M+m)g,分析繩之一半的受力情況,TC,設(shè)想在A處以力TA將ABC段繩豎直向上拉過一極小距離x,由功能原理